矩阵及其初等变换ppt课件.ppt

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1、理学院数学科学系理学院数学科学系1第二章第二章 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换矩阵将一组有序的数据视为矩阵将一组有序的数据视为“整体量整体量”进行表述和运算，进行表述和运算，使得问题变得简洁和易于了解本质，矩阵是解线性方程使得问题变得简洁和易于了解本质，矩阵是解线性方程组的有力工具，是线性代数中的主要研究对象，矩阵理组的有力工具，是线性代数中的主要研究对象，矩阵理论是线性代数的基本内容论是线性代数的基本内容.本章重点：本章重点：矩阵的运算及其运算性质矩阵的运算及其运算性质逆矩阵及其运算性质、存在条件、求法逆矩阵及其运算性质、存在条件、求法矩阵的分块运算法矩阵的分块运算法矩阵的初等变换及初等矩

2、阵矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵的秩及其性质矩阵的秩及其性质理学院数学科学系理学院数学科学系22.1 矩阵的概念矩阵的概念二、矩阵的定义与记号二、矩阵的定义与记号一、关于矩阵一、关于矩阵三、特殊矩阵三、特殊矩阵四、矩阵举例四、矩阵举例理学院数学科学系理学院数学科学系3一、一、 关于矩阵关于矩阵v1850年由西尔维斯特（年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概首先提出矩阵的概念念. v1858年卡莱（年卡莱（A. Cayley）建立了矩阵运算规则建立了矩阵运算规则.v矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、社会科矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域学等许多领域.

3、如在观测、导航、机器人的位移、化学如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用射线照相术等方面，都有广泛的应用.理学院数学科学系理学院数学科学系4二、矩阵的定义与记号二、矩阵的定义与记号Def2.1 由由 个数个数 排成排成的的m行行n列的数表列的数表nm ), 2 , 1;, 2 , 1(njmiaij mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 行行 列矩阵列矩阵，简称，简称 矩阵矩阵.mnnm 为表示这个数为表示这个数表是一个整体，总

4、是加一个括弧，并用大写黑体字母表表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作示它，记作理学院数学科学系理学院数学科学系5 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211这这 个数称为个数称为矩阵矩阵A的元素的元素，简称为，简称为元元，数，数 位于矩位于矩阵的第阵的第i行第行第j列，称为矩阵的列，称为矩阵的(i,j)元元.以数以数 为为(i,j)元的矩元的矩阵可简记作阵可简记作 或或 . 矩阵矩阵A也记作也记作mnijaija)(ijanmija )(nm .nmA 矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号(在在数表外加上双

5、竖线数表外加上双竖线)是不同的，这是两个不同的概念是不同的，这是两个不同的概念.矩阵的行数和列数不一定相等矩阵的行数和列数不一定相等.元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵，元素是复数的矩阵称为，元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.理学院数学科学系理学院数学科学系6同型矩阵同型矩阵: : 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是称它们是同型矩阵同型矩阵.矩阵相等矩阵相等：如果：如果 与与 是同型矩阵，并是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即且它们的对应元素相等，即)(ijaA )(ijbB ), 2 , 1;, 2 , 1(njmibaiji

6、j 那么就称那么就称矩阵矩阵A与矩阵与矩阵B相等相等，记作，记作.BA 理学院数学科学系理学院数学科学系7三、特殊矩阵三、特殊矩阵行矩阵行矩阵(行向量行向量)：列矩阵列矩阵(列向量列向量)：只有一行的矩阵，记作只有一行的矩阵，记作),(21naaaA 矩阵矩阵n 1只有一列的矩阵，记作只有一列的矩阵，记作 mbbbB21 矩阵矩阵1 m方阵：方阵：行数与列数都等于行数与列数都等于n的矩阵称的矩阵称为为n阶矩阵阶矩阵或或n阶方阵阶方阵.n阶矩阵阶矩阵A也记作也记作.nA理学院数学科学系理学院数学科学系8零矩阵：零矩阵：对角矩阵对角矩阵(对角阵对角阵)：单位矩阵单位矩阵(单位阵单位阵)：上三角矩阵

7、：上三角矩阵：下三角矩阵：下三角矩阵：数量矩阵数量矩阵(纯量矩阵纯量矩阵)：元素都是零的矩阵，记作元素都是零的矩阵，记作0. 000000000O不同型的零矩阵是不同的，不同型的零矩阵是不同的，例如例如,00000032 O,00000000033 O.3332 OO不在对角线上的元素都是不在对角线上的元素都是0. 这这种方阵称为种方阵称为对角矩阵对角矩阵，简称，简称对对角阵角阵，用，用 表示，即表示，即 n 00000021),(21ndiag 从左上角到右下角的直线从左上角到右下角的直线(叫叫做做(主主)对角线对角线)上的元素都是上的元素都是1，其它元素都是其它元素都是0，这种矩阵称，这种

8、矩阵称为为单位矩阵单位矩阵，简称，简称单位阵单位阵，用，用 E表示，即，表示，即， 100010001)(ijE 在在 n 阶方阵中，若主对角线左阶方阵中，若主对角线左下方所有元素全为零，这样的下方所有元素全为零，这样的方阵称为方阵称为上三角形矩阵上三角形矩阵，简称，简称为为上三角阵上三角阵. nnnnrrrrrrR00022211211在在 n 阶方阵中，若主对角线左阶方阵中，若主对角线左上方所有元素全为零，这样的上方所有元素全为零，这样的方阵称为方阵称为下三角形矩阵下三角形矩阵，简称，简称为为下三角阵下三角阵. nnnnllllllL21222111000不在对角线上的元素都不在对角线上的

9、元素都 0，主，主对角线上的元素相同，这种矩对角线上的元素相同，这种矩阵称为阵称为数量矩阵数量矩阵，又称，又称纯量矩纯量矩阵，阵，用用kE表示，表示， 即即 kkkkE000000理学院数学科学系理学院数学科学系9四、矩阵举例四、矩阵举例例例1.1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA其中其中 为工厂向第为工厂向第i店发送第店发送第j种产品的数量种产品的数量.ija这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵 424132312221121

10、1bbbbbbbbB其中其中 为第为第 种产品的单价，种产品的单价， 为第为第 种产品单件重量种产品单件重量.1ib2ibii从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息. .理学院数学科学系理学院数学科学系10例例1.2 四个城市间的单向航线如下图所示，若令四个城市间的单向航线如下图所示，若令 1234 ., 01, 1市没有单向航线市没有单向航线市到市到从从条单向航线，条单向航线，市有市有市到市到从从jijiaij则这个图可以用矩阵表示为则这个图可以用矩阵表示为 0101001000011110)(ijaA用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对这个图进行分

11、用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对这个图进行分析和计算析和计算.理学院数学科学系理学院数学科学系11例例1.3 n个变量个变量 与与m个变量之间的个变量之间的关系式关系式 nxxx,21myyy,21 ,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay)1(称为从变量称为从变量 到变量到变量 的的线性变换线性变换.nxxx,21myyy,21线性变换线性变换(1)的系数的系数 构成矩阵构成矩阵 称为称为线性线性ija;)(nmijaA 变换的系数矩阵变换的系数矩阵，线性变换与矩阵是一一对应的，线性变换与矩阵是一一对应的.理学院数学科学系理

12、学院数学科学系122.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算一、矩阵的加法一、矩阵的加法二、数与矩阵的乘法二、数与矩阵的乘法三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法四、矩阵的转置四、矩阵的转置五、方阵的行列式五、方阵的行列式六、矩阵的共轭六、矩阵的共轭理学院数学科学系理学院数学科学系13一、矩阵的加法一、矩阵的加法Def2.2 两个同为两个同为 的矩阵相加后得一的矩阵相加后得一 矩阵，其矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和元素为两矩阵对应元素的和. 即即nm nm ,)(nmijaA ,)(nmijbB .)(nmijijbaBA 只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵

13、才能进行加法.理学院数学科学系理学院数学科学系14 102526151522,102030121720BA BA 4232 27204556理学院数学科学系理学院数学科学系15矩阵的加法运算规则矩阵的加法运算规则交换律：交换律：ABBA 结合律：结合律：)()(CBACBA 设矩阵设矩阵 记记),(ijaA )(ijaA A 称为矩阵称为矩阵 的的负矩阵负矩阵.A)( BABA AOAAO OAAAA )( 理学院数学科学系理学院数学科学系16二、数与矩阵的乘法（矩阵的数乘）二、数与矩阵的乘法（矩阵的数乘）nmijaA )(nmijkakA )( mnmmnnkakakakakakakakak

14、a212222111211Def2.3 阶矩阵阶矩阵A与一个数与一个数k相乘后得一相乘后得一 矩阵，矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数其元素为原矩阵对应元素乘以这个数.记作记作nm nm .AkkA或或AaAij )()1(矩阵矩阵A的负矩阵的负矩阵；)(ijkkE 纯量矩阵纯量矩阵.理学院数学科学系理学院数学科学系17 AB4 102030121720A4 80 68 484080120理学院数学科学系理学院数学科学系18数与矩阵的乘法运算规则数与矩阵的乘法运算规则)()(AA AAA )( BABA )( AA 1 OA 0 矩阵的加法、数与矩阵的乘法合起来，统称为矩阵的矩阵的加法、数

15、与矩阵的乘法合起来，统称为矩阵的线线性运算性运算.理学院数学科学系理学院数学科学系19三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表：某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表：空调空调冰箱冰箱29彩电彩电25彩电彩电甲商店甲商店30205020乙商店乙商店07100丙商店丙商店50405050 505040500107020502030A理学院数学科学系理学院数学科学系20 这四种产品的售价这四种产品的售价(单位：百元单位：百元)及重量及重量(单位：千克单位：千克)如下如下:售价售价重量重量空调空调3040冰箱冰箱163029彩电彩电223025彩电彩电1820

16、2018302230164030B问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量分别问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量分别是多少？是多少？理学院数学科学系理学院数学科学系21 C甲商店甲商店乙商店乙商店丙商店丙商店售价售价 重量重量1820225016203030 26802020305030204030 3700332 51041405700AB 505040500107020502030A 2018302230164030B理学院数学科学系理学院数学科学系22ljiljijiijbababac 2211.1 lkkjikba), 2 , 1;, 2 , 1(njmi lmikaA

17、)(,)(nlkjbB nm Def 2.4 设设 ， 若定义一个新的若定义一个新的 矩阵矩阵 其中其中,)(nmijcC .ABC 则称矩阵则称矩阵C为矩阵为矩阵A与矩阵与矩阵B之积，记作之积，记作只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才有意义有意义.乘积矩阵的第乘积矩阵的第i行第行第j列元素等于左矩阵的第列元素等于左矩阵的第i行元素与右矩行元素与右矩阵的第阵的第j列对应元素乘积之和列对应元素乘积之和.两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于

18、右矩阵的列数左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数.理学院数学科学系理学院数学科学系23特别注意特别注意-乘积不可交换乘积不可交换AB乘积一般不可以交换，乘积一般不可以交换，(1) AB为为 矩阵，但矩阵，但BA无意义；无意义；,3112 BA32 ,BAAB 若若 则称矩阵则称矩阵 乘积乘积可交换可交换.BA、,2332 BA(2) AB和和BA均有意义，但均有意义，但AB为为2阶矩阵，阶矩阵，BA为为3阶矩阵阶矩阵.010111010201010111010101 (3) 由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.理学院数学科学系理学院

19、数学科学系24解解: AB32 20121301 431102311014例例2.1 求矩阵求矩阵(教材教材P36 例例2)的乘积的乘积AB. 20121301A 431102311014B与与A是是 矩阵，矩阵，B是是 矩阵，矩阵，A的列数等于的列数等于B的行数，的行数，所以矩阵所以矩阵A与与B可以相乘可以相乘. 乘积矩阵是乘积矩阵是 矩阵矩阵.42 34 32 32 932 92 32 92 1 9911理学院数学科学系理学院数学科学系25解解: AB 2142 6342 16 32 816 BA 6342 2142 0 00 0与与的乘积的乘积AB及及BA . 2142A 6342B例例

20、2.2 求矩阵求矩阵(教材教材P37 例例3)此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即阵的乘法不满足消去律，即1） 若若, 0 AB, 0 A且且不能推出不能推出;0 B2）若若, 0)( YXA, 0 A且且不能推出不能推出.YX 理学院数学科学系理学院数学科学系26例例2.3 计算矩阵计算矩阵 411031002321021001BA与与的乘积的乘积AB.解解： 411031002321021001AB 1297064002上三角矩阵与上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵，下三上三角矩阵与上三角矩阵的乘积仍为上三角矩

21、阵，下三角矩阵与下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵角矩阵与下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵.理学院数学科学系理学院数学科学系27矩阵的乘法矩阵的乘法-运算规则运算规则 )()(BCACAB CABAACB )(为为数数 ),()()(BABAAB ,)(ACABCBA ,nmAEAAEAnm 矩矩阵阵对对任任意意 .AEAEA 或简写成或简写成 纯量矩阵与方阵的乘积纯量矩阵与方阵的乘积 )()()()(kEAEAkkAEAkAkEnnnnn 第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是可交换的第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是可交换的理学院数学科学系理学院数学科学系28方阵的幂方阵的幂定义定义设设A是是n阶方

22、阵，定义阶方阵，定义AA 1112AAA 11AAAkk 此定义表明，此定义表明， 就是就是k个个A连乘，并且显然，只有方阵，连乘，并且显然，只有方阵，它的幂才有意义它的幂才有意义.kA运算规则运算规则为正整数为正整数其中其中klklkAAA kllkAA )( 特别注意特别注意 kAB)(kkBA一般来说，一般来说， 与与 不相等不相等.理学院数学科学系理学院数学科学系29称为称为方阵方阵 的的 次多项式次多项式.)(A Am设设mmaaaa 2210)( 为数为数 的的 次多项式，次多项式，记记 m同一个方阵的两个矩阵多项式是可交换的同一个方阵的两个矩阵多项式是可交换的: 设设是是A的两个

23、多项式，则的两个多项式，则)()(AgAf、)()()()(AfAgAgAf mmAaAaAaEaA 2210)( 由此可知，方阵的多项式可以像数的多项式一样分解因由此可知，方阵的多项式可以像数的多项式一样分解因式式. 如如EAAAf32)(2 )(3(EAEA 方阵的多项式方阵的多项式理学院数学科学系理学院数学科学系30)()(2BABABA BBAABA)()( 22BABBAA )()(2BABABA BBAABA)()( 22BABBAA BBAABABABA)()()( 22BABBAA 当当A与与B可交换时，有与数类似的乘法公式可交换时，有与数类似的乘法公式.理学院数学科学系理学院

24、数学科学系31例例2.4 计算矩阵乘积计算矩阵乘积 nnbbbaaa2121),( iniinnbabababa 12211 nnaaabbb,2121 nnnnnnababababababababab212221212111理学院数学科学系理学院数学科学系32例例2.5 求与矩阵求与矩阵A可交换的所有矩阵可交换的所有矩阵.(教材教材P44, Ex.4) 000100010A解： 设与设与A可交换的矩阵为可交换的矩阵为 333231232221131211bbbbbbbbbB,000333231232221 bbbbbbAB,000323122211211 bbbbbbBA0323121 bb

25、b332211bbb 131223,bbb 121321000ccccccB理学院数学科学系理学院数学科学系33例例2.6 求矩阵求矩阵A的幂的幂 .(教材教材P42, 例例9)11102,AAA 122212221A解： 1222122211222122212A 900090009E9 EEAA5552109)9()( AEAAAA55101199 理学院数学科学系理学院数学科学系34例例2.7 求矩阵求矩阵AB的幂的幂 .(教材教材P42, 例例10)100)(AB 4, 2, 2, 1,4221 BA解：,25 BA 100)(ABAB9925 ABABABABABAB个个100BBAA

26、BBABAABA个个99)()()( 理学院数学科学系理学院数学科学系35例例2.8 求矩阵求矩阵A的幂的幂 .(教材教材P44, Ex.5-(3)kA 001001A解：,0020122222 A,003033323233 A,0040644342344 A).2(000122)1(1 kkkAkkkkkkkkk 001001A 000100010000000 BE ,0000001002 B,0000000003 B222)1(1)(BBkEBEAkkkkkkk 解：理学院数学科学系理学院数学科学系362.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算(续续)一、矩阵的加法一、矩阵的加法二、数与矩阵的乘

27、法二、数与矩阵的乘法三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法四、矩阵的转置四、矩阵的转置五、方阵的行列式五、方阵的行列式六、矩阵的共轭六、矩阵的共轭理学院数学科学系理学院数学科学系37Def2.5 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做叫做A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . 即即TA,)(nmijaA 若若,)(mnijTbA 则则其中其中,jiijab .,2 , 1;,2 , 1mjni 则则它的转置矩阵为它的转置矩阵为23 TA021113 设矩阵设矩阵 ,113021 A四、矩阵的转置四、矩阵的转置理学院数学科学系理学院数学科学系38对称矩阵和反

28、对称矩阵对称矩阵和反对称矩阵设设 为为n阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即nijaA)( AAT njiaajiij, 2 , 1, 那么那么A称为称为对称矩阵对称矩阵，简称对称阵，简称对称阵.AAT 对称阵的特点是对称阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴，对应相等它的元素以对角线为对称轴，对应相等.,5682603783102704 A理学院数学科学系理学院数学科学系39设设 为为n阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即nijaA)( AAT njiaajiij, 2 , 1, 那么那么A称为称为反对称矩阵反对称矩阵，简称反对称阵，简称反对称阵.AAT 反对称阵的特点是反对称阵的

29、特点是:它的主对角线上的元素全为零，其它它的主对角线上的元素全为零，其它的元素以对角线为对称轴，对应互为相反数的元素以对角线为对称轴，对应互为相反数.,0682603783002700 A理学院数学科学系理学院数学科学系40 AATT )(TTTBABA )( 为为数数kkAkATT,)( TTTABAB )( 矩阵的转置矩阵的转置- -运算规则运算规则TTTsTsAAAAAA1221)( 理学院数学科学系理学院数学科学系41例例2.9 已知已知,231102 A 102324171B求求.)(TAB解法解法1 AB 231102 102324171 0143 17 13 10 TAB)( 1

30、031314170解法解法2 131027241 1031314170 213012此例验证了矩阵此例验证了矩阵的转置运算规则的转置运算规则4 TTAB TAB)(理学院数学科学系理学院数学科学系42注注意意 和和 的的区区别别XXTTXX证证:TTTXXEH)2( TTTXXE)2( TTXXE)(2 TTTXXE)(2 ,2HXXET 所以所以H是对称阵是对称阵.2HHHT 2)2(TXXE )2)(2()2(TTTXXXXEEXXE TTTTXXXXXXXXE422 TTTXXXXXXE)(44 EXXXXETT 44例例2.10 设列矩阵设列矩阵 满足满足 ， E为为E为为n阶单位矩阵

31、，阶单位矩阵， 证明证明H是对称阵，且是对称阵，且TnxxxX),(21 1 XXT,2TXXEH .EHHT 要证明一个方阵是不是对称阵，就是验证它是否满足对要证明一个方阵是不是对称阵，就是验证它是否满足对称阵的条件称阵的条件 .AAT 理学院数学科学系理学院数学科学系43例例2.11 设设A与与B是同阶对称矩阵，证明是同阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的是对称矩阵的充分必要条件是充分必要条件是A与与B是可交换矩阵是可交换矩阵.(教材教材P43,例例11) 证：证：因为因为 ，所以有，所以有BBAATT ,BAABABTTT )(当当AB是对称矩阵即是对称矩阵即 时，有时，有AB=BA，所以此

32、所以此时时A与与B是可交换矩阵；是可交换矩阵；ABABT )(,)(ABABT 当当A与与B是可交换矩阵即是可交换矩阵即AB=BA时，有时，有 所所 以此时以此时AB是对称矩阵是对称矩阵故，故，AB是对称矩阵的充分必要条件是是对称矩阵的充分必要条件是A与与B是可交换矩阵是可交换矩阵.理学院数学科学系理学院数学科学系44五、方阵的行列式五、方阵的行列式Def01 由由n阶方阵阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为置不变），称为方阵方阵A的行列式的行列式，记作，记作 或或A.det A特别注意特别注意方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个方阵与行列

33、式是两个不同的概念，方阵是一个数表数表，而，而行列式则是一个行列式则是一个数数.方阵与它的行列式又是紧密相关的，方阵的行列式是方方阵与它的行列式又是紧密相关的，方阵的行列式是方阵按照一定方式确定的一个数，所以方阵的行列式可看阵按照一定方式确定的一个数，所以方阵的行列式可看作方阵的函数；同时，方阵的行列式是方阵特性的重要作方阵的函数；同时，方阵的行列式是方阵特性的重要标志标志.理学院数学科学系理学院数学科学系45由由A确定确定 - -运算规则运算规则Adet;AAT ;,为数为数 AAn .,同阶方阵同阶方阵与与BABAAB 注意注意BABA )1nijkakA)( 但但nnnAkkA )2)3

34、BAAB 但但BABAAB 4332A 4332TA4332 A4332 TA 4332A 4332A 4332 AA224332 理学院数学科学系理学院数学科学系46BAAB 设设.)(,)(nnijnnijbBaA 记记 2n阶行列式阶行列式 一方面，根据公式有一方面，根据公式有;BAD 另一方面，另一方面，11b 21b 1nb ,1111111111BEOAbbbbaaOaaDnnnnnnnn 理学院数学科学系理学院数学科学系47112112111111nnbababac ), 2 , 1( ,12121111nibababacniniii 12b 22b nnnnnnnnnnnnbb

35、bbbbcaaacaaacaaaD222211212121222211111211010101000000 2nb 理学院数学科学系理学院数学科学系48212212121112nnbababac ), 2 , 1( ,22221212nibababacniniii nnnnnnnnnnnnbbbccaaaccaaaccaaaD001001001000212121222122221121111211 理学院数学科学系理学院数学科学系49njinjijiijbababac 2211nji, 2 , 1, OECAcccaaacccaaacccaaaDnnnnnnnnnnnn 00010001000

36、1212122221222211121111211nD)1( CAE0 CEn )1(ABC AB 理学院数学科学系理学院数学科学系50Def02 当当 为复矩阵时，为复矩阵时， 用用 表示表示 的共轭复的共轭复数，记数，记)(ijaA ijaija)(ijaA 称为称为 的的共轭矩阵共轭矩阵.AA;BABA ;AA .BAAB 由由A确定确定 -运算规则运算规则A六、矩阵的共轭六、矩阵的共轭理学院数学科学系理学院数学科学系512.3 逆矩阵逆矩阵一、逆矩阵的定义一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵的存在条件二、逆矩阵的存在条件四、逆矩阵的运算性质四、逆矩阵的运算性质三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法五

37、、逆矩阵的应用举例五、逆矩阵的应用举例理学院数学科学系理学院数学科学系52一、逆矩阵的定义一、逆矩阵的定义 ,EBAAB Def2.6 对于对于n阶矩阵阶矩阵A ，如果有一个如果有一个n阶矩阵阶矩阵B，使使则称矩阵则称矩阵A是是可逆矩阵可逆矩阵或者或者非奇异矩阵非奇异矩阵，并把矩阵并把矩阵B称为称为A的的逆矩阵逆矩阵，简称逆阵，简称逆阵. 若不存在满足上式的矩阵若不存在满足上式的矩阵B，则则称称A是是不可逆矩阵不可逆矩阵或者或者奇异矩阵奇异矩阵.此定义表明只有方阵才可能有逆阵此定义表明只有方阵才可能有逆阵.求逆矩阵运算可以看作矩阵乘法的逆运算求逆矩阵运算可以看作矩阵乘法的逆运算. 但是能进行的

38、但是能进行的条件十分苛刻的条件十分苛刻的.理学院数学科学系理学院数学科学系53二、逆矩阵的存在条件二、逆矩阵的存在条件Thm2.1 如果矩阵如果矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵是唯一的是可逆的，那么它的逆矩阵是唯一的.因此，我们把矩阵因此，我们把矩阵A的逆矩阵记作的逆矩阵记作 .1 A证证: 假设矩阵假设矩阵A可逆，可逆，B、C都是它的逆矩阵都是它的逆矩阵,则则,EBAAB ,ECAAC 因此，因此，,)()(CECCBAACBBEB 所以所以A的逆阵是唯一的的逆阵是唯一的.理学院数学科学系理学院数学科学系54为了讨论矩阵可逆的充分必要条件，先定义一个新矩阵为了讨论矩阵可逆的充分必要条件，先定义

39、一个新矩阵 333231232221131211aaaaaaaaaA333231232221131211aaaaaaaaaA ,3332232211aaaaA ,3331232112aaaaA ,3231222113aaaaA ,3332131221aaaaA ,3331131122aaaaA ,3231121123aaaaA ,2322131231aaaaA ,2321131132aaaaA ,2221121133aaaaA 332313322212312111*AAAAAAAAAA理学院数学科学系理学院数学科学系55Def2.7 设设 是是n 阶矩阵阶矩阵 的行列式的行列式 中元素中元素

40、的的代数余子式，则称矩阵代数余子式，则称矩阵ijAnijaA)( Aija nnnnnnAAAAAAAAA212221212111为矩阵为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵，记作，记作. A nnnnnnAAAAAAAAA212221212111 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211AAaAaAann 112121111101221221112 nnAaAaAa AAA000000.*EAAAAAAAA 理学院数学科学系理学院数学科学系56这是定这是定理的充理的充分条件，分条件，必要性必要性是显然是显然的的证证:根据伴随阵的性质，有根据伴随阵的性质，有,EAAAAA 当当 时，有时，

41、有0 A根据矩阵可逆的定义知，矩阵根据矩阵可逆的定义知，矩阵A可逆，且可逆，且.11 AAA,)1()1(EAAAAAA Thm2.2 n阶矩阵阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是为可逆矩阵的充分必要条件是 .且如果且如果A为可逆矩阵，则有为可逆矩阵，则有0 A.11 AAA理学院数学科学系理学院数学科学系57定理定理2给出了计算逆矩阵的一个方法：给出了计算逆矩阵的一个方法：1）计算）计算,A, A2）计算）计算3）写出）写出,1 A.11 AAA根据定理根据定理2，可以将定义中的条件，可以将定义中的条件AB=BA=E 改进一点改进一点.理学院数学科学系理学院数学科学系58推论推论 设设A，B为

42、为n 阶矩阵，若阶矩阵，若AB=E 或者或者BA=E，则矩阵则矩阵A，B都可逆，且都可逆，且.,11ABBA 此推论表明，要判断矩阵此推论表明，要判断矩阵B是否是是否是A的逆矩阵，不必严格的逆矩阵，不必严格按照定义检验按照定义检验AB=BA=E，而只要检验而只要检验AB=E或或BA=E.理学院数学科学系理学院数学科学系59例例3.1 设设n 阶方阵阶方阵A，B 满足满足A+B=AB，证明证明A E可逆可逆, 并并给出给出 的表达式的表达式.(教材教材P51, Ex.8)1)( EA解：解：依据推论，只需寻找到适当矩阵与依据推论，只需寻找到适当矩阵与A-B相乘的结果为相乘的结果为E.ABBA B

43、ABA 0)( BEAAEBEAEA )(EBEEA )(所以所以A E 可逆，且可逆，且.)(1EBEA 理学院数学科学系理学院数学科学系60三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法方法一：方法一：直接依据定义，将矩阵直接依据定义，将矩阵A的逆阵的每个元素作为的逆阵的每个元素作为未知数，列出线性方程组，参看教材未知数，列出线性方程组，参看教材P45,例例1.方法二：方法二：依据定理依据定理2，根据公式，根据公式.11 AAA方法三：方法三：依据初等矩阵的性质，运用初等变换求逆依据初等矩阵的性质，运用初等变换求逆. (第五第五节将介绍节将介绍)理学院数学科学系理学院数学科学系61例例3.2 求二阶矩阵

44、求二阶矩阵 的逆矩阵的逆矩阵. dcbaA解：解：,bcadA ,22211211aMbMcMdM , acbdA所以，当所以，当 时，有时，有0 A.11 acbdbcadA注意比较矩阵注意比较矩阵A与与 ，此例的结果应作为公式记住，此例的结果应作为公式记住.*A理学院数学科学系理学院数学科学系62例例3.3 求方阵求方阵A的逆阵的逆阵. 343122321A解：解：, 02620520321343122321 A所以所以 存在，再计算存在，再计算 的余子式，的余子式，1 AA341211 M, 211 M331212 M, 312 M432213 M, 213 M343221 M, 621

45、 M333122 M, 622 M432123 M, 223 M123231 M, 431 M123132 M, 532 M222133 M, 232 M 222563462*A 111323125231A理学院数学科学系理学院数学科学系63四、逆矩阵的运算性质四、逆矩阵的运算性质若若A可逆，则可逆，则 亦可逆，且亦可逆，且1 A;)(11AA 若若A可逆，数可逆，数 ，则，则 亦可逆，且亦可逆，且A ;1)(11 AA 0 若若A、B为同阶矩阵且均可逆，则为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，亦可逆， 且且;)(111 ABAB若若A可逆，则可逆，则 亦可逆，且亦可逆，且TA.)()(11TTA

46、A 逆矩阵的行列式逆矩阵的行列式.11 AA方阵的负幂次方：若方阵的负幂次方：若A可逆，规定可逆，规定).()(1NkAAkk ,0EA 理学院数学科学系理学院数学科学系64五、逆矩阵的应用举例五、逆矩阵的应用举例 -求解矩阵方程求解矩阵方程CAX 设设A、B 为可逆矩阵，为可逆矩阵，;1CAX CXA 1 A左乘两边左乘两边;1 CAXCAXB .11 CBAX1 A右乘两边右乘两边1 A左乘两边左乘两边1 B右乘两边右乘两边理学院数学科学系理学院数学科学系65例例3.4 设矩阵设矩阵X满足满足,EBXAAXBBXBAXA 其中矩阵其中矩阵,111011001 A,011101110 B.,

47、3XE求求阶单位阵阶单位阵为为解：解：EABBXBAAX )()(EBABXBAAX )()(EBABXAX )(EBAXBA )()(由由 得得,EBXAAXBBXBAXA ,100110111 BA由于由于 得得 故故 可逆，且可逆，且, 01 BABA 理学院数学科学系理学院数学科学系66,100110211)(1 BA于是，于是， 用用 左乘、右乘左乘、右乘 的两的两边，得边，得1)( BAEBAXBA )()(11)()( BAEBAXEBAXBA )()(,100110111 BA.100210521)(21 BA理学院数学科学系理学院数学科学系67例例3.5 设矩阵设矩阵,343

48、122321 A,3512 B,130231 C求矩阵求矩阵X，使之满足使之满足AXB=C.(教材教材P49,例例5)解：解：, 1, 2 BA由由 知知A，B都是可逆矩阵，且都是可逆矩阵，且,111323125231 A,25131 B用用 左乘，以左乘，以 右乘右乘AXB=C，得得1 A1 B11 CBAX 11132312523 130231 2513.41041012 理学院数学科学系理学院数学科学系68例例3.6 已知可逆矩阵已知可逆矩阵,311121111 A求其伴随矩阵求其伴随矩阵 的逆矩阵的逆矩阵.(教材教材P50,例例6)*A解：解：, 2 A,2*EEAAA ,)21(*E

49、AA .31112111121* A若按照常规方法，若按照常规方法，计算量较大计算量较大理学院数学科学系理学院数学科学系69例例3.7 设设n阶方阵阶方阵A的伴随矩阵为的伴随矩阵为 ，证明，证明(教材教材P48,例例4)*A.1* nAA证证： (1)当当 时时,0 A,EAAA ,EAAA ,nAAA ;1 nAA(2)当当 时时, 下面用反证法，证明下面用反证法，证明0 A. 0 A若若 ，则，则 可逆，可逆，0 A A, 0 EAAA又因为又因为所以所以0)()(11 AAAA, 0 A从而得从而得, 0 A这这 与矛盾！故与矛盾！故0 A当当 时时, 0 A. 0 A理学院数学科学系理

50、学院数学科学系702.4 分块矩阵分块矩阵在处理较高阶数的矩阵时，对于求逆矩阵或者其他需要，在处理较高阶数的矩阵时，对于求逆矩阵或者其他需要，常把一个大矩阵看成是由若干个小矩阵组合而成，这些常把一个大矩阵看成是由若干个小矩阵组合而成，这些小矩阵可称为大矩阵的子块或者子阵小矩阵可称为大矩阵的子块或者子阵. 用子阵来表示矩用子阵来表示矩阵的方法称为矩阵的分块表示，这样不仅使原矩阵显得阵的方法称为矩阵的分块表示，这样不仅使原矩阵显得结构简单又清晰，而且可以简化运算过程结构简单又清晰，而且可以简化运算过程.一、分块矩阵一、分块矩阵二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算三、常用的分块法三、常用的分块法理学