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1、3 泊松过程,内容提要,泊松过程的定义 泊松过程的基本性质 非齐次泊松过程 复合泊松过程,泊松分布,泊松分布 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, ，而取各个值的概率为 则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。,6.1 泊松过程的定义,定义 称 N (t), t 0 为计数过程，若N (t)表示到时间t 为止已发生的“事件A”的总数，且N (t)满足下列条件：(1) N (t) 0 ，且 N (0) = 0 ; (2) N (t) 取非负整数值;(3) 若 s t ，N (s) N (t) ;(4) 当s t 时， N (t) N (s)等于区间 (s, t 中“事件A”发
2、生的次数。,泊松过程,定义 称计数过程 X (t) , t 0 为具有参数 的泊松过程，若它满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程;(3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次数服从参数t 的泊松分布，即对任意 s , t ，有,泊松过程的几个例子,考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示电话交换台在 0, t 时间内收到的呼叫次数，则 X(t), t 0 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为时间 0, t 内到达售票窗口的旅客数，则 X(t), t 0 是一个泊松过程。 X(t) 为
3、某网站在时间 0, t 内的被访问次数。,参数为 n 和 s/t 的二项分布,例 设在 0 , t 内事件A已经发生 n 次，且0 s t，对于0 k n ，求在 0 , s 内事件A发生 k 次的概率。,泊松过程的另一个定义,定义 称计数过程 X (t) , t 0 为具有参数 0 的泊松过程，若它满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程;(3) X (t) 满足下列两式：,6.2 泊松过程的基本性质,泊松分布:,(1) 泊松过程的数字特征,均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数,(2) 时间间隔与等待时间,设 X (t), t 0 是泊松过程
4、，令X (t)表示 (0,t 时间内事件A发生的次数，,Wn 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间，或者到达时间 Tn 从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔，或称第n个时间间隔,时间间隔Tn,定理 设 X (t), t 0 是具有参数的泊松过程，Tn , n 1 是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,)是独立同分布的参数为 的指数分布。,等待时间（到达时间）Wn,定理 设 X (t), t 0 是具有参数的泊松过程，Wn , n1是对应的等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数为n与 的 分布（又称为爱尔兰分布），其概率密度为,例1 已知仪器在 0 , t 内发生振动
5、的次数 X(t) 是具有参数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障，求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。,解,故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:,仪器发生第k振动的时刻Wk 就是故障时刻T ，则T 的概率分布为 分布:,(3) 到达时间的条件分布,假设在0 , t 内事件A已经发生一次，确定这一事件到达时间W1的分布,分布函数：,分布密度：,均匀分布,到达时间的条件分布,定理 设 X (t), t 0 是泊松过程，已知在0, t内事件A发生n次，则这n次到达时间W1 W2 Wn可看成n个0, t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量,例3 设在 0 , t 内事件A已经发生 n
6、次，求第k次(k n) 事件A发生的时间Wk 的条件概率密度函数。,Beta分布,例4 设X1(t), t 0 和X2(t), t 0 是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为 1和2。记Wk(1)为过程X1(t)的第k次事件到达时间， W1(2)为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求 PWk(1)W1(2)，即第一个泊松过程的第k次事件发生早于第二个泊松过程的第1次事件发生 的概率。,6.5 非齐次泊松过程,定义 称计数过程 X (t) , t 0 为具有跳跃强度函数 (t) 的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是
7、独立增量过程;(3),非齐次泊松过程的分布,定理 设 X (t) , t 0 为具有跳跃强度函数为的非齐次泊松过程，则有,令 则X(t)服从参数为 的poisson分布,例6,设 X (t) , t 0 是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。求 EX(t) 和 DX(t)。,例7 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。乘客流量如下：5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘客线性增加，8时达到1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出这两小时
8、内乘客人数的数学期望。,6.6 复合泊松过程,定义 设 N (t) , t 0 是强度为 的泊松过程， Yk , k =1, 2, 是一列独立同分布随机变量，且与 N (t) , t 0 独立，令则称 X (t) , t 0 为复合泊松过程。,复合泊松过程的性质,定理 设 是复合泊松过程，则(1) X (t) , t 0 是独立增量过程; (2) 若 ，则,例8 考虑电子管中的电子发射问题。设 t 时间内到达阳极的电子数目N(t)服从泊松分布，每个电子携带的能量构成一个随机变量序列 X1, X2, , Xk, 。已知Xk与N统计独立， Xk之间互不相关且具有相同的均值和方差，则 t 时间内阳极
9、接收到的能量为求 S(t) 的均值和方差。,泊松脉冲列,定义 称泊松过程 X(t) , t 0 的导数过程为泊松脉冲列， 记为 Z(t) , t 0 ，即,泊松脉冲列的数字特征,均值函数,泊松脉冲列是平稳随机序列。,相关函数,功率谱密度,6.4 散粒噪声,定义 当线性系统 h(t) 输入一泊松脉冲列 Z(t) 时，其输出过程即为散粒噪声，记为 S(t) ，即,散粒噪声的数字特征,均值函数,散粒噪声也是平稳随机过程,相关函数,功率谱密度,泊松脉冲列和散粒噪声的统计特性,例5 泊松脉冲列输入一线性系统 h(t) = etu(t) ，求其输出散粒噪声的均值和方差。,解,线性系统的传递函数为,散粒噪声的功率谱密度为,相关函数为,均值和方差分别为,