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1、线性代数关于初等矩阵和初等变换现在学习的是第1页，共63页线性代数2.5 初等变换与初等矩阵求矩阵的秩求可逆矩阵的逆矩阵解线性方程组 2.5.1 矩阵的初等变换2.5.2 初等矩阵 2.5.3* 分块矩阵的初等变换现在学习的是第2页，共63页线性代数2.5.1 矩阵的初等变换定义2.5.1 矩阵A的下列变换称为它的初等行（或列）变换：(1)互换矩阵A的第 i行与第 j行（或第 i列与第 j列）的位置，记为 rirj(或cicj );（互换）(2)用常数 k0去乘矩阵 A的第 i行(或第 j列)，记为kri(或 kcj );（倍乘）现在学习的是第3页，共63页线性代数(3)将矩阵 A的第 j行（
2、或第 j列）各元素的 k倍加到第 i行(或第 i列)的对应元素上去，记为 ri+krj(或ci+kcj ); （倍加）矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换. 现在学习的是第4页，共63页线性代数定义2.5.2 如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵 B,则称 A与 B等价， 记为 A B ，或 AB.现在学习的是第5页，共63页线性代数等价是矩阵间的一种关系，具有以下基本性质: (1) 自反性：A A ； (2) 对称性：若 AB, 则 AB; (3) 传递性： 若AB, B C, 则A C .在数学中把具有上述三个基本性质的关系称为等价关系.现在学习的是第6页，共63页线性代数利用
3、矩阵的初等变换，可以把矩阵化为简单的阶梯形矩阵阶梯形矩阵对求逆、求秩、求解线性方程组都非常有用 现在学习的是第7页，共63页线性代数定义2.5.3 如果矩阵A满足下列条件：(1) 若有零行，则零行全在矩阵A的下方； (2) A的各非零行的第一个非零元的列序数小于下一行中第一个非零元的列序数；则称 A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵. 000075004120A00000130003840035021B例如 现在学习的是第8页，共63页线性代数阶梯形矩阵的一般形式为0000000000000000000000000000000000021rjbbbb上述矩阵中,bk(1kr)为非零常数，*号表示某一
4、常数. 现在学习的是第9页，共63页线性代数如果矩阵 A除满足上述条件(1) 、(2)外，还满足条件： (3) 各非零行的第一个非零元素均为1，且所在列的其它元素都为零，则称 A为简化阶梯形矩阵. 例如 为简化阶梯形矩阵；310001010020021C现在学习的是第10页，共63页线性代数定理2.5.1 任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形矩阵.现在学习的是第11页，共63页线性代数证 设矩阵mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 011ja现在学习的是第12页，共63页线性代数记 111jab依次减去第一行的 ), 3 , 2(11mkbakj倍，则A可化为 .从矩
5、阵的第二行起，0000000011Ab 再对矩阵 A1应用上述方法，继续进行下去，即可把 A化为阶梯形矩阵. 证毕. 现在学习的是第13页，共63页线性代数设矩阵A已通过初等行变换化为阶梯形矩阵，我们再对它的第k行分别乘以 ), 2 , 1(1rkbk初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶梯形 ，然后再对矩阵作第三种现在学习的是第14页，共63页线性代数0000000000000000100001000001000（2.5.2） 再对矩阵（2.5.2）作初等列变换和初等行变换，则可以把它化成如下更加简单的形式 现在学习的是第15页，共63页线性代数nm0000000000000001000000
6、000000010000000100000001nmrOOOE（2.5.3） 矩阵（2.5.3）的左上角是一个单位矩阵，我们称（2.5.3）为矩阵A的标准形. 现在学习的是第16页，共63页线性代数由以上讨论，我们可以得到如下结论定理2.5.2 任意非零矩阵A=(aij)mn都与它的标准形等价,即存在矩阵 nmrOOOEnmrOOOEA，使 其中Er为 r阶单位矩阵,1rmin m,n.后面还要说明： 一个矩阵的标准形是唯一的，它反映了矩阵在初等变换下的一种不变性. 现在学习的是第17页，共63页线性代数例2.5.1 用初等行变换把矩阵50431754621223112100A化为阶梯形和简化
7、阶梯形.现在学习的是第18页，共63页线性代数解5043175462121001223121rrA4220091000121001223113)2(rrr4+r1现在学习的是第19页，共63页线性代数 9100042200121001223143rr9100062000121001223123)2(rr现在学习的是第20页，共63页线性代数1200006200012100122313421rr这就是矩阵 A的阶梯形. 再对其进行初等行变换 120000620001210012231A现在学习的是第21页，共63页线性代数12213063001210001300001rr ,)21(3r4121
8、r10000310005010015003131)6(rrr2+(-2)r3现在学习的是第22页，共63页线性代数 10000010000010000031433rr42)5(rr41)15(rr此即到矩阵A的简化阶梯形矩阵. 如果再对 A的简化阶梯形作列的初等变换,可得矩阵A的标准形 现在学习的是第23页，共63页线性代数10000010000010000031A1000001000001000000112)3(cc现在学习的是第24页，共63页线性代数1000001000000100000132cc0100000100000100000143ccc4c5现在学习的是第25页，共63页线性代
9、数2.5.2 初等矩阵定义2.5.4 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.由于矩阵的初等变换有三种，所以对应的初等矩阵有三类：现在学习的是第26页，共63页线性代数1101111011),(jiEi 行j行(1)互换E的第i行（列）与第 j 行（列），现在学习的是第27页，共63页线性代数(2) 用数k0乘 E的第i行(列)，记为 1111)(kkiEi行现在学习的是第28页，共63页线性代数(3) 用数k乘 E的第j行(i列)加到第i行(j列)上，记为 1111)(,(kkjiEi 行j 行现在学习的是第29页，共63页线性代数我们把 )(,(),(),(kjiEkiEjiE
10、分别称为互换、倍乘、倍加初等矩阵. (1) 初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；初等矩阵的性质：(3) 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且 (2) 初等矩阵都是可逆矩阵；),(),(1jiEjiE)1()(1kiEkiE)(,()(,(1kjiEkjiE现在学习的是第30页，共63页线性代数对于初等矩阵，我们有如下定理定理2.5.3 设A是一个 mn矩阵, 对 A作一次初等行变换，相当于在 A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对 A作一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的 n阶初等矩阵.这个定理建立了初等变换和初等矩阵的联系.现在学习的是第31页，共63页线性代数证 仅就对行作第三种初等
11、变换的情形给出证明.设矩阵 A=(aij)mn，用m阶初等矩阵E(i,j(k)左乘以A ，则 jiaaaaaakaakaakaaaaaAkj , iEmnmmjnjjjninjijiin212122111211)(现在学习的是第32页，共63页线性代数上式右端相当于对矩阵A作第三种初等行变换(即把矩阵 A的第 j行乘以常数 k加到第 i行上). 证毕.现在学习的是第33页，共63页线性代数利用定理2.5.3和矩阵等价的定义, 立即可以得到如下定理 定理2.5.4 mn矩阵A与B等价有m阶初等矩阵P1,P2,Ps与n阶初等矩阵 Q1,Q2,Qt ,使得 BQQAQPPPts2112若记P=Ps
12、P2P1，Q=Q1Q2Qt ，则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵，于是得到以下推论。现在学习的是第34页，共63页线性代数推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q ,使得 BPAQ 推论2 对于任意非零mn矩阵A，必存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使得 OOOEPAQr（2.5.4） 这里 OOOEr是矩阵A的标准形. 现在学习的是第35页，共63页线性代数推论3 若A为n阶可逆矩阵，则A E 若不然，它的标准形矩阵主对角线上至少含有一个零元素，对（2.5.4）两端取行列式，|PAQ|=0即|P|A|Q|=0此与矩阵A,P,Q可逆， |A|P|Q|0矛盾
13、.现在学习的是第36页，共63页线性代数 若n阶矩阵A可逆，由推论3，存在 n阶初等矩阵 P1,P2,Pt,Pt+1,Ps ，使 EPPAPPPPtsst111211111211sttPPPPPA即可逆矩阵 A可以表示成有限个初等矩阵的乘积；反之，若A能表示成有限个初等矩阵的乘积，根据可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵的结论， A一定是可逆的. 现在学习的是第37页，共63页线性代数因此，得到如下结论推论4 n阶矩阵 A可逆的充分必要条件是它可表示成有限个初等矩阵的乘积. 应用这个结论，可以得到一个应用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法. 设矩阵A可逆，则 A-1可表示成有限个初等矩阵的乘积，即 A-1
14、 = P1P2Pt.由 A-1A=E，有 EAPPPl21（2.5.5） 121 AEPPPl (2.5.6) 即现在学习的是第38页，共63页线性代数（2.5.5）式表明，可逆矩阵A经过有限次初等行变换可化为单位矩阵 E ；(2.5.6)式则表明，这些初等行变换同时可以把单位矩阵 E化为 A-1.根据分块矩阵的乘法，（2.5.5），(2.5.6)两式可合并为)()(121AEEAPPPl)(1AE初等行变换)(EA或现在学习的是第39页，共63页线性代数 例2.5.2 设521310132A用初等行变换法求A-1 现在学习的是第40页，共63页线性代数解 100521010310001132
15、)(EA 00113201031010052131rr现在学习的是第41页，共63页线性代数12( 2)101021013010006112rr 20191001031010052112(-2)rrr3+r2 现在学习的是第42页，共63页线性代数316161100010310120101613r 31616110012321010346136100131rrr2+(-3)r3现在学习的是第43页，共63页线性代数.A3161611232134613611所以现在学习的是第44页，共63页线性代数作业 Page 67 习题2.4：2. ； 3. （1）、（2）. 现在学习的是第45页，共63页
16、线性代数 2.5.3* 分块矩阵的初等变换前面介绍了矩阵的初等变换，它在求可逆矩阵的逆矩阵等方面有着重要的应用，下面我们把它推广到分块矩阵的情形.这里仅以22分块矩阵为例进行讨论. 将n阶单位矩阵进行如下分块 skEOOEE， 其中k+s=n 现在学习的是第46页，共63页线性代数对其分别进行两行(列)的互换，某一行(列)左乘（右乘）一个矩阵P(Q) ，把某一行(列)的 M倍(N倍)( M,N为矩阵）加到另一行(列)上的初等变换，可得如下三种分块初等矩阵： (1)分块互换初等矩阵 OEEOksOEEOsk现在学习的是第47页，共63页线性代数(2) 分块倍乘初等矩阵 sEOOPQOOEk这里P
17、为k阶可逆矩阵, Q为s阶可逆矩阵； (3) 分块倍加初等矩阵 skEOMEskENOE这里M为ks矩阵，N为 sk矩阵.现在学习的是第48页，共63页线性代数同初等矩阵与初等变换的关系一样，对分块矩阵进行初等行变换或初等列变换，只需选择适当的分块初等矩阵去左乘或右乘该矩阵即可. 例如，对于分块矩阵 DCBA（2.5.7） 为了求逆矩阵或矩阵的行列式，往往需要把它的子块B或C化为零矩阵.为此，只要对该矩阵作第三种初等变换即可. 现在学习的是第49页，共63页线性代数对矩阵（2.5.7）左乘一个倍加分块初等矩阵，则skENOEDCBADNBCNABA为了消去（2.5.7）中的子块C，可选择适当的
18、 N，使NA+C=O 当A可逆时，只需取N=-CA-1，则 skECAOE1DCBADBCAOBA1（2.5.8） 现在学习的是第50页，共63页线性代数若要消去矩阵（2.5.7）中的子块B，可右乘一个倍加分块初等矩阵， DCBAskEOMEDCMCBAMA同样，在上式中可适当选择M，使 AM+B=O. 当A可逆时，只需取M=-A-1B，则 DCBAskEOBAE1DBCACOA1(2.5.9) 现在学习的是第51页，共63页线性代数 下面我们举例说明分块初等矩阵的应用. 例2.5.3 设BCOAD其中A为k阶可逆矩阵，B为s阶可逆矩阵，求D-1 现在学习的是第52页，共63页线性代数 skr
19、AEOBCOAOE111 11121BOECBOAOEskrB1111(112BCABEOOAOEskC)rBr解 由于skEOBCOEOAED )(现在学习的是第53页，共63页线性代数11111BCABOAD所以现在学习的是第54页，共63页线性代数CBADDCBA例2.5.4 设A,B,C,D均为n阶方阵，矩阵A可逆，且AC=CA，证明现在学习的是第55页，共63页线性代数DBCACOAEOBAEDCBAnn11即)(11DBCAADBCAADCBA上式两端取行列式DCBAnnEOBAE1DBCACOA1证 由（2.5.9）现在学习的是第56页，共63页线性代数CBADBACAAD1BC
20、AAAD1现在学习的是第57页，共63页线性代数例2.5.5 设A,B均为3阶方阵，且|B|0，试求 12BAABEB现在学习的是第58页，共63页线性代数左上角的子块-B化为零矩阵，然后利用行列式的拉普拉斯定理即可. 12BAABEB解 先通过初等变换把行列式所对应的分块矩阵现在学习的是第59页，共63页线性代数由于12BAABEB122BAEEOEBOE上式两端取行列式12BAABEB122BAEEOEBOE即12BAABEB122BAEEO现在学习的是第60页，共63页线性代数应用拉普拉斯定理12BAABEB|E|)(E216543218)2(3例2.5.6 设A为mn矩阵， B为nm矩阵，证明 BAEABEnm现在学习的是第61页，共63页线性代数nmEBAE由于nmEBOEnmEBAEBAEOAEnmnmEOAEnmEBAEnmEBOBAE对以上两式取行列式，并进行比较，可得 .BAEABEnm证 构造分块矩阵现在学习的是第62页，共63页线性代数感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第63页，共63页