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1、关于三角形内角和定理第一页，讲稿共四十一页哦学学 习习 目目 标标1、通过拼图验证三角形内角和。、通过拼图验证三角形内角和。2、能理解和掌握三角形内角和定理、能理解和掌握三角形内角和定理 的的证明过程。证明过程。3、能灵活应用三角形内角和定理进行简单、能灵活应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理证明。的计算和推理证明。第二页，讲稿共四十一页哦创设情境激发情趣：创设情境激发情趣：内角三兄弟内角三兄弟之争之争 在一个直角三角形里住着三个内在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结可是角，平时，它们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，
2、它指着老大说：来，它指着老大说：“你凭什么度数你凭什么度数最大，我也要和你一样大！最大，我也要和你一样大！”“”“不行不行啊！啊！”老大说：老大说：“这是不可能的，否这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了则，我们这个家就再也围不起了”“为什么？为什么？” 老二很纳闷。老二很纳闷。 同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？第三页，讲稿共四十一页哦验证：三角形的三个内角和是验证：三角形的三个内角和是180180图1图2图3ABCCBAABBCCBAB第四页，讲稿共四十一页哦结论结论 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于ABC已知：已知：A B C.A B C.求证
3、：求证：A +B +C=180A +B +C=180180180命题的正确性还要严密的推理证明想一想：如何命题的正确性还要严密的推理证明想一想：如何证明呢？证明呢？三角形内角和定理：三角形内角和定理： 证法一证法一证法二证法二证法三证法三证法四证法四第五页，讲稿共四十一页哦已知：已知：A B C.A B C.求证：求证：A +B +C=180A +B +C=180ABC证法一证法一证明：作证明：作BCBC的延长线的延长线CDCD，在，在A B CA B C的的外部以外部以C A C A 为一边，为一边，CECE为另一边作为另一边作1=A. 1=A. 则则 C EB A C EB A 内错角相等
4、，两直线内错角相等，两直线平行平行 2 =B 2 =B 两直线平行，同位角两直线平行，同位角相等相等 B C A +1 +2=180 B C A +1 +2=180 B C A +A +B = 180 B C A +A +B = 180 再此证法中再此证法中,通过做角等把通过做角等把三角三角形的三个角移到一起，想一想还形的三个角移到一起，想一想还有没有与此类似的方法？有没有与此类似的方法？ D2E1为了证明的需要，在原图形上添画的为了证明的需要，在原图形上添画的线叫作辅助线。在平面几何里，辅助线叫作辅助线。在平面几何里，辅助线通常化成虚线。线通常化成虚线。返回返回第六页，讲稿共四十一页哦证法二
5、证法二已知：已知：A B C.A B C.求证：求证：A +B +C=180A +B +C=180ABCDE证明：过点证明：过点A画画DEBC B ，C（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） BAC （平角定义）（平角定义） B BAC C返返回回第七页，讲稿共四十一页哦证法三证法三已知：已知：A B C.A B C.求证：求证：A +B +C=180A +B +C=180ABCFE证明：在证明：在BC上取一点上取一点D，过点，过点D画画DEBA，DF CA BDF C，EDC B, (两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等）EDF=DEC=A（两直线平行，内错角相等）（
6、两直线平行，内错角相等） BDF EDF EDC A B C 返返回回第八页，讲稿共四十一页哦证法四证法四已知：已知：A B C.A B C.求证：求证：A +B +C=180A +B +C=180ABCD证明：过点证明：过点C作作CD BA ACD A（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）BCD B （两直线平行，同内角互补）两直线平行，同内角互补） BCA ACD B 即即BCA A B 返返回回第九页，讲稿共四十一页哦ABCD三角形的外角三角形的外角： 三角形的一边与另一三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫边的延长线组成的角，叫做三角形的做三角形的外角外角第十页，讲稿共
7、四十一页哦画图并思考：画图并思考：画一个画一个ABC ，你能画出它的所有外，你能画出它的所有外角来吗？请动手角来吗？请动手试一试试一试同时同时想一想想一想ABC的外角共有几个呢？的外角共有几个呢？归纳：归纳：每一个三角形都有每一个三角形都有个个外角外角每一个顶点相对应的外角都有每一个顶点相对应的外角都有个个每个外角与相邻的内角是每个外角与相邻的内角是邻补角邻补角第十一页，讲稿共四十一页哦1 2 4 三角形的外角与三角形的内角三角形的外角与三角形的内角之间有怎样的数量关系之间有怎样的数量关系? ?外角A 3B CD相邻内角不相邻 内 角相邻的内角：相邻的内角：不相邻的两内角：不相邻的两内角：第十
8、二页，讲稿共四十一页哦三角形的外角与内角的关系：如图ABC中，则 ACB+ACD180 ABCD？ 结论： 三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角即三角形的外角与它 相邻内角的和为180第十三页，讲稿共四十一页哦ABC ABC的外角的外角ACD与它与它不相邻不相邻的内角的内角 A、 B有怎样的关系？有怎样的关系？D ACD= A+ B 能证明这个结能证明这个结论吗？论吗？第十四页，讲稿共四十一页哦结论结论1 1、三角形的一个三角形的一个外角外角等于与它等于与它不相邻不相邻的的两个内角两个内角的和。的和。ACBD如图, ACD 是ABC的一个外角,试说明ACD= B+ A你能说出三角形的你能说出三
9、角形的外角外角与每一与每一个个不相邻的内角不相邻的内角之间的关系吗之间的关系吗? ACD= B+ A ACDA, ACD B结论结论2、三角形的一个、三角形的一个外角大于外角大于任何一个与它任何一个与它不相邻不相邻的内角。的内角。第十五页，讲稿共四十一页哦ABCD证明：证明： ABC中中A+B+ACB=180（三角形内（三角形内角和定理）角和定理）ACB+ACD=180（平角定义）（平角定义）ACD=A+B（等量代换）（等量代换）ACD= A+ B第十六页，讲稿共四十一页哦归纳总结：归纳总结： 推论推论1：三角形的一：三角形的一个外角等于与它个外角等于与它不相邻不相邻的的两个内角的和。两个内角
10、的和。 推论推论2：三角形的一个：三角形的一个外角大于与它外角大于与它不相邻不相邻的任的任何一个内角。何一个内角。由公理、定理直接得出的真命题叫做推论。第十七页，讲稿共四十一页哦3、三角形的一个外角、三角形的一个外角大于大于任何任何一个与它一个与它不相邻不相邻的的内角。内角。2 2、三角形的一个外角、三角形的一个外角等于等于与它与它不相邻不相邻的两个的两个内角的内角的和和；1 1、三角形的一个外角与它、三角形的一个外角与它相邻相邻的内角的内角互补互补；三角形的外角与内角的关系：三角形的外角与内角的关系：第十八页，讲稿共四十一页哦 160110练一练练一练： 1、求下列各图中、求下列各图中1的度
11、数。的度数。50 45 1 1 35 120 1 1第十九页，讲稿共四十一页哦试比较试比较1 、A的大小关系？的大小关系？你能比较你能比较2 、 A的关系么？再试试看。的关系么？再试试看。 2PABCD1第二十页，讲稿共四十一页哦练一练：练一练：2、把图中把图中1、 2、 3按从大到按从大到小的顺序排列，并说明理由。小的顺序排列，并说明理由。解：解：1 2 3 3 32 21ABCDE第二十一页，讲稿共四十一页哦 3 32 21ABCDE解： 1是BDE的外角， 2是ADC的外角12, 2 3 123第二十二页，讲稿共四十一页哦例例1.已知已知:如图如图6-14,在在ABC中中, 1是它是它的
12、一个外角的一个外角, E为边为边AC上一点上一点,延长延长BC到到D,连接连接DE.求证求证: 12.w证明: 1是ABC的一个外角(已知),w 13(三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角).w 3是CDE的一个外角 (外角定义).w 32(三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角).w 12(不等式的性质).CABF1345ED2第二十三页，讲稿共四十一页哦 3 32 21ABC564例例1 已知：如图，已知：如图，1、2、3是是ABC的的三个外角三个外角 求证：求证：1+2+3=360结论：三角形的外角和等于结论：三角形的外角和等于360通常把一个三角形每一个通常把一个三角
13、形每一个顶点处的顶点处的一个一个外角的和外角的和叫做叫做三角形的外角和三角形的外角和。第二十四页，讲稿共四十一页哦三角形的外角和三角形的外角和 对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做的和，叫做三角形的外角和三角形的外角和。结论结论： 三角形的外角和等于三角形的外角和等于180 第二十五页，讲稿共四十一页哦123BACPNMDEFABCDEF=。360第二十六页，讲稿共四十一页哦ABCDE第二十七页，讲稿共四十一页哦思考题：在思考题：在ABC中，中， B=48 ， C=
14、82 那么那么 A等于多少度呢？等于多少度呢？答：答：A这样的三角形是这样的三角形是锐角三角形锐角三角形。有三个角都是锐角的三角形是锐有三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。角三角形。思考题：在思考题：在ABC中，中， B=48 ， C=2 那么那么 A等于多少度呢？等于多少度呢？答：答：A思考题：在思考题：在ABC中，中， B=4 ， C=2 那那么么A等于多少度呢？等于多少度呢？答：答：A这样的三角形是这样的三角形是钝角三角形。钝角三角形。有一个角是钝角的三角形是钝有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。角三角形。这样的三角形是这样的三角形是直角三角形。直角三角形。有一个角是直角的三角形是直角有
15、一个角是直角的三角形是直角三角形。三角形。思考题：如何按角给三角形分类呢？请大家思考相互讨论。思考题：如何按角给三角形分类呢？请大家思考相互讨论。第二十八页，讲稿共四十一页哦三角形三角形直角三角形直角三角形斜三角形斜三角形锐角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形直角边直角边直角边直角边斜斜边边三角形按角的大小分类三角形按角的大小分类直角三角形可以用符号直角三角形可以用符号Rt 表示，直角三角形可以表示，直角三角形可以写成写成Rt ABC。第二十九页，讲稿共四十一页哦思考题：在思考题：在ABC中，中， C= ， A= B，那么那么 A和和B，等于多少度呢？，等于多少度呢？答：答： A= B 两条
16、直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形思考题：在思考题：在Rt ABC中，中， C= ， A与与B的的和等于多少度？和等于多少度？答：答： AB 你能用一句话概括这个命题吗？你能用一句话概括这个命题吗？三角形内角和定理：三角形三个内角和等于三角形内角和定理：三角形三个内角和等于 推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的
17、两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。第三十页，讲稿共四十一页哦证明证明：在在ABC中中 A+B+C=180(三角形内角和定理）三角形内角和定理） C= 90（已知）（已知） A+B+90=180（等量代换）（等量代换） A+B=18090= 90 （等式性质）（等式性质） 即即A+B=90ABC已知：在已知：在ABC中，中，C 90 求证：求证：AB90 随堂练习随堂练习第三十一页，讲稿共四十一页哦实际问题（二）实际问题（二）一个已损坏的三角形零件如图经检验
18、量得，一个已损坏的三角形零件如图经检验量得， A A B B，你能推算出另一个角的度数吗？，你能推算出另一个角的度数吗？AB实际问题实际问题数学化数学化数学问题源于生活实践，反过来数学又为生数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务活实践服务第三十二页，讲稿共四十一页哦练习一练习一：在在ABC中，中，（1）C=90，A=30 ，则，则B=；（2）A=50 ，B=C，则，则B=；（3）AC=25 ，BA=10 ，则，则 B=。第三十三页，讲稿共四十一页哦 已知已知: 在在 ABC中，中，C=ABC=2A， BD是是AC边上的高。求边上的高。求DBC的度数。的度数。ABCD练习二第三十四页，
19、讲稿共四十一页哦例例1： 如图，已知如图，已知ACB=90 ，CDAB，垂足是，垂足是D。 （1）图中有几个直角三角形？是哪几个？说出它）图中有几个直角三角形？是哪几个？说出它 们的直角和斜边。们的直角和斜边。 （2） 1、2有什么关系？有什么关系？B、2有什么关系？有什么关系？ 为什么？为什么？1和和B是不是相等？为什么？是不是相等？为什么？CABD12第三十五页，讲稿共四十一页哦学会了一个定理及一个推论学会了一个定理及一个推论三角形内角和定理：三角形三个内角和等三角形内角和定理：三角形三个内角和等于于 推论：直角三角形的两个锐角互推论：直角三角形的两个锐角互余。余。大家思路很开阔，用了很多
20、方法证明了三角形内角和定理大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理下面让我们共同欣赏一下：下面让我们共同欣赏一下：方法ABCD2E1谈谈收获第三十六页，讲稿共四十一页哦谈谈收获学会了一个定理及一个推论学会了一个定理及一个推论三角形内角和定理：三角形三个内角三角形内角和定理：三角形三个内角和等于和等于 推论：直角三角形的两个锐角互余推论：直角三角形的两个锐角互余。大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理下面让我们共同欣赏一下：下面让我们共同欣赏一下：方法ABCDE第三十七页，讲稿共四十一页哦谈谈收获学会了一个定理及一个推论学会
21、了一个定理及一个推论推论：直角三角形的两个锐角互余推论：直角三角形的两个锐角互余。大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理下面让我们共同欣赏一下：下面让我们共同欣赏一下：方法ABCFE三角形内角和定理：三角形三个内角三角形内角和定理：三角形三个内角和等于和等于 第三十八页，讲稿共四十一页哦谈谈收获学会了一个定理及一个推论学会了一个定理及一个推论推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理下面让我们共同欣赏一下：下面让我们共同欣赏一下：方法ABCD想一想还有没有其它证法？想一想还有没有其它证法？三角形内角和定理：三角形三个内角和三角形内角和定理：三角形三个内角和等于等于 第三十九页，讲稿共四十一页哦ABC123三角形的三个内角和是多少?方法三方法三: 将各角沿着一边所在的直线折叠将各角沿着一边所在的直线折叠第四十页，讲稿共四十一页哦感谢大家观看感谢大家观看第四十一页，讲稿共四十一页哦