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1、,一元二次方程根的分布的应用,山东省曹县第一中学 高一数学组,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。,方程f(x)=0有实数根,函数零点的定义：,等价关系,一、复习,结论,零点存在定理,(1) 函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线： (2) f(a)f(b)0,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点；,知识系统,例1：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围,（1） 两个正根,一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布,1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)两根均为正根（负根）,例：x2+（m-3)x+m
2、=0 求m的范围,（2）有两个负根,2.一元二次方程ax2+bx+c=0一根为正,另一根为负,或,af（0）,问题的引入：,1、若关于x的方程 的两 个根都大于1，则实数 的取值范围 是 . 2、关于x的方程 的两个 根均大于 - 2小于4，求实数 的取值范围.,问题的解决：,例1、若关于x的方程 的两个根都大于1，则实数 的取值范围是 . 分析（1）方程有根，与 有关.仅仅靠韦达定理是不够的. (2)方程有什么样的根，可以结合对应的二次函数图象,数形结合解决.此时与 有 有关，及 有关.,判别式,端点的函数值,对称轴,如图，函数 的图象决定着：,（1）最小值的正负，与判别式有关;,（2）对称
3、轴；,（3）函数值 的正负.,问题的解决：,例1、若关于x的方程 的两个根都大于1，则实数 的取值范围是 .,解：令 ，则,问题的解决： 例2、关于x的方程 的两个根均大于 - 2小于4，求实数 m 的取值范围. 解：令 ，则,所以,实数m的取值范围是 .,问题的解决：其实,有那么复杂吗? 例2、关于x的方程 的两个根均大于 - 2小于4，求实数 m 的取值范围.,另解: 原方程的两个根分别为 而 ， 所以 ，由此可得 .,所以,实数m的取值范围是 .,问题的启示：学会具体问题具体分析.,对于这道题而言,后一种办法比较简单,但是要会前一种通法. 例如, 关于x的方程 在区间 上有两个不同的解,
4、 求实数 的 取值范围. 用后一种方法解答比较困难. 两种方法都要会,我们提倡具体问题具体分析,哪一种解法简单就用哪一种.,问题的根源：方程根的分布问题， 与对应的二次函数图象有关.,（1） 函数的性质决定函数的图象,函数的图象反映函数的性质. （2）方程有根，与判别式有关.对应的二次函数图象与 轴有交点. （3）方程有什么样的根，与端点的函数值有关，与二次函数图象的对称轴有关.仅仅靠韦达定理是不够的. 注:抛物线就象一根电线,函数值（包括最小值）就象铆钉一样,决定着它的走向.,结论：我们从上面的例子总结一下解决这类问 题的步骤：,1.根据题意大致画出对应的二次函数的图象。,2.列出不等式组(
5、一般重点考虑下面四个方面) 判别式 对称轴 端点 开口方向,3.解不等式组，得出结论。,思路说明,考虑：a0的一元二次方程，当二次项 系数小于0时，先化为正。,强调：把一元二次方程化为标准形式： ax2+bx+c=0 (a0),一、若关于x的方程ax2 +bx + c=0(a0)的两个根都小于m，求a,b,c满足的条件。,1,类型一：,二、若关于x的方程ax2 +bx + c=0(a0)的一个根大于m,另一个根小m,求a,b,c满足的条件。,类型二：,例3、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根大于1，试求实数k 的取值范围。,例1、若关于x的方程3kx2-2x-4
6、k-2=0的两根一个小于1，另一根大于1，试求实数k 的取值范围。,三、若关于x的方程ax2 +bx + c=0(a0)的一个根在 (m,n)，另一根在(p,q)，求a,b,c满足的条件。,类型三：,例4、若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3，试求实数a 的取值范围。,四、若关于x的方程ax2 +bx + c=0(a0)有且仅有一个根在 (m,n) ，求a,b,c满足的条件。,类型四：,五、若关于x的方程ax2 +bx + c=0(a0)的两个根都在 (m，n)内,求a,b,c满足的条件。,类型五：,例4、已知关于x的方程4x2-4x+m=0在-1，1
7、上 有两个根，求m的取值范围。,一元二次方程根的分布 （一）与0比较 （1）有两正根 （2）有两负根 （3）一正一负 （二）与k比较 （1）有两个大于k的根 （2）有两个小于k的根 （3）一个大于k，一个小于k （4）有一个根在区间(k1,k2)内 （5）区间(k1,k2)内有两个根,一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布,C0,考虑：判别式、两根之和、两根之积,一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布,f(k)0,考虑：判别式、开口方向、对称轴、端点值的正负,一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布,考虑：判别式、开口方向、对称轴、端点值的正负,练习：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围,（1） 两个根都小于1,（2） 两个根都大于,（3） 一个根大于1，一个根小于1,（4） 两个根都在（0 , 2）内,（5） 两个根有且仅有一个在（0 , 2）内,（6） 一个根在（-2 ，0）内，另一个根在 （2 ， 4）内,