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1、第九章 压杆稳定,材料力学的三大任务,保证材料或结构在服役期间，具有以下能力：,2、抵抗变形的能力,3、保持其原有平衡状态的能力,1、材料抵抗破坏的能力,平衡构形结构或构件在载荷作用下保持平衡的位置。,平衡状态的稳定性结构或构件在载荷作用下保持其初始平衡构形的能力；经历任意微小干扰能否回到原有平衡构形。,几个基本概念,失稳(instability)：构件或体系丧失原有平衡状态的稳定性,粗短压杆强度破坏,91 压杆稳定的概念,低碳钢短柱：屈服破坏,铸铁短柱：剪切破坏,正直变形状态是稳定的,细长压杆失稳破坏,1、当F较小时，变形状态为正直变形状态：横向尺寸增大，纵向尺寸缩短。,2、当F较大或杆足够
2、细长时，微小干扰拆除后，形成另外一种弯曲变形状态，且无法恢复到原来的正直变形状态。即：原有平衡状态丧失，称压杆失稳或屈曲(buckling)。,当F逐渐增大时，压杆平衡状态的稳定性也在变化。,当F较小时，正直平衡状态是稳定的，弯曲平衡状态是不稳定的；当F较大时，弯曲平衡是稳定的，正直平衡是不稳定的,临界(压)力(critical force) ：压杆临界平衡状态时所受的轴向压力。,Fcr,或 使压杆保持正直变形状态所能承受的最大轴向压力。 或 使压杆达到弯曲平衡状态(失稳)所需的最小轴向压力。,本章需要回答：轴向载荷F=？时，才会出现失稳？,临界平衡状态：压杆处于正直平衡状态与弯曲平衡状态之间
3、的临界状态。 两重性：既可在直线状态保持平衡，又可在弯曲状态维持平衡。,假设理想压杆处于临界平衡状态的微弯状态，材料处于线弹性范围。距离原点x处截面m的挠度为w=w(x)。,w,x,m,l/2,x,w,F,l,F,(a),92 两端(球)铰支细长压杆临界力的欧拉公式,由图(b)所示分离体的平衡可知：,则挠曲线近似微分方程为：,在所选定的坐标内，w为正时，M(x)为负。,令,则,微分方程的解：,边界条件：,由于临界力F是使压杆失稳的最小压力，故n应取不为零的最小值，即取n=1。,上式即为两端铰支细长压杆临界力Fcr的计算公式，由欧拉（L.Euler）于1744年首先导出，所以通常称为欧拉公式。应
4、该注意，压杆的弯曲是在其弯曲刚度最小的纵向平面内发生，因此欧拉公式中的I应该是截面的最小惯性矩。, 欧拉公式,对于各种支承情况的理想压杆，其临界力的欧拉公式可写成统一的形式：,式中 称为长度系数，与杆端的约束情况有关。 l称为相当长度(equivalent length) 。,其它支承条件下细长压杆临界压力公式,表91 各种支承条件下细长压杆的临界力,支承情况,两端铰支,一端固定 一端铰支,两端固定,一端固定 一端自由,失稳时挠曲线形状,临界力,长度系数,= 1,= 0.7,= 0.5,= 2,一、欧拉公式的应用范围,1、实验表明：粗短压杆没有失稳现象；中等长度的压杆失稳时的临界力，与欧拉公式
5、计算的临界力并不符合；细长压杆失稳时的临界力，可以用欧拉公式来计算。,93 欧拉公式的应用范围临界应力总图,2、临界应力cr：为量化欧拉公式的适用范围，定义临界力Fcr除以压杆横截面面积A为临界应力。,则,引入压杆长细比或柔度(slenderness) ：,式中 为压杆横截面对中性轴的惯性半径。,挠曲线的近似微分方程建立在胡克定律基础上，因此只有材料在线弹性范围内工作时，即只有crp时，欧拉公式才能适用。,通常称p的压杆为大柔度杆或细长压杆。,欧拉公式的应用范围：,二、中、小柔度杆的临界应力,如果压杆的柔度 p，则临界应力cr大于材料的比例极限p，此时欧拉公式不再适用。对于这类压杆，通常采用以
6、试验结果为基础的经验公式来计算其临界应力。,直线公式,式中，a和b是与材料力学性能有关的常数，一些常用材料的a和b值见表92。,表92 一些常用材料的a、b、p、s值,*公式适用范围：临界应力不能大于极限应力（塑 性材料为屈服极限，脆性材料为强度极限）。,满足此条件的杆件称为中柔度杆或中长压杆。,塑性材料： s p ,脆性材料： b p ,* s的压杆称为小柔度杆或短粗杆，属强度 破坏，其临界应力为极限应力。,三、压杆的临界应力总图,压杆的临界应力总图：压杆的临界应力cr与柔度之间的关系曲线。,(1)大柔度杆：p，按欧拉公式计算；,(2)中柔度杆：sp， 按直线型经验公式计算；,(3)小柔度杆
7、： s，cr= s， 按强度问题处理。,细长杆（大柔度杆）发生弹性屈曲 中长杆（中柔度杆）发生弹塑性屈曲 粗短杆（小柔度杆）不发生屈曲，而发生屈服,压杆所承受的轴向压力小于压杆的临界力，因此，压杆的稳定条件(stability condition)为：,94 压杆的稳定计算,或者,例1 图示各杆均为圆截面大柔度压杆(P)，已知各杆所用的材料和截面均相同，各杆的长度如下图所示，问哪根杆能够承受的压力最大？哪根能够承受的压力最小？,解：比较各杆的承载能力只需比较各杆的临界力，因为各杆均为大柔度杆，所以都可以用欧拉公式计算临界力。,由于各杆的材料和截面相同，只需比较各杆的计算长度l 即可。 杆a：l
8、 = 2a = 2a 杆b：l = 11.3a = 1.3a 杆c：l = 0.71.6a = 1.12a 杆d：l = 0.52a = a 临界力与l 的平方成反比，所以杆d能够承受的压力最大， 杆a能够承受的压力最小。,例2 千斤顶为圆截面杆，如图所示，丝杠长度为l=375mm, 直径d=40mm；材料为45号钢，s=60，p=100；中柔度杆临界应力公式为:cr=a-b,其中a=589MPa,b=3. 82MPa;最大起重量F=80kN, 规定的稳定安全系数nst=4，试校核其稳定性。,解：,（1）计算柔度,丝杠可简化为下端固定，上端自由的压杆，长度系数=2。,（2）选择计算临界应力的公
9、式,属于中等柔度杆,因此：,由于,工作安全系数：,故：千斤顶丝杠是稳定的。,例3 空气压缩机活塞杆为圆截面杆，两端约束均可简化为铰支座。已知杆长l=703mm，直径d=45mm；材料为45号钢，s=350MPa，p=280MPa, E=210GPa；中柔度杆临界应力公式为:cr=a-b,其中a=461MPa,b=2.568MPa;最大工作压力Pmax=41.6KN, 规定的安全系数nst=10，试校核其稳定性。,解：,（1）计算三个柔度,（2）选择计算临界应力的公式,属于中等柔度杆,因此：,由于,工作安全系数：,故：满足稳定性要求。,例4 图示结构，AB为刚杆，CD为圆截面杆，直径d=40mm
10、，E=200GPa， s=60, P=100 ，中柔度杆临界应力公式为:cr=a-b,其中a=461MPa,b=2.568(MPa);试按结构稳定性求临界荷载qcr。,解： （1）确定CD 杆的临界力,CD 杆为细长压杆，可由欧拉公式计算其临界力,（2）求结构的临界荷载qcr,研究AB杆，由结构的平衡条件得：,例5(习题9-2) 截面为矩形bh=30mm50mm的钢制杆如图所示，其两端用柱形铰连接。若l=2m，E=200GPa， P=100， s=55，中柔度杆临界应力公式为:cr=382-2.18(MPa), 许用稳定安全系数nst=3，试求其最大工作载荷Fmax。,解：,(2) 若压杆在x
11、z平面内失稳，则杆端约束条件为两端固定，长度系数2=0.5，截面惯性半径,则柔度,则柔度,(1) 若压杆在xy平面内失稳，则杆端约束条件为两端铰支，长度系数1=1，截面惯性半径,由于12，因此该杆将在xy平面内失稳。此时= 1=138.6 P，该杆属于大柔度杆，应采用欧拉公式计算其临界应力。,则：,故：压杆可承受的最大工作载荷为Fmax=51.35KN。,例6(习题9-3) 图示立柱由两根10号槽钢组成，上端为球铰，下端固定，柱长l=6m，试问两槽钢距离a值取多少时，立柱的临界压力刚好达到最大？其值为多少？已知材料E=200GPa, P=200MPa。,解:,两根槽钢图示组合之后，,对于单个10号槽钢，形心在C1点，查表P.326知:, 显然，无论a多大，Iy不变，因此，只要选择适当的a，使Iz=Iy即可。,令Iz=Iy得：,由欧拉公式得临界力, 此时，立柱的惯性半径及柔度分别为：,而lP为：,显然：,作业,9-4、9-5、9-9、9-10,