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1、第三章第三章 泊松过程泊松过程v泊松过程泊松过程定义定义v泊松过程的泊松过程的数字特征数字特征v时间间隔时间间隔分布、分布、等待时间等待时间分布及分布及到达时间到达时间的的条件分布条件分布v复合复合泊松过程泊松过程v非齐次非齐次泊松过程泊松过程例如：例如：电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；火车站某段时间内购买车票的旅客数；火车站某段时间内购买车票的旅客数；机器在一段时间内发生故障的次数；机器在一段时间内发生故障的次数；定义：定义：称随机过程称随机过程N(t),t0为计数过程，为计数过程，若若N(t)表表示到时刻示到时刻t为止已发生的为止已发生的“事件事
2、件A”的总数，的总数，且且N(t)满足下列条件：满足下列条件：1.N(t)0;2.N(t)取正整数值以及取正整数值以及0；3.若若st，则，则N(s)N(t)；4.当当s0），事件），事件A发发生的次数生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差仅与时间差s有关，而与有关，而与t无无关。关。定义定义3.2：称计数过程称计数过程X(t),t0为具有参数为具有参数00的泊的泊松过程松过程，若它满足下列条件：，若它满足下列条件：1.1.X(0)=0X(0)=0；2.2.X(t)X(t)是是(平稳平稳)独立增量过程；独立增量过程；3.3.在任一长度为在任一长度为t t的区间中，事件的区间中，事件A A发生
3、的次数发生的次数服从参数服从参数0的泊松分布，即对任意的泊松分布，即对任意s,t0，有有泊松过程同时也是平稳增量过程泊松过程同时也是平稳增量过程表示单位时间内事件表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称发生的平均个数，故称为泊松过程的为泊松过程的速率速率或或强度强度定义定义3.3：称计数过程称计数过程X(t),t0为具有为具有参数参数0的泊的泊松过程松过程，若它满足下列条件：，若它满足下列条件：1.X(0)=0；2.X(t)是独立、平稳增量过程；是独立、平稳增量过程；3.X(t)满足下列两式：满足下列两式：(2)证明定义证明定义3.2和定义和定义3.3是等价的。是等价的。泊松过程的数字特征泊松
4、过程的数字特征设设X(t),t0是泊松过程，对任意的是泊松过程，对任意的t,s0,)，且且st，有，有由于由于X(0)=0，所以，所以一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为时间间隔时间间隔Tn的分布的分布设设X(t),t0是泊松过程，令是泊松过程，令X(t)表示表示t时刻事时刻事件件A发生的次数，发生的次数，Tn表示从第（表示从第（n-1）次事件）次事件A发发生到第生到第n次事件次事件A发生的发生的时间间隔时间间隔。定理定理3.2：设设X(t),t0为具有参数为具有参数的泊松过程，的泊松过程，Tn,n1是对应的时间间隔序列，则随机变量是对应的时间间隔序
5、列，则随机变量Tn是是独立同分布的均值为独立同分布的均值为1/的指数分布的指数分布。证明证明即即:对于任意对于任意n=1,2,事件事件A相继到达的时间相继到达的时间间隔间隔Tn的分布为的分布为其概率密度为其概率密度为所以所以,T1服从均值为服从均值为1/的的指数分布指数分布。证明：证明：所以所以,T2也服从均值为也服从均值为1/的的指数分布指数分布。同理可以证明同理可以证明：对于任意的：对于任意的n=1,2,事件相继到事件相继到达的时间间隔达的时间间隔Tn也服从均值为也服从均值为1/的指数分布的指数分布等待时间等待时间Wn的分布的分布等待时间等待时间Wn是指第是指第n次事件次事件A出现的时刻出
6、现的时刻(或第或第n次事件次事件A的等待时间的等待时间)因此因此Wn是是n个相互独立的指数分布随机变量之和。个相互独立的指数分布随机变量之和。定理定理3.3：设设Wn,n1是与泊松过程是与泊松过程X(t),t0对对应的一个等待时间序列，则应的一个等待时间序列，则Wn服从参数为服从参数为n与与的的分布分布（也称（也称爱尔兰分布爱尔兰分布），其概），其概率密度为率密度为证明证明证明：证明：到达时间的条件分布到达时间的条件分布假设在假设在0,t内时间内时间A已经发生一次，我们要已经发生一次，我们要确定这一时间到达时间确定这一时间到达时间W1的分布。的分布。到达时间的条件分布到达时间的条件分布解：解：
7、到达时间的条件分布到达时间的条件分布解：解：分布函数分布函数概率密度函数概率密度函数设设X(t),t0是泊松过程，已知在是泊松过程，已知在0,t内事内事件件A发生发生n次，求这次，求这n次到达事件次到达事件W1W2,Wn的的联合概率密度函数联合概率密度函数。解：解：例题例题3.4设在设在0,t内事件内事件A已经发生已经发生n次，且次，且0st，对于对于0kn，求，求PX(s)=k|X(t)=n解：解：例题例题3.5设在设在0,t内事件内事件A已经发生已经发生n次，求次，求第第k(kn)次事件次事件A发生的时间发生的时间Wk的条件概率的条件概率密度函数。密度函数。例题例题3.6设设X1(t),t
8、 0和和X2(t),t 0是两个相互独立是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为件数分别为1 1和和2，记，记 为过程为过程X1(t)的第的第k次事件到达时间，次事件到达时间，为过程为过程X2(t)的第的第1次事件次事件到达时间，求到达时间，求解：解：非齐次泊松过程非齐次泊松过程允许速率或强度是允许速率或强度是t的函数的函数定义定义3.4：称计数过程称计数过程X(t),t0为具有跳跃强度函数为具有跳跃强度函数(t)(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：1.1.X(0)=0X(0)=0；2.2
9、.X(t)X(t)是独立增量过程；是独立增量过程；3.3.非齐次泊松过程的非齐次泊松过程的均值函数均值函数为为定理定理3.5：设设X(t),t0为具有均值函数为具有均值函数 非齐次泊松过程，则有非齐次泊松过程，则有或或例题例题3.8设设X(t),t0是具有跳跃强度是具有跳跃强度 的非齐次泊松过程（的非齐次泊松过程（0），求），求EX(t)和和DX(t)。解解:EX(t)=DX(t)例题例题3.9设某路公共汽车从早上设某路公共汽车从早上5时到晚上时到晚上9时有车发时有车发出，乘客流量如下：出，乘客流量如下：5时按平均乘客为时按平均乘客为200人人/时时计算；计算；5时至时至8时乘客平均到达率时乘
10、客平均到达率按线按线性性增加，增加，8时到达率为时到达率为1400人人/时时；8时至时至18时保持时保持平均到达率平均到达率不变；不变；18时到时到21时从到时从到达率达率1400人人/时按时按线性下降线性下降，到，到21时为时为200人人/时时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求是相互独立的。求12时至时至14时有时有2000人来人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。人数的数学期望。解：解：复合泊松过程复合泊松过程定义定义3.5：设设N(t),t0是强度为是强度为的泊松过程，的泊松过程，YY
11、k k,k=1,2,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，是一列独立同分布随机变量，且与且与N(t),t0独立，令独立，令则称则称X(t),t0为为复合泊松过程复合泊松过程。N(t)YkX(t)在时间段在时间段(0,t内来到商店的顾客数内来到商店的顾客数第第k个顾客在商店所花的钱数个顾客在商店所花的钱数该商店在该商店在(0,t时间段内的营业额时间段内的营业额设设 是复合泊松过程，则是复合泊松过程，则1.1.若若E(YE(Y1 12 2)，则，则 例题：例题：设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周内有周内有2户定居，但每户的人口数是随机变量，一户户定居，但每户的人口数是随机变量，一户4人概率为人概率为1/6，一户，一户3人概率为人概率为1/3，一户，一户2人概率为人概率为1/3，一户，一户1人概率为人概率为1/6，求，求5周内移民到该地区的人周内移民到该地区的人口的数学期望与方差。口的数学期望与方差。解：解：则:例题：例题：设交换机每分钟接到电话的次数设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为是强度为的泊松过程。求的泊松过程。求1、两分钟内接到、两分钟内接到3次呼叫的概率。次呼叫的概率。2、第二分钟内接到第、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。次呼叫的概率。作业作业 3.1,3.3,3.5