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1、第四章 泊松过程,2020年10月29日星期四,在互不相交的区间上,状态的增量是相,互独立的，有,特征:,一、齐次泊松过程,1、独立增量过程,2020年10月29日星期四,则称增量具有平稳性.,增量 X(t)-X(s) 的分布函数只依赖于,当增量具有平稳性时,是齐次的或时齐的.,称相应的独立增量过程,特征:,区间的长度t-s, 而与它的位置无关.,2020年10月29日星期四,考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件：,(1)自电子管阴极发射的电子到达阳极;,(2)意外事故或意外差错的发生;,(3)要求服务的顾客到达服务站.,2、齐次泊松过程的概念,电子到达阳极、顾客到达服务站等事件会随,时间
2、推移随机发生在时间轴上的不同时刻.,2020年10月29日星期四,一个计数过程一定满足：,(1) N(t)取非负整数值；,(2) 如果st,则N(s)N(t);,(3) N(t)在0, )上右连续且逐段取常数;,(4),2020年10月29日星期四,计数过程的一个典型样本函数,2020年10月29日星期四,(2) 是独立增量过程;,定义,(3) 对任意,注：,(1) 条件(1)表明计数从0时刻开始.,(2) 条件(2)通常需要根据实际过程验证.,(3) 条件(3)同时表明过程具有平稳增量.,2020年10月29日星期四,均值函数:,方差函数:,泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件数目的
3、均值.,3. 齐次泊松过程的数字特征,由于,(1),2020年10月29日星期四,协方差函数:,相关函数:,(2),2020年10月29日星期四,2020年10月29日星期四,(3),(4),EN(5)=10,DN(5)=10,2020年10月29日星期四,设,表示事件第n次出现的等待时间.,表示第n-1次,事件发生到第n次事件发生的时间间隔.,4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量,注：,两者均为随机变量.,2020年10月29日星期四,(1) 时间间隔的分布,先求 的分布函数：,表明 服从均值为1/的指数分布.,2020年10月29日星期四,再求已知T1的条件下，T2的条件分布函数,由于 P
4、T2t|T1=s,=P在(s, s+t内没有事件发生|T1=s,=PN(s+t)-N(s)=0 | N(s) -N(0) =1,= PN(s+t) -N(s)=0 ,故,表明 服从均值为1/的指数分布，且与T1独立.,(独立增量过程),2020年10月29日星期四,重复上面的推导，可得下面的结论：,结论:,设N(t), t0是强度为的泊松过程，则,意义:,表明在概率意义上过程在任何时刻重新开始，,即泊松过程是无记忆的.,2020年10月29日星期四,(2) 等待时间的分布,由于,利用矩母函数容易证明,即Wn具有概率密度,2020年10月29日星期四,二、泊松过程的推广,1、非齐次泊松过程,注：
5、,从而非齐次泊松过程不再具有平稳增量性.,则有,2020年10月29日星期四,例1 某路公交车从早晨5时到晚上9时有车,乘客 流量如下:5时平均乘客为200人/小时;5时至8时 乘客平均到达率线性增加,8时到达率为1400人/ 小时;8时至18时保持平均到达率不变;18时到21 时到达率线性下降,到21时为200人/小时,假定 乘客数在不重叠的区间内是相互独立的,求 (1)7时至9时来站乘车人数的数学期望； (2)12时至14时有2000人乘车的概率.,解 设t=0为早晨5时,t=16为晚上9时,则均值函数,2020年10月29日星期四,7时至9时为t(2,4,则由非齐次泊松过程的 性质可得7
6、时至9时乘车人数的数学期望为,12时至14时有2000人来站乘车的概率为,(2),2020年10月29日星期四,设N(t), t0是强度的泊松过程,Yk,k=1,2,是 独立同分布随机变量序列,且与N(t), t0独立,令 则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t内来到某商店的顾客数,Yk是,2、复合泊松过程,2020年10月29日星期四,设 是复合泊松过程，则 (1) X(t), t0是独立增量过程； (2) X(t)的特征函数 是事件的到达率,gY(u)是随机变量Y1的特征函数； (3)若 ，则,定理：,2020年10月29日星期四,例2 设移民到某地的户数是一个速率为,（每周）的泊松过程,若每户人口,求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.,数为独立同分布的随机变量,可得五周内移民到该地人口数的的期望,解：,将 代入,由Yn的分布律可得,2020年10月29日星期四,设进入到某超市的人数是一个速率为,（每小时）的泊松过程,若每个人消费,小时内总营业额的期望和方差.,的金额（元）为独立同分布的随机变量,课堂练习,