矩阵初等变换.ppt

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1、矩阵初等变换现在学习的是第1页，共24页内容摘要n n矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。n n本文列举了利用矩阵的初等变换解决上述问题的格式以本文列举了利用矩阵的初等变换解决上述问题的格式以及相关的计算实例。同时也指出由于这些计算格式有不及相关的计算实例。同时也指出由于这些计算格式有不同的原理，虽然这些计算格式有不少类似之处，但是它同的原理，虽然这些计算格式有不少类似之处，但是它们也有一些明显区别。们也有一些明显区别。现在学习的是第2页，共24页目 录n n引引

2、言言n n1 1 行列式的计算行列式的计算n n2 2 求矩阵的逆求矩阵的逆n n3 3 求矩阵的秩求矩阵的秩n n4 4 求线性方程组的解求线性方程组的解n n5 5 求向量组的线性关系求向量组的线性关系n n6 6 确定一向量组能否由另一向量组线性表出确定一向量组能否由另一向量组线性表出n n7 7 求向量组的秩与极大无关组求向量组的秩与极大无关组n n8 8 判断两向量组是否等价判断两向量组是否等价n n9 9 向量空间内向量在基下的坐标向量空间内向量在基下的坐标n n10 10 一组向量组生成的子空间的基与维数一组向量组生成的子空间的基与维数n n11 11 求两个子空间的和与交的基与

3、维数求两个子空间的和与交的基与维数n n12 12 求从一组基到另一组基的过渡矩阵求从一组基到另一组基的过渡矩阵n n结结 论论现在学习的是第3页，共24页引 言 矩阵是线性代数的重要研究对象，矩阵初等变换是线性代数中一种重要矩阵是线性代数的重要研究对象，矩阵初等变换是线性代数中一种重要 的计算工具。首先我们给出矩阵初等变换的定义。的计算工具。首先我们给出矩阵初等变换的定义。下面三种变换定义为矩阵初等行变换：下面三种变换定义为矩阵初等行变换：1.1.互换两行（记互换两行（记 ）；）；2.2.以数以数 （）乘以某一行（记）乘以某一行（记 ）；）；3.3.把某一行的把某一行的 倍加到另一行上（记倍

4、加到另一行上（记 ）。）。若将上述定义中的若将上述定义中的“行行”换成换成“列列”，则称之为初等列变换。初等行变换和初等列变换统称，则称之为初等列变换。初等行变换和初等列变换统称为初等变换。为初等变换。利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系，化二次型为标准型等。定向量组向量间的线性关系，化二次型为标准型等。本文列举了利用矩阵初等变换解决上述问题的格式以及相关的计算实例。同本文列举了利用矩阵初等变换解决上述问题的格式以及相关的计算实例。同时也指出由于这些计算格式有不同的原理，虽然

5、这些计算格式有不少类似之处，时也指出由于这些计算格式有不同的原理，虽然这些计算格式有不少类似之处，但是它们也有一些明显区别。我们只有了解这些计算格式的联系与区别才能正但是它们也有一些明显区别。我们只有了解这些计算格式的联系与区别才能正确使用这些计算格式。确使用这些计算格式。首先我们给出利用初等行变换时矩阵消元的一般程序首先我们给出利用初等行变换时矩阵消元的一般程序 A A 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 行最简形矩阵行最简形矩阵 现在学习的是第4页，共24页正 文1 行列式的计算行列式的计算一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形 c1cl=c1cl 其中

6、第i步使用第一型初等行变换时，取=-1，使用第二型初等行变换时，ci=1/k使用第三型初等行变换时，ci=1（i=1，2l）现在学习的是第5页，共24页例例1 1 计算计算 det Adet A的值。的值。解：=196。2 求矩阵的逆求矩阵的逆一般格式：经过一系列的初等行变换把n级可逆矩阵A与n级单位矩阵E所组成 n2n的矩阵（A E）中的A化为单位矩阵，则E化为A-1这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。现在学习的是第6页，共24页例例2 2 求矩阵求矩阵 的逆。的逆。解：现在学习的是第7页，共24页验证：3

7、 求矩阵的秩求矩阵的秩一般格式：将mn矩阵经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B例3 求矩阵 的秩 A其中B中非零行数即为矩阵A的秩，记作r（A）。现在学习的是第8页，共24页解：解：由于B中有2个非零行，所以r（A）=2。4 求线性方程组的解求线性方程组的解一般格式:(1)齐次线性方程组AX=0，A是mn矩阵 1对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出r(A)。若r(A)=n，则AX=0，只有零解；若r(A)n，则AX=0有非零解，转入2 2对阶梯阵继续施行初等行变换将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，以非零行首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余的n-

8、k个未知量为自由未知量，将自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分别令自由未知量中一个为1，其余全为0，求得AX=0的基础解系：X，X，Xn-k现在学习的是第9页，共24页 3n-k3n-k个解向量的线性组合：个解向量的线性组合：C CX X+C+C2 2X X+C+Cn-kn-kX Xn-kn-k(C(C，C C，C Cn-kn-k为任意常数为任意常数)就就是是AX=0AX=0的通解。的通解。(2)(2)非齐次线性方程组非齐次线性方程组AX=BAX=B，A A是是mnmn矩阵矩阵11对增广矩阵对增广矩阵(AB)(AB)进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出进行初等行变换，将其化为行阶

9、梯矩阵，求出r(A)r(A)与与r(AB)r(AB)，若，若r(A)r(A)r(AB)r(AB)，则，则AX=BAX=B无解；若无解；若r(A)=r(AB)r(A)=r(AB)则则AX=BAX=B有解，转入有解，转入2 2 22对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，此时若方程组，此时若r(A)=r(AB)=nr(A)=r(AB)=n，则，则AX=BAX=B有唯一解，行最简形矩阵所对应的线性方程组有唯一解，行最简形矩阵所对应的线性方程组就是这唯一解的表达式；若就是这唯一解的表达式；若r(A)

10、=r(AB)=kr(A)=r(AB)=kn n，则，则AX=BAX=B有无穷多解，转入有无穷多解，转入3333以非零行的首个非零元对应的以非零行的首个非零元对应的k k个未知量为基本未知量，其余个未知量为基本未知量，其余n-kn-k个未知元为自由未知个未知元为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得到量，将自由未知量移到等式右端，得到AX=BAX=B的一般解，令所有的自由未知量为的一般解，令所有的自由未知量为0 0，求得，求得AX=BAX=B的一个特解的一个特解X X0 0 44在在AX=BAX=B的一般解中去掉常数项，就得到导出组的一般解中去掉常数项，就得到导出组AX=0AX=0的一般解，分

11、别令一个自由未知量的一般解，分别令一个自由未知量为为1 1其余自由未知量都为其余自由未知量都为0 0，求出导出组，求出导出组AX=0AX=0的基础解系，的基础解系，X X，X X，X Xn-kn-k与通解与通解C CX XC CX X2 2C C n-kn-kX Xn-kn-k5AX=B5AX=B的一个特解加导出组的一个特解加导出组AX=0AX=0的通解的通解C CX X1 1+C+CX X2 2+C+Cn-kn-kX Xn-kn-k+X+X0 0(C(C，C Cn-kn-k为为任意常数任意常数)就是就是AX=BAX=B的通解。的通解。现在学习的是第10页，共24页解：解：x=，其中为任意常数

12、。例4 求解非齐次线性方程组 现在学习的是第11页，共24页5 确定向量组的线性相关性确定向量组的线性相关性一般格式：设向量组为12m，以12m为列构成矩阵A，对A施行 初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩r（A），若r（A）=m，则12m线性无关，若r（A）m，则12m线性相关。例5 已知a1=1,1,1T,a2=0,2,5T,a3=1,3,6T,讨论a1,a2,a3的线性相关性。解：计算以向量组成的矩阵的秩r(A)=23=向量个数，所给向量组是线性相关的。6 确定一向量能否由另一向量线性表出确定一向量能否由另一向量线性表出一般格式：以向量组12m与向量为列构成矩阵A，然后对A施行初等

13、 行变换，化为行最简形矩阵B看B的最后一列能否由前面各列表出。现在学习的是第12页，共24页 例例6 6 已知向量组已知向量组1 1=(2,-1,3,1)=(2,-1,3,1)T T，2 2=(4,-2,5,4)=(4,-2,5,4)T T,=(2,-1,4,-1)T=(2,-1,4,-1)T，试判断，试判断 能否由能否由 1 1，2 2线线性表出，若能，则写出相关的线性组合。性表出，若能，则写出相关的线性组合。解：以为列构成矩阵，并对它施行初等行变换，化为行最简形矩阵 1 2 故：=3=3 1-27 求向量组的秩与极大无关组求向量组的秩与极大无关组一般格式：设向量组12m，以它们为列构成矩阵

14、AB的非零行的首个元素所在的列向量对应的12m中的向量i1ir构成一个极大无关组，其向量的个数即为向量组12m的秩。现在学习的是第13页，共24页例例7 7 利用矩阵初等行变换求下列矩阵的行向量组的秩与一个极大无关组利用矩阵初等行变换求下列矩阵的行向量组的秩与一个极大无关组 1 1=1,1,1,0=1,1,1,0T T,2 2=1,1,0,0=1,1,0,0T T,3 3=3,3,2,0=3,3,2,0T T,4 4=1,0,0,0=1,0,0,0T T,5 5=3,2,1,0=3,2,1,0T T解：将已知向量为列构成45的矩阵A，并对它施行初等行变换故1，2，4为该向量组的一个极大无关组，

15、该向量组的秩为3。现在学习的是第14页，共24页8 判断两向量组是否等价判断两向量组是否等价一般格式：已知向量组12m与12s，分别以12m与 12s 为列构成矩阵A与矩阵B，即A=（12m），B=（12s），令矩阵C=（A，B），对矩阵C施行初等行变换由D可求得r（A），r（B），r（C），若r（A）=r（B）=r（C），则向量组12m与12s等价，否则，它们不等价。行阶梯形矩阵DC例8 判断向量组1=（1，2，-1，5）,2=（2，-1，1，1）和向量组1=（4，3，-1，11），2=（4，3，0，11）是否等价解：以1，2，1，2为列构成矩阵A和B，令C=（A B），然后对它施行初等行变

16、换现在学习的是第15页，共24页由于由于r r（A A）r r（B B）r r（C C），所以向量组），所以向量组 1 1，2 2与向量组与向量组 1 1，2 2不等价。不等价。9 求向量空间中向量在一组基下的坐标求向量空间中向量在一组基下的坐标一般格式：设12n是n维向量空间Rn的n个向量，是Rn中的一组基，以12n，为列构成矩阵A，若可以对A施行初等行变换，将它变成如下形式：其中En是n阶单位阵，则12n是Rn的一组基，且在基12n下的坐标为 现在学习的是第16页，共24页例例9 9 求向量求向量 在基在基 1 1，2 2，3 3，4 4下的坐标下的坐标 1 1=1,1,1,1=1,1,1

17、,1T T 2 2=1=1，1 1，-1-1，-1-1T T 3 3=1=1，-1-1，1 1，-1-1T T 4 4=1=1，-1-1，-1-1，11T T,=1,=1，2 2，1 1，11解：以解：以 1 1，2 2，3 3，4 4，为列构成矩阵为列构成矩阵A A，并对它施行初等行变换，并对它施行初等行变换所以，在1，2，3，4下的坐标就是（5/4，1/4，-1/4，-1/4）T现在学习的是第17页，共24页10 求一个向量组生成的子空间的基与维数求一个向量组生成的子空间的基与维数 一般格式：记由向量组一般格式：记由向量组 1 1 2 2 mm生成的子空间为生成的子空间为L L（1 1 2

18、 2 mm），），以以 1 1 2 2 mm为列构成矩阵为列构成矩阵A A，对，对A A施行初等行变换使化为施行初等行变换使化为 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B B，由，由B B可求出向量组可求出向量组 1 1 2 2 mm的一个极大的一个极大 线性无关组线性无关组 i1i1 ir ir，它即为，它即为L L（1 1 2 2 mm ）的一组基）的一组基,L L（1 1 2 2 mm ）的维数即为）的维数即为dim Ldim L（1 1 2 2 mm ）=r=r。例例10 10 在在R R4 4中，求由向量中，求由向量 i i（i=1i=1，2 2，3 3，4 4）生成的子空间）生成的子空间L L（

19、1 1，2 2，3 3，4 4）的基与维）的基与维数，其中数，其中 1 1=（2 2，1 1，3 3，-1-1）T T，2 2=（-1-1，1 1，-3-3，1 1）T T，3 3=（4 4，5 5，3 3，-1-1）T T，4 4=（1 1，5 5，-3-3，1 1）T T 解：以向量解：以向量 1 1，2 2，3 3，4 4为列构成矩阵为列构成矩阵A A，对，对A A施行初等行变换，使施行初等行变换，使A A化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵由矩阵B可知，1，2是向量组 1，2，3，4的极大无关组所以 dim L（1，2，3，4）=2 1，2是L（1，2，3，4）一组基。现在学习的是第18页

20、，共24页11 11 求两个子空间的和与交的基与维数求两个子空间的和与交的基与维数求两个子空间的和与交的基与维数求两个子空间的和与交的基与维数 一般格式：设分别由一般格式：设分别由 1 1 2 2 mm与与 1 1 2 2 s s生成的子空间为生成的子空间为 L L （1 1 2 2 mm ）和）和L L（1 1 2 2 s s ），以），以 1 1 2 2 mm与与 1 1 2 2 s s 为列构成矩阵为列构成矩阵A A，然后对，然后对A A施行初等行变换，使它化为行最简形矩阵施行初等行变换，使它化为行最简形矩阵B B，由矩阵由矩阵B B可求得可求得dim Ldim L（1 1 2 2 mm

21、 ）和）和dim Ldim L（1 1 2 2 s s ），），dim dim（L L（1 1 2 2 mm ）+dim L+dim L（1 1 2 2 s s ），），以及以及L L（1 1 2 2 mm ）+L+L（1 1 2 2 s s ）的一个基。然后根据维数定理）的一个基。然后根据维数定理 求出求出dim dim（L L（1 1 2 2 mm ）LL（1 1 2 2 s s ）=r=r，再由矩阵，再由矩阵B B得得 r r个关于个关于 1 1 2 2 mm与与 1 1 2 2 s s的线性关系式，从而求出的线性关系式，从而求出 L L（1 1 2 2 mm ）LL（1 1 2 2 s

22、 s ）的一个基。）的一个基。例例11 11 求子空间求子空间L L（1 1，2 2）与）与L L（1 1，2 2）的交的基与维数，其中）的交的基与维数，其中 1 1=（1 1，1 1，0 0，0 0）T T，2 2=（1 1，0 0，1 1，1 1）T T 1 1=（0 0，0 0，1 1，1 1）T T，2 2=（0 0，1 1，1 1，1 1）T T现在学习的是第19页，共24页 由由B B可得，可得，1 1-2 2+2+2 1 1=2 2 1 1，2 2是是L L（1 1，2 2 ）的一组基，）的一组基，dimL dimL（1 1，2 2 ）=2=2 1 1，2 2是是L L（1 1，

23、2 2 ）的一组基，）的一组基，dimLdimL（1 1，2 2 ）=2=2 1 1，2 2 ，1 1是是 L L（1 1，2 2 ）+L+L（1 1，2 2 ）=L=L（1 1，2 2 ，1 1，2 2 ）的一组基）的一组基 dim dim（L L（1 1，2 2 ）+L+L（1 1，2 2 ）=3=3 dim dim（L L（1 1，2 2 ）L L（1 1，2 2 ）=（dimLdimL（1 1，2 2 ）+dimL dimL（1 1，2 2 ）-dim-dim（L L（1 1，2 2 ）+L+L（1 1，2 2 ）=4-3=1=4-3=1 解：以解：以 1，2，1 1，2 2为列构成矩

24、阵为列构成矩阵A A，对，对A A施行初等行变换，使它化为施行初等行变换，使它化为行最简形矩阵行最简形矩阵B B现在学习的是第20页，共24页00 1 1-2 2=2 2-2-2 1 1=是 L L（1，2 ）L L（1，2 ）的一组基。12 求从一组基到另一组基的过渡矩阵求从一组基到另一组基的过渡矩阵一般格式：已知n维向量空间V的两组基分别为 12n与12n，以 12n与12n为列构成矩阵M，对M施行初等行变换，使它变为如下形状：M=（12n12n）（EA）上式中的A即为从基12n到基12n的过渡矩阵例12 设1=（1，0，1）T，2=（2，1，0）T，3=（1，1，1）T1=（1，2，-1

25、）T，2=（2，2，-1）T，3=（2，-1，-1）T是3维向量空间V的两组基，求从基1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵。现在学习的是第21页，共24页解：以解：以 1 1，2 2，3 3，1 1，2 2，3 3为列构成矩阵为列构成矩阵MM，对，对MM施行初等行变换，施行初等行变换，使它化为如下形状使它化为如下形状：所以从基1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵为 现在学习的是第22页，共24页结 论 矩阵初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处。但是由于这些计算格式有不同的原理，所以，它们也有一些明显的区别。n n计算格式计算格式1 1既可以用初等行变换也可以用初等列变换，既可以用初等行变换也可以用初等列变换，施行这些变换时要注意使行列式保值。施行这些变换时要注意使行列式保值。n n计算格式计算格式3 3既可以用初等行变换也可以用初等列变换，既可以用初等行变换也可以用初等列变换，但是我们一般只用初等行变换。但是我们一般只用初等行变换。n n其余计算格式只能使用初等行变换。现在学习的是第23页，共24页放映结束!谢谢!现在学习的是第24页，共24页