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1、线性代数1线性代数2本讲内容：本讲内容：阵阵、用初等行变换求逆矩、用初等行变换求逆矩1、矩矩阵阵的的秩秩的的概概念念2的秩的秩、用初等行变换求矩阵、用初等行变换求矩阵3线性代数3本讲要求：本讲要求：矩阵的方法矩阵的方法、掌握初等行变换求逆、掌握初等行变换求逆1阵的秩阵的秩、会用初等行变换求矩、会用初等行变换求矩2重点难点：重点难点：初等行变换初等行变换线性代数4求求逆逆公公式式可可逆逆时时，有有且且当当并并，可可逆逆的的充充要要条条件件是是矩矩阵阵AAA0 AAA11重点回顾线性代数5初初等等变变换换称称为为矩矩阵阵的的初初等等行行变变换换矩矩阵阵的的以以下下三三种种变变换换，交换矩阵的两行交
2、换矩阵的两行).1(),(jirrji两行记作：两行记作：互换互换的的某某一一行行以以一一个个非非零零的的数数乘乘矩矩阵阵).2(个个数数加加到到另另一一行行上上把把矩矩阵阵的的某某一一行行乘乘以以一一).3()(ikrik行记作：行记作：乘第乘第数数)(ijkrrkij 倍记作：倍记作：行的行的行加上第行加上第在第在第线性代数6矩矩阵阵的的初初等等列列变变换换。成成了了上上述述定定义义也也就就相相应应的的变变，换换成成把把记记号号中中的的，列列换换成成行行如如果果把把定定义义中中的的cr。统统称称为为矩矩阵阵的的初初等等变变换换等等列列变变换换矩矩阵阵的的初初等等行行变变换换和和初初线性代数
3、7矩矩阵阵等等价价.:BABABA等等价价，记记为为与与矩矩阵阵就就称称矩矩阵阵，变变成成经经过过有有限限次次初初等等变变换换后后如如果果矩矩阵阵例如：例如： 103523812839321 310083109321与与等价。等价。线性代数8初初等等矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵。称称为为到到的的矩矩阵阵，经经过过一一次次初初等等变变换换所所得得阶阶单单位位阵阵nEn:定定理理，则有：，则有：设设nmijnmaA )(.).1(AmA阶阶初初等等矩矩阵阵左左乘乘等等于于用用相相应应的的得得的的矩矩阵阵，施施行行一一次次初初等等行行变变换换所所对对.).2(AnA阶阶初初等等矩矩阵阵右右乘乘等等于
4、于用用相相应应的的得得的的矩矩阵阵，施施行行一一次次初初等等列列变变换换所所对对线性代数9:定定理理：价矩阵价矩阵可以化为下面形式的等可以化为下面形式的等经过若干次初等变换，经过若干次初等变换，任意矩阵任意矩阵DaAnmijnm )( 0011D行行第第 r列列第第 r )()()()(rnrmrrmrnrrOOOE的等价标准形。的等价标准形。称为矩阵称为矩阵矩阵矩阵AD线性代数10:1推论推论使使得得：阶阶初初等等矩矩阵阵和和阶阶初初等等矩矩阵阵存存在在矩矩阵阵对对任任意意,2121tsQQQnPPPmAnm OOOEQQAQPPPrts21121112111211 QQQOOOEPPPAt
5、rs上上式式又又可可写写为为由由于于初初等等矩矩阵阵都都可可逆逆，于于是是得得:2推论推论.nEAn标标准准形形为为的的等等价价条条件件是是阶阶方方阵阵可可逆逆的的充充分分必必要要A可逆，则左边所有矩阵都可逆，因此D可逆，故det（D）不等于0.线性代数11阵阵的的乘乘积积。可可以以表表示示为为一一些些初初等等矩矩是是它它为为可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件阶阶矩矩阵阵An使使得得并并且且存存在在初初等等矩矩阵阵也也可可逆逆，可可逆逆，那那么么由由定定理理可可得得，如如果果,211kGGGAA :定定理理kGGGA211 AGGGAAk211 于于是是：AGGGEk21 即即：)1(EGG
6、GAk211 )2(1)2()1( AEEA化化为为施施以以同同样样的的初初等等行行变变换换式式表表示示对对，化化为为施施以以若若干干次次初初等等行行变变换换式式表表示示对对线性代数12).|()|()|(11 AEAEEAEAEAA，即即最最终终化化为为矩矩阵阵便便是是所所化化成成的的，同同时时右右半半边边的的化化成成将将左左半半边边的的施施行行初初等等行行变变换换，然然后后对对新新矩矩阵阵充充为为阵阵将将其其扩扩，我我们们用用一一个个同同阶阶单单位位对对于于可可逆逆矩矩阵阵.)|()|(1BABEEA，即即： 初等行变换初等行变换线性代数13。，用初等行变换求，用初等行变换求：已知：已知例
7、题例题13431223211 AA解：解： 131232rrrr 620520321 103012001 2123rrrr 100520201 111012011 343122321)(3EA 100010001线性代数14 100010001 11132312523 )()1(2123rr 111323125231A 100020001 111563231 313225rrrr线性代数15的的逆逆矩矩阵阵。练练习习：求求矩矩阵阵 814312201A解：解： 814312201)(3EA 100010001 131242rrrr 010110201 104012001 32rr 010100
8、201 104116001线性代数16 )1(2221rrr 010100001 1041162211 32rr 100010001 1161042211 11610422111A线性代数17阶阶子子式式）阶阶子子行行列列式式（或或的的一一个个阵阵阶阶行行列列式式，称称为为矩矩不不变变，组组成成一一个个的的相相对对位位置置个个元元素素，保保持持它它们们原原来来处处的的列列，位位于于这这些些行行列列相相交交行行、中中任任取取的的矩矩阵阵，在在是是一一个个设设定定义义kkAkkkkAnmA21 线性代数18 1013312221111211 103312211 一个一个2阶阶子式子式一个一个3阶阶
9、子式子式例例2:2:线性代数19 1013312221111211 103312211 一个一个2阶阶子式子式一个一个3阶阶子式子式123:?问问题题 该该矩矩阵阵有有多多少少个个 阶阶子子式式 多多少少个个 阶阶子子式式 多多少少个个 阶阶子子式式. 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵一般的，一般的，knkmCCkAnm 线性代数20.)(0102等等于于零零并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩的的秩秩，记记作作称称为为矩矩阵阵的的最最高高阶阶非非零零子子式式，数数称称为为矩矩阵阵，那那末末于于）全全等等阶阶子子式式（如如果果存存在在的的话话，且且所所有有式式阶阶子子的的中中有有一一个个不不等
10、等于于设设在在矩矩阵阵定定义义ARArADrDkA .)( 子式的最高阶数子式的最高阶数中不等于零的中不等于零的是是的秩的秩矩阵矩阵AARAnm ，对于对于TA).()(ARART 显有显有线性代数21例例3 3.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR线性代数22例例4 4 求矩阵求矩阵 的秩。的秩。p解解 因为因为所以，矩阵所以，矩阵A A不为零子式的最高阶数至少不为零子式的最高阶数至少是是2 2。 101331222111A042211 线性代数23 而而A A的所有的所有4 4
11、个三阶子式均为零，即个三阶子式均为零，即 于是，于是， R R( (A A)=2)=2。p由定义知，由定义知，如果矩阵如果矩阵A A的秩是的秩是R R，则，则A A至少至少有一个有一个r r阶子式不为零，而阶子式不为零，而A A的所有高于的所有高于r r阶的子式均为零。阶的子式均为零。 0013122111 0113322211 0103312211 0101312211 线性代数24 定义定义 满足下列两个条件的矩阵称为满足下列两个条件的矩阵称为阶阶梯形矩阵：梯形矩阵：(1)(1) 如果该矩阵有零行，则它们位于矩如果该矩阵有零行，则它们位于矩阵的最下方；阵的最下方；(2) (2) 非零行的第
12、非零行的第1 1个不为零的元素的列标个不为零的元素的列标随着行标的递增而严格增大。随着行标的递增而严格增大。 线性代数25下列矩阵都是阶梯形矩阵：下列矩阵都不是阶梯形矩阵： 00000320001032052201A 500003002101B 520013002011C 010000032D显然，显然，阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数。阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数。线性代数26例例5 5.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行行，其其非非零零行行有有是是一一个个行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B, 040023
13、0312 而而. 3)( BR线性代数27初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. .例例6 6的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式秩，并求秩，并求的的求矩阵求矩阵设设AAA,41461351021632305023 阶梯形矩阵：阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行作初等行变换，变成行对对A解解线性代数28 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 线性代数29 41461351
14、021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 线性代数30 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 线性代数31 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr 线性代数32，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR .,EAEA的的标标准准形形为为单单位位阵阵故故.为为满满秩秩矩矩阵阵，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵线性代数33结结小小.)|()|(1BABEEA则则， ：用初等行变换求逆矩阵用初等行变换求逆矩阵. 1秩：秩：用初等行变换求矩阵的用初等行变换求矩阵的. 2 对矩阵施行初等行变换，使之成为行阶梯形对矩阵施行初等行变换，使之成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩秩. .线性代数34