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1、第2课时 解三角形的实际应用举例高度、角度问题,【知识提炼】 1.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线 和目标视线的夹角，目标视线在水平线 _时叫仰角，目标视线在水平线_ 时叫俯角，如图所示.,上方,下方,2.方位角和方向角 (1)方位角：从_方向_转到目标方向线所成的角. 如图(1)目标A的方位角为135.,正北,顺时针,(2)方向角：从_方向线到目标方向线所成的小于90的水平角.如图(2)，北偏东30，南偏东45.,指定,3.视角 从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的_，如图所示，视角50指的是观察该物体的两端视线张开的角度.,夹角,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)仰角
2、和俯角都是与铅垂线所成的角吗？ 提示：不是.仰角和俯角都是与水平线所成的角.,(2)方位角的范围是(0，)吗？ 提示：不是.方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是(0，2).,2.从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为() A. B.= C.+=90 D.+=180,【解析】选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，因为两直线平行内错角相等，所以=.,3.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30，看正南方向有一只船俯角为45，则此时两船间的距离为() A.2h米 B. h米 C. h米 D.2 h米,【解析】选A.
3、如图所示， BC= h，AC=h， 所以AB= =2h(米).,4.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于() A.10m B.5 m C.5( -1)m D.5( +1)m,【解析】选D.在ACD中，由正弦定理得 AD= =10( +1). 在RtABD中，AB=ADsin30=5( +1)(m).,5.身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方，目测该旗杆的高度，若李明此时的仰视角为30，则该旗杆的高度约为_米.(精确到0.1米) 【解析】h= +1.7013.2(米). 答案：13.2,【知识探究】 知
4、识点 高度和角度的测量问题 观察图形，回答下列问题：,问题1：如图1，求高度时，底可到达时，如何求解？ 问题2：如图2，图3，求高度时，底不可到达时，如何求解？,【总结提升】测量高度问题时常见的三种数学模型及其特征 (1)三种模型.,(2)特征. 底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形. 底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进. 底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面.此类问题中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”.,【题型探究】 类型一 高度问题 【典例】1.(2015湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平
5、的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=_m.,2.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不 同的方案，其中之一是选取与塔底B在同 一水平面内的两个观测点C和D，测得CD= 200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD=30，求塔高AB.,【解题探究】1.典例1中，图中西偏北30及西偏北75的分别是哪个角？仰角为30指的是哪个角？ 提示：图中西偏北30即CAB=30，西偏北75即ABC的补角.仰角为30即DBC=30.,2.典例2中，在BCD中，已知CD，CBD，
6、如何建立关于塔高的方程？ 提示：设AB=h，将BC与BD分别用h表示，在BCD中，利用余弦定理建立关于塔高h的方程求解.,【解析】1.在ABC中，CAB=30，ACB=75-30=45，根据正弦定理知， 即 BC= sinBAC= (m)，所以 CD=BCtanDBC= (m). 答案：,2.在RtABC中，ACB=45，设AB=h，则BC=h； 在RtABD中，ADB=30，则BD= h. 在BCD中，由余弦定理可得 CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD， 即2002=h2+( h)2-2h h ， 所以h2=2002，解得h=200(h=-200舍去). 即塔高AB为200米.,
7、【方法技巧】测量高度的一般步骤 (1)根据已知条件画出示意图. (2)分析与问题有关的三角形. (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解. (4)把解出的答案还原到实际问题中.,【变式训练】(2015潍坊高二 检测)如图，为测量山高MN，选 择A和另一座山的山顶C为测量观 测点.从A点测得M点的仰角MAN=60，C点的仰角CAB=45以及MAC=75；从C点测得MCA=60.已知山高BC=100m，则山高MN=_m.,【解析】如图，,在RtABC中，BC=100，CAB=45， 所以AC=100 . 在AMC中，CAM=75，ACM=60， 所以AMC=45. 由正弦定理知 所以
8、AM=100 .,在RtAMN中，NAM=60， 所以MN=AMsin60=100 =150(m). 答案：150,【补偿训练】某人从塔AB的正东C处沿着南偏西60的方向前进40米后到达D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高. 【解题指南】解答时可以先依据题意画出图形，着重思考何时仰角最大，要突破这一难点，可转化为沿途观测点何处距塔底B距离最小.,【解析】根据题意画出示意图，且BECD.在BDC中，CD=40，BCD=30，DBC=135. 由正弦定理， 得 所以BD=,在RtBED中，BDE=180-135-30=15， 所以BE=DBsin15,在RtABE中，AEB
9、=30， 所以AB=BEtan 30= (米). 故塔高为 米.,类型二 角度问题 【典例】1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的() A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东10 D.南偏西10,2.如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东 45方向，距A有9海里的B处，并以20海 里每小时的速度沿南偏西15方向行驶， 若甲船沿南偏东度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sin的值.(结果保留根号，无需求近似值),【解题探究】 1.典例1中，分析题中角的关系的
10、关键是什么？ 提示：确定角的关系的关键是画出图形，并结合方向角的有关概念求解. 2.典例2中，如何求ABC？ 提示：ABC=180-15-45=120.,【解析】1.选B.如图，由题意，知AC=BC，ACB=80， 所以CBA=50，+CBA=60.所以=10， 即灯塔A在灯塔B的北偏西10.,2.设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇， 那么在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9， ABC=180-15-45=120，由余弦定理得： (28t)2=81+(20t)2-2920t( )， 128t2-60t-27=0，解得t= 或t=- (舍去)，,所以AC=21(海里)，BC=15
11、(海里)， 根据正弦定理，得sinBAC= cosBAC= 又ABC=120，BAC为锐角， 所以=45-BAC，,sin=sin(45-BAC) =sin45cosBAC-cos45sinBAC=,【延伸探究】典例2中若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度.,【解析】设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)， 则在ABC中，AC=28t，BC=xt， CAB=30，ABC=135. 由正弦定理得,即 所以 (海里每小时). 答：乙船的速度为14 海里每小时.,【方法技巧】测量角度问题的基本思路
12、 (1)测量角度问题关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离. (2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解.,【拓展延伸】解决追及问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题. (2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，借助正弦定理或余弦定理解决问题. (3)把数学问题还原到实际问题中去.,【变式训练】如图所示，位于A处的 信息中心获悉：在其正东方向相距 40海里的B处有一艘渔船遇险，在原 地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援
13、，则cos的值为_.,【解析】在ABC中，AB=40，AC=20，BAC=120， 由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2ABACcos120= 2 800，所以BC= 由正弦定理得， 所以sinACB=,由BAC=120，知ACB为锐角，则cosACB= 由=ACB+30，cos=cos(ACB+30) =cosACBcos30-sinACBsin30= 故cos的值为 . 答案：,【补偿训练】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立
14、即以10 海里/时的速度前去营救，并在小岛B处与渔船相靠，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.,【解析】如图所示，设所需时间为t小时， 则AB=10 t，BC=10t， 在ABC中，由余弦定理得， AB2=AC2+BC2-2ACBCcos120， 即(10 t)2=102+(10t)2-21010tcos120. 整理得：2t2-t-1=0，解得t=1或t=- (舍去)，,所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB=10 ，BC=10.,在ABC中，由正弦定理得： 所以sinCAB= 所以CAB=30. 所以舰艇航行的方位角为75.,易错案例 正、余弦定理的综合应用 【典例】某观测站C在城A的南偏西20
15、的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，则这人能到达A城还要走_千米,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：本题在解ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解.,【自我矫正】如图，令ACD=，CDB=，在CBD中，由余弦定理得 cos= 所以sin= 又sin=sin(-60) =sincos60-sin60cos,在ACD中，由正弦定理得 所以AD= =15(千米). 答案：15,【防范措施】解决应用举例问题的两个关注点 (1)审题作图：认真阅读题目，依据题目中给出的角(注意明确相关角的概念)及给出的相应长度，正确画出对应的图形，在图形中标出相应的角度或长度. (2)根据图形中的数据，合理选择公式及定理.注意在利用余弦定理时，有时会出现两个解，解题时要注意根据实际情况进行取舍，避免出现增解.,