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1、第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第1 1页页4.1 特征函数特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于：可将卷积运算化成乘法运算；可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题；.第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第2 2页页4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设 X 是一随机变量，称(t)=E(eitX)为 X 的特征函数.(必定存在)注意：是虚数单位.第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第3 3页页注 意 点(1)(1)当X为离散随机变量时，(2)当X为连续随机变
2、量时，这是 p(x)的傅里叶变换第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第4 4页页特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：注 意 点(2)(1)欧拉公式：(2)复数的共轭：(3)复数的模：第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第5 5页页 性质4.1.1 4.1.2 特征函数的性质|(t)|(0)=1 性质4.1.2 性质4.1.3 性质4.1.4 若 X 与 Y 独立，则 性质4.1.5 第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第6 6页页 定理4.1.1 特征函数的定理一致连续性.定理4.1.2 定理4.1.3 定理4.1.4
3、 唯一性.定理4.1.5 非负定性.逆转公式.连续场合，第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第7 7页页4.2 大数定律 讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义；给出几种大数定律：伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第8 8页页4.2.1 伯努利大数定律定理4.2.1（伯努利大数定律）设 n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A)=p,则对任意的 0，有第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第9 9页页4.2.2 常用的几个大数定律 大数定律一
4、般形式：若随机变量序列Xn满足：则称Xn 服从大数定律.第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第1010页页切比雪夫大数定律 定理4.2.2Xn两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则 Xn服从大数定律.证明用到切比雪夫不等式.第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第1111页页马尔可夫大数定律 定理4.2.3若随机变量序列Xn满足：则 Xn服从大数定律.(马尔可夫条件)第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第1212页页辛钦大数定律 定理4.2.4若随机变量序列Xn独立同分布，且Xn的数学期望存在。则 Xn服从大数定律.第
5、四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第1313页页(1)伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.注 意 点(2)切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.(3)伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第1414页页4.3 随机变量序列的两种收敛性两种收敛性：i)依概率收敛：用于大数定律；ii)按分布收敛：用于中心极限定理.第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第1515页页4.3.1 依概率收敛定义4.3.1 (依概率收敛)大数定律讨论的就是依概率收敛.若对任意的 0，有则称随机变量序列Yn依概
6、率收敛于Y,记为第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第1616页页依概率收敛的性质定理4.3.1 若则Xn与Yn的加、减、乘、除依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第1717页页4.3.2 按分布收敛、弱收敛对分布函数列 Fn(x)而言，点点收敛要求太高.定义4.3.2 若在 F(x)的连续点上都有则称Fn(x)弱收敛于 F(x)，记为相应记按分布收敛第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第1818页页依概率收敛与按分布收敛的关系定理4.3.2 定理4.3.3 第四章第四章 大数定
7、律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第1919页页4.3.3 判断弱收敛的方法定理4.3.4 第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第2020页页辛钦大数定律的证明思路欲证:只须证：第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第2121页页4.4 中心极限定理 讨论独立随机变量和的极限分布,本指出极限分布为正态分布.4.4.1 独立随机变量和设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第2222页页4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理4.4.1 林德贝格勒维中心极限定理设 Xn 为独立同分布随
8、机变量序列，数学期望为,方差为 20，则当 n 充分大时，有应用之例:正态随机数的产生；误差分析第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第2323页页例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解:设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi,则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=100，Var(Xi)=100，由中心极限定理得，所求概率为：=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.(很小)第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第2424页页例
9、4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解:设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=9.62，Var(Xi)=0.82，故=0.99979第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第2525页页4.4.3 二项分布的正态近似定理4.4.2 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理设n 为服从二项分布 b(n,p)的随机变量，则当 n 充分大时，有是林德贝格勒维中心极限定理的特例.第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数
10、定律与中心极限定理第第2626页页二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：注 意 点(1)第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第2727页页 中心极限定理的应用有三大类：注 意 点(2)ii)已知 n 和概率，求y；iii)已知 y 和概率，求 n.i)已知 n 和 y，求概率；第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第2828页页一、给定 n 和 y，求概率例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部
11、件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第2929页页二、给定 n 和概率，求 y例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可 有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为y,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.中解得第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第3030页页三、给定 y 和概率，求 n例
12、4.4.5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则从中解得Yn 服从 b(n,p)分布，k 为Yn的实际取值。又由可解得n=271第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第3131页页例4.4.6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中 5 发的概率.解:设 X 表示命中的炮弹数,则X b(500,0.01)0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5 X 0，有林德贝格条件则第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第3333页页李雅普诺夫中心极限定理定理4.4.4 李雅普诺夫中心极限定理设Xn 为独立随机变量序列，若存在 0，满足：李雅普诺夫条件则林德贝格条件较难验证.第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第第3434页页例4.4.7 设 X1,X2,.,X99相互独立,且服从不同的 0-1分布试求解:设 X100,X101,.相互独立,且与X99同分布,则可以验证Xn满足=1的李雅普诺夫条件，且由此得