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1、第3课时 三角形中的几何计算,在ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？,1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.(重点),2.三角形各种类型的判定方法. (难点),1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？,D,探究点1 三角形面积公式,ha,hc,hb,提示:,habsinCcsinB hb=csinAasinC hc=asinBbsinA,D,c,b,2.如何用已知边和角表示三角形的面积？,提示:,【即时练习】,分析：这是一道在不同的已知条件下求三角形的面积的问题，与
2、解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.,例1 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面 积S（精确到0.1 ）: （1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5； （2）已知B=62.7，C=65.8,b=3.16cm； （3）已知三边的长分别为a=41.4cm， b=27.3cm，c=38.7cm.,(3)根据余弦定理的推论，得,【变式练习】,例2 如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域
3、的面积是多少？（精确到0.1 ）,分析：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解.,C,A,B,解：设a=68 m,b=88 m,c=127 m,根据余弦定理的推论，,已知圆内接四边形的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4.求四边形ABCD的面积.,【分析】连结BD，将四边形ABCD 转化为三角形.,【解析】如图，连结BD， 设四边形ABCD的面积为S.,【变式练习】,则 S = SABD+ SCDB = ABADsinA+ BCCDsinC. 四边形ABCD为圆内接四边形， A+C=180， sinA=sinC，cosA=-cosC， S= (ABAD+BCC
4、D)sinA = (24+64)sinA =16sinA.,在ABD中，由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2ABADcosA =22+42-224cosA=20-16cosA. 在BCD中，同理可得 BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC =62+42+264cosA=52+48cosA. 由BD2=BD2，得 20-16cosA=52+48cosA cosA= ， A=120，S=16sin120= .,例3 在ABC中，求证：,分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理和余弦定理来证明.,探究点2 三角形边角关系应用,证明：（1）根据
5、正弦定理，可设,（2）根据余弦定理，,右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2 =左边.,（1）acosA = bcosB.,判断满足下列条件的三角形的形状.,提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.,【变式练习】,另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,即2A=2B,根据边的关系易得是等腰三角形.,所以A=B，,思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错误？为什么？,因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，则A+B=90.,前一种解法
6、正确.,后一种解法遗漏了一种情况；,提示:,所以此三角形为直角三角形.,利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并观察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.,1在ABC中，若acosB=bcosA，则ABC一定是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形,A,【解析】acosB=bcosA 2RsinA cosB=2RsinBcosAtanA=tanB A=B， ABC为等腰三角形.,2在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形,【解析】2sinAcosBsin(AB)sin(AB)， 又2sinAcosBsinC， sin(AB)0，AB ABC为等腰三角形,C,3.(2015北京高考)在ABC中,a=3,b= ,A= , 则B=.,【提示】 利用正弦定理求解,注意角B的范围.,1.三角形面积公式：,2.确定三角形的形状,利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.,3.三角形的面积公式,三 角 形 的 面 积 公 式,4.解三角形知识结构图,解 三 角 形,应用举例,