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1、会计学1泊松过程泊松过程poisson第一页，编辑于星期二：二点 十六分。内容提要内容提要qq泊松过程的定义泊松过程的定义泊松过程的定义泊松过程的定义qq泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质qq非齐次泊松过程非齐次泊松过程非齐次泊松过程非齐次泊松过程qq复合泊松过程复合泊松过程复合泊松过程复合泊松过程第1页/共31页第二页，编辑于星期二：二点 十六分。泊松分布泊松分布 泊松分布 随机变量随机变量X 的所有可能取值为的所有可能取值为 0,1,2,，而取各个值的概率为，而取各个值的概率为则随机变量则随机变量 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布，简记，简记为为
2、 ()。第2页/共31页第三页，编辑于星期二：二点 十六分。6.1 6.1 泊松过程的定义泊松过程的定义定义 称称 N(t),t 0 为为计数过程，若，若N(t)表示到时间表示到时间t 为止已发生的为止已发生的“事件事件A”的总数，且的总数，且N(t)满足下列条件：满足下列条件：(1)N(t)0，且，且 N(0)=0;(2)N(t)取非负整数值取非负整数值;(3)若若 s t，N(s)N(t);(4)当当s t 时，时，N(t)N(s)等于区间等于区间(s,t 中中“事件事件A”发生的次数。发生的次数。第3页/共31页第四页，编辑于星期二：二点 十六分。泊松过程泊松过程定义 称计数过程称计数过
3、程 X(t),t 0 为具有参数为具有参数 的的泊松过程，若，若它它满足下列条件：满足下列条件：(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立增量过程是独立增量过程;(3)（平稳性平稳性）在任一长度为）在任一长度为 t 的区间中，事件的区间中，事件A发生的次数服从发生的次数服从参数参数 t 的泊松分布，即对任意的泊松分布，即对任意 s,t，有，有第4页/共31页第五页，编辑于星期二：二点 十六分。泊松过程的几个例子泊松过程的几个例子泊松过程的几个例子泊松过程的几个例子n n考考考考虑虑虑虑某某某某一一一一电电电电话话话话交交交交换换换换台台台台在在在在某某某某段段段段时时时时间间间间接接接接到到到到
4、的的的的呼呼呼呼叫叫叫叫。令令令令X X(t t)表表表表示示示示电电电电话话话话交交交交换换换换台台台台在在在在 0,0,t t 时时时时间间间间内内内内收收收收到到到到的的的的呼呼呼呼叫叫叫叫次次次次数数数数，则则则则 X X(t t),),t t 0 0 是一个泊松过程。是一个泊松过程。是一个泊松过程。是一个泊松过程。n n考考考考虑虑虑虑来来来来到到到到某某某某火火火火车车车车站站站站售售售售票票票票窗窗窗窗口口口口购购购购买买买买车车车车票票票票的的的的旅旅旅旅客客客客。若若若若记记记记X X(t t)为为为为时时时时间间间间 0,0,t t 内内内内到到到到达达达达售售售售票票票票
5、窗窗窗窗口口口口的的的的旅旅旅旅客客客客数数数数，则则则则 X X(t t),),t t 0 0 是是是是一个泊松过程。一个泊松过程。一个泊松过程。一个泊松过程。n nX X(t t)为某网站在时间为某网站在时间为某网站在时间为某网站在时间 0,0,t t 内的被访问次数。内的被访问次数。内的被访问次数。内的被访问次数。第5页/共31页第六页，编辑于星期二：二点 十六分。参数为参数为 n 和和 s/t 的二项分布的二项分布 例例例例 设在设在设在设在 0,0,t t 内事件内事件内事件内事件A A已经发生已经发生已经发生已经发生 n n 次，且次，且次，且次，且0 0 s s t t，对于，对
6、于，对于，对于0 0 k k 0 的的泊松过程，若，若它它满足下列条件：满足下列条件：(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立、平稳增量过程是独立、平稳增量过程;(3)X(t)满足下列两式：满足下列两式：第7页/共31页第八页，编辑于星期二：二点 十六分。6.2 6.2 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质泊松分布泊松分布:第8页/共31页第九页，编辑于星期二：二点 十六分。(1)(1)泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征均值函数均值函数方差函数方差函数相关函数相关函数协方差函数协方差函数第9页/共31页第十页，编辑于星期二：二点 十六分。(2)(2)(2)(2)时间间隔与等待时间时间间隔与等
7、待时间设设设设 X X(t t),),t t 0 0 是泊松过程，令是泊松过程，令是泊松过程，令是泊松过程，令X X(t t)表示表示表示表示 (0,(0,t t 时间内事件时间内事件时间内事件时间内事件A A发生的次数，发生的次数，发生的次数，发生的次数，T1T2T3Tn0W1W2W3Wn-1WntWn 第第n次事件次事件A发生的时刻，或称等待时间，或者到达时间发生的时刻，或称等待时间，或者到达时间Tn 从第从第n-1次事件次事件A发生到第发生到第n次事件次事件A发生的时间间隔，或称第发生的时间间隔，或称第n个时间间隔个时间间隔第10页/共31页第十一页，编辑于星期二：二点 十六分。时间间隔
8、时间间隔时间间隔时间间隔Tn 定理定理 设设设设 X X(t t),),t t 0 0 是具有参数是具有参数是具有参数是具有参数 的泊松过程，的泊松过程，的泊松过程，的泊松过程，T Tn n,n n 1 1 是对应是对应是对应是对应的时间间隔序列，则随机变量的时间间隔序列，则随机变量的时间间隔序列，则随机变量的时间间隔序列，则随机变量T Tn n(n n=1,2,=1,2,)是独立同分布的参数是独立同分布的参数是独立同分布的参数是独立同分布的参数为为为为 的的的的指数分布指数分布指数分布指数分布。第11页/共31页第十二页，编辑于星期二：二点 十六分。等待时间（到达时间）等待时间（到达时间）等
9、待时间（到达时间）等待时间（到达时间）Wn 定理定理 设设设设 X X(t t),),t t 0 0 是具有参数是具有参数是具有参数是具有参数 的泊松过程，的泊松过程，的泊松过程，的泊松过程，WWn n,n n 11是对应是对应是对应是对应的等待时间序列，则随机变量的等待时间序列，则随机变量的等待时间序列，则随机变量的等待时间序列，则随机变量WWn n 服从参数为服从参数为服从参数为服从参数为n n与与与与 的的的的 分布分布分布分布（又称为爱尔兰又称为爱尔兰又称为爱尔兰又称为爱尔兰分布）分布）分布）分布），其，其，其，其概率密度为概率密度为概率密度为概率密度为第12页/共31页第十三页，编辑
10、于星期二：二点 十六分。例例例例1 1 1 1 已知仪器在已知仪器在已知仪器在已知仪器在 0,0,t t 内发生振动的次数内发生振动的次数内发生振动的次数内发生振动的次数 X X(t t)是具有参数是具有参数是具有参数是具有参数 的的的的泊松过程。若仪器振动泊松过程。若仪器振动泊松过程。若仪器振动泊松过程。若仪器振动k k(k k 1)1)次就会出现故障，求仪器在时刻次就会出现故障，求仪器在时刻次就会出现故障，求仪器在时刻次就会出现故障，求仪器在时刻 t t0 0 正常工作的概率。正常工作的概率。正常工作的概率。正常工作的概率。解故仪器故仪器在时刻在时刻 t0 正常工作的概率正常工作的概率为为
11、:仪器发生第仪器发生第k振动的时刻振动的时刻Wk 就是故障时刻就是故障时刻T，则，则T 的概率分布为的概率分布为 分布分布:第13页/共31页第十四页，编辑于星期二：二点 十六分。(3)(3)(3)(3)到达时间的条件分布到达时间的条件分布到达时间的条件分布到达时间的条件分布假设在假设在假设在假设在0 0,t t 内事件内事件内事件内事件A A已经发生一次，确定这一事件到已经发生一次，确定这一事件到已经发生一次，确定这一事件到已经发生一次，确定这一事件到达时间达时间达时间达时间WW1 1的分布的分布的分布的分布分布函数：分布密度：均匀分布均匀分布第14页/共31页第十五页，编辑于星期二：二点
12、十六分。到达时间的条件分布到达时间的条件分布 定理定理 设设设设 X X(t t),),t t 0 0 是泊松过程，已知在是泊松过程，已知在是泊松过程，已知在是泊松过程，已知在0,0,t t 内事件内事件内事件内事件A A发生发生发生发生n n次，则这次，则这次，则这次，则这n n次到达时间次到达时间次到达时间次到达时间WW1 1 WW2 2 WWn n可看成可看成可看成可看成n n个个个个0,0,t t 上上上上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量均匀分布的独立随机变量的顺序统计量均匀分布的独立随机变量的顺序统计量均匀分布的独立随机变量的顺序统计量第15页/共31页第十六页，编辑于星期二：二点
13、 十六分。例例例例3 3 3 3 设在设在设在设在 0,0,t t 内事件内事件内事件内事件A A已经发生已经发生已经发生已经发生 n n 次，求第次，求第次，求第次，求第k k次次次次(k k n n)事件事件事件事件A A发生的时间发生的时间发生的时间发生的时间WWk k 的条件概率密度函数。的条件概率密度函数。的条件概率密度函数。的条件概率密度函数。Beta分布分布第16页/共31页第十七页，编辑于星期二：二点 十六分。例4 设设X1(t),t 0 和和X2(t),t 0 是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的
14、事件数分别为 1和和 2。记。记Wk(1)为过程为过程X1(t)的第的第k次事件到达时间，次事件到达时间，W1(2)为过程为过程X2(t)的第的第1次事件到达时间，求次事件到达时间，求 PWk(1)W1(2)，即第一个泊松过程的第，即第一个泊松过程的第k次事件发生早于第二个泊松过程的第次事件发生早于第二个泊松过程的第1次事件发生次事件发生 的概率。的概率。第17页/共31页第十八页，编辑于星期二：二点 十六分。6.5 6.5 非齐次泊松过程非齐次泊松过程定义 称计数过程称计数过程 X(t),t 0 为具有跳跃强度函数为具有跳跃强度函数 (t)的的非齐次泊松过程，若，若它它满足下列条件：满足下列
15、条件：(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立增量过程是独立增量过程;(3)第18页/共31页第十九页，编辑于星期二：二点 十六分。非齐次泊松过程的分布非齐次泊松过程的分布非齐次泊松过程的分布非齐次泊松过程的分布定理 设设 X(t),t 0 为具有跳跃强度函数为为具有跳跃强度函数为的非齐次泊松过程的非齐次泊松过程，则有，则有令令则X(t)服从参数为 的的poissonpoisson分布分布第19页/共31页第二十页，编辑于星期二：二点 十六分。例例6 6设设 X(t),t 0 是具有跳跃强度是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。求的非齐次泊松过程。求 EX(t)和和 DX(t)。第20页/共31页第
16、二十一页，编辑于星期二：二点 十六分。例例例例7777 设设设设某某某某路路路路公公公公共共共共汽汽汽汽车车车车从从从从早早早早上上上上5 5时时时时到到到到晚晚晚晚上上上上9 9时时时时有有有有车车车车发发发发出出出出。乘乘乘乘客客客客流流流流量量量量如如如如下下下下：5 5时时时时平平平平均均均均乘乘乘乘客客客客为为为为200200人人人人/时时时时；5 5时时时时至至至至8 8时时时时乘乘乘乘客客客客线线线线性性性性增增增增加加加加，8 8时时时时达达达达到到到到14001400人人人人/时时时时；8 8时时时时至至至至1818时时时时保保保保持持持持平平平平均均均均到到到到达达达达率率
17、率率不不不不变变变变；1818时时时时至至至至2121时时时时到到到到达达达达率率率率线线线线性性性性下下下下降降降降，到到到到2121时时时时为为为为200200人人人人/时时时时。假假假假定定定定乘乘乘乘客客客客数数数数在在在在不不不不相相相相重重重重叠叠叠叠的的的的时时时时间间间间间间间间隔隔隔隔内内内内是是是是相相相相互互互互独独独独立立立立的的的的。求求求求1212时时时时至至至至1414时时时时有有有有20002000人人人人来来来来站站站站乘乘乘乘车车车车的的的的概概概概率率率率，并并并并求求求求出出出出这这这这两两两两小小小小时时时时内内内内乘乘乘乘客客客客人人人人数数数数的的
18、的的数数数数学学学学期期期期望。望。望。望。第21页/共31页第二十二页，编辑于星期二：二点 十六分。6.6 6.6 复合泊松过程复合泊松过程定义 设设 N(t),t 0 是强度为是强度为 的泊松过程的泊松过程，Yk,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与是一列独立同分布随机变量，且与 N(t),t 0 独立，令独立，令则称则称 X(t),t 0 为复合为复合泊松过程。泊松过程。第22页/共31页第二十三页，编辑于星期二：二点 十六分。复合泊松过程的性质复合泊松过程的性质复合泊松过程的性质复合泊松过程的性质定理 设设 是复合是复合泊松过程泊松过程，则，则(1)X(t),t 0 是独立增量过
19、程是独立增量过程;(2)若若 ，则，则第23页/共31页第二十四页，编辑于星期二：二点 十六分。例8 考虑电子管中的电子发射问题。考虑电子管中的电子发射问题。设设 t 时间内到达阳极的电子数目时间内到达阳极的电子数目 N(t)服从泊松分布，服从泊松分布，每个电子携带的能量构成一个随机变量序列每个电子携带的能量构成一个随机变量序列 X1,X2,Xk,。已知。已知Xk与与N统计独立，统计独立，Xk之间互不相关且具有相同的均值和方差，之间互不相关且具有相同的均值和方差，则则 t 时间内阳极接收到的能量为时间内阳极接收到的能量为求求 S(t)的均值和方差。的均值和方差。第24页/共31页第二十五页，编
20、辑于星期二：二点 十六分。t1t2tit0tX(t)(a)泊松泊松过程过程t1t2tit0tZ(t)(b)泊松泊松脉冲列脉冲列 泊松脉冲列泊松脉冲列定义 称称泊松泊松过程过程 X(t),t 0 的导数过程为的导数过程为泊松脉冲列，记为记为 Z(t),t 0 ，即即第25页/共31页第二十六页，编辑于星期二：二点 十六分。泊松脉冲列的数字特征泊松脉冲列的数字特征均值函数均值函数泊松脉冲列是平稳随机序列。泊松脉冲列是平稳随机序列。相关函数相关函数功率谱密度功率谱密度第26页/共31页第二十七页，编辑于星期二：二点 十六分。0th(t)6.4 6.4 散粒噪声散粒噪声定义 当线性系统当线性系统 h(
21、t)输入一泊松脉冲列输入一泊松脉冲列 Z(t)时，其输出过程即为时，其输出过程即为散粒噪声，记，记为为 S(t)，即，即t1t2t0t2tt0t1第27页/共31页第二十八页，编辑于星期二：二点 十六分。散粒噪声的数字特征散粒噪声的数字特征均值函数均值函数散粒噪声也散粒噪声也是平稳随机过程是平稳随机过程相关函数相关函数功率谱密度功率谱密度第28页/共31页第二十九页，编辑于星期二：二点 十六分。泊松脉冲列和散粒噪声的统计特性泊松脉冲列和散粒噪声的统计特性泊松脉冲列和散粒噪声的统计特性泊松脉冲列和散粒噪声的统计特性0 SZ()(a)泊松泊松脉冲列脉冲列0 RZ()2 0 SS()(c)散粒噪声散
22、粒噪声0 RS()0(b)线性系统线性系统0 h()第29页/共31页第三十页，编辑于星期二：二点 十六分。例例例例5 5 5 5 泊松脉冲列输入一线性系统泊松脉冲列输入一线性系统泊松脉冲列输入一线性系统泊松脉冲列输入一线性系统 h h(t t)=e)=et tu u(t t)，求其，求其，求其，求其输出散粒噪声的均值和方差。输出散粒噪声的均值和方差。输出散粒噪声的均值和方差。输出散粒噪声的均值和方差。解线性系统线性系统的传递函数为的传递函数为散粒噪声的散粒噪声的功率谱密度为功率谱密度为相关函数为相关函数为均值和方差分别为均值和方差分别为第30页/共31页第三十一页，编辑于星期二：二点 十六分。