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1、-平行四边形典型例题-第 9 页平行四边形典型例题1已知如图12-1-19，所示ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OFBC于F求证：四边形AECF是平行四边形错证：在AOE和COF中OEAD，OFBC AEO=CFO=90四边形ABCD为平行四边形OAOC，ADBC EACACFAOECOF（AAS） OF=OE四边形AECF是平行四边形错误分析：上面证明由OFOE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线正确证明：在AOE和COF中OEAD OFBC AEOCFO90四边形ABCD为平行四边形OAOC，ADB
2、C EAC=ACFAOECOF（AAS） OFOE又ADBC，OEAD，OFBCE、O、F三点共线四边形AECF是平行四边形2如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线解：取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单证明：在RtABC中 ACBC B=45又E、D分别为AC、BC的中点ECDC CEDCDE45AEFCED45
3、AEF+AED=CED+AED180F、E、D在一条直线上 EAFC90 AFCD又AFCDDB 四边形AFDB是平行四边形，且B453如图12-1-23，在ABCD的对角线上取两点E、F，且BFDE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分证明方法（一）在ABF和CDE中，ABCD，BFDE，ABFCDEABFCDE AFCE同理可证AECF，故四边形AECF是平行四边形方法（二）连AC交BD于O在ABCD中，OAOC，OBODBFDE OE=OF 四边形AECF为平行四边形4如果一块木板两边是线段，把两把曲尺
4、的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形5已知如图12-1-4所示，ABCD中，AB的延长线上取一点E，使BEAB，在CE上取一点
5、M使CMCD，连结DM并延长交AE的延长线于点F求证：BDBF分析：由于BD，BF是BDF的两边，所以要证BDBF，可由证BDF中BDFF入手，易知FCDM=CMDEMF，故只要证BDCE，由此由证法一又注意到BFBE+EF，易知BEABCDCM，EFEM，故BFCE，从而只要证BDCE，由此有证法二证法（一）：四边形ABCD为平行四边形 ABCD又E点在AB延长线上，且BEAB ABCD四边形BECD是平行四形 BDCE BDFEMFEMFCMD BDFCMD又CMCD CMD=CDM BDFCDMAFCD CDMF BDFF即BDBF证法（二）：四边形ABCD为平行四边形 ABCD又E点在
6、AB延长线上且BEAB BECD四边形BECD是平行四边形 BDCE，BECD又EMF=CMD，CDCM CMD=CDMEMF=CDM BECD FEMF EFEMBFBE+EFCD+EM=CM+EMCEBD即BFBD习题精选一、填空题1过ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F，则四边形AECF是 .2延长ABC的中线AD到E，使DEAD 则四边形ABEC是 四边形3在四边形ABCD中A50欲使四边形为平行四边形，则B= ，C ，D .4在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是 四边形5如图12-1-29，在ABCD中，E、F为AB、CD的中点，连结DE、EF、BF
7、则图中共有 个平行四边形6在ABCD中连结BD作AEBD，CFBD，垂足分别为E、F，连结CE、AF，点P、Q在线段BD上，且BPDQ，连结AP、CP、AQ、CQ，MN分别交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC，那么图中平行四边形（除ABCD外）有 个，它们是 .二、判断题1平行四边形的对边分别相等（ ）2平行四边形的对角线相等（ ）3平行四边形的邻角互补（ ）4平行四边形的对角相等（ ）5平行四边形的对角线互相平分一组对角（ ）6对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（ ）三、选择题1能判断四边形是平行四边形的条件是（ ）A一组对边平行，另一组对边相等B一组对边平行，一组对角相等
8、C一组对边平行，一组邻角互补D一组对边相等，一组邻角相等2能确定平行四边形的大小和形状的条件是（ ）A已知平行四边形的两邻边B已知平行四边形的两邻角C已知平形四边形的两对角线D已知平行四边形的两边及夹角3平行四边形一边为32，则它的两条对角线长不可能为（ ）A20和18 B40和50C60和30 D32和504如图12-1-30所示，已知ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点且平行于BC，直线GH过O且平行AB，则图中有（ ）个平行四边形A5个B6个C7个D10个5能判定四边形为平行四边形的是（ ）A一组对角相等B两条对角线互相垂直C两条对角线互相平分 D一对邻角互补6以下结论正确的是（
9、）A对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形B一边长为5，两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形C一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形D对角线相等的四边形是平行四边形7在ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，如果点E，F分别由下列各种情况得到的，那么四边形AECF不一定是平行四边形的是（ ）AAE、CF分别平分DAB、BCDBAE，CF使BEACFDCE、F分别是BC、AD的中点DBEBC，AFAD8ABCD对角线交点为O，OBC的周长为59cm，且AD28cm，两对角线之差为14cm，则对角线长为（ ）A12cm和9cm B24cm和38cmC85cm和225cm
10、 D155cm和295cm四、解答题1如图12-1-31所示，在ABCD中，AE平分BAD，CF平分BCD，四边形AECF是平行四边形吗？2如图12-1-32所示，四边形ABCD中BD，12，则四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？3如图12-1-33所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OD、OB上一点，若ECDFAB，ECAF，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？4如图12-1-34所示，四边形ABCD中AB=CD，DBC90，FDAD于D，求证四边形ABCD是平行四边形5如图12-1-35所示，ABC中DE在BC边上，N、M在AB、AC上，且EN与DM互相平分
11、，MDAB，NEAC求证：BDDECE五、证明题1已知：如图12-1-18，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：（1）AECF（2）AECF2已知：如图12-1-19，四边形ABCD为平行四边形，E、F是直线BD延长线上的两点，且DEBF，求证AECF参考答案一、填空题1平行四边形 点拨：由一组对边平行且相等，即可判断2平行四边形3130，50，1304平行四边形 点拨：由题意可得两组对边分别平行54个 点拨：ABCD，ADFE，EFCB，EDFB63个 AECF，APCQ，AMCN二、判断题1 2点拨：对角线不一定相等，但互相平分3 45点拨：对角线不平分一组对角，
12、只是自己互相平分 6三、选择题1B 2D 3A 4D 5C 6C 7B 8B四、解答题1解：四边形AECF是平行四边形点拨：由ABCD知BCDBAD，又AE平分BAD，CF平分BCD，故EAFECF，又AFEC，故AEC+EAF18O，即AEC+ECF18O，所以AECF，故四边形AECF是平行四边形2解：四边形ABCD是平行四边形由12得DCAB，所以D+DAB18O，又BD，所以DAB+B180，所以ADBC，即四边形ABCD为平行四边形3解：是平行四边形点拨：ABCD，故ACDCAB，又ECDFAB，故ACD-ECDCAB-FAB，即ACECAF，所以CE=AF，CEAF，故AFCE是平行四边形4证明：BDAD BDA=90DBC90，DCAB，DBDBADBCBD ADBC四边形ABCD是平行四边形5证明：NE，MD互相平分四边形MNDE为平行四边形 MNDE又MDAB，NEAC 四边形MNBD、MNEC为平行四边形MNBD，MNCE BD=DECE五、证明题1证明：四边形ABCD为平行四边形ABDC ABECDF在ABE和CDF中ABECDF（SAS） AECF AEBCFDAEDBFC（等角的补角相等） AECF2证明：如图（3）所示四边形ABCD是平行四边形ADBC，ADBC 12BD是直线 1+3180，2+418034ADECBF AECF