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1、1.2应用举例 第1课时解三角形的实际应用举例距离问题,【知识提炼】 基线的概念与选择原则 1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.,2.选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要 选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般 来说，基线_，测量的精确度越高.,越长,【即时小测】 1.思考下列问题： (1)在距离的测量问题中，如果构造的三角形知道三个内角能解出三角形的边长吗？ 提示：不能.要解一个三角形，至少要知道这个三角形的一条边的长.,(2)两个不能到达的点之间能否求出两点之间的距离？ 提示：能.利用测角仪和皮尺测量相关的角、边，利用正、余弦定理求出两点间的
2、距离.,2.如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是() A.a和cB.c和bC.c和D.b和,【解析】选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC可看作基线，在ABC中，能够测量到的边角为b，.,3.设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出AC的距离是100m，BAC=60，ACB=30，则A，B两点的距离为() A.40mB.50mC.60mD.70m,【解析】选B.如图所示，ABC是直角三角形，AB= AC， 所以AB=50m.,4.如图，A，N两点之间的距离为_.,【解析】因为M=120，MAN=30，
3、所以MNA=30，所以MN=MA=40， 由余弦定理得AN2=402+402-24040cos120=4 800， 解得AN=40 . 答案：40,【知识探究】 知识点 距离问题 观察图形，回答下列问题：,问题1：测量一已知目标与另一无法到达的目标距离时，利用正弦定理求解需要哪些条件？ 问题2：测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题，利用余弦定理求解需要哪些条件？,【总结提升】 1.测量距离问题包括两种情况 (1)测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距离.,(2)测量两个不可到达点之间的距离. 第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第
4、二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2).,2.解与三角形有关的应用题的基本思路,【题型探究】 类型一 测量一个可到达点到一个不可到达点之间的距离 【典例】1.在相距12海里的A，B两个小岛处测量目标C岛，测得CAB=75，CBA=60，则A，C间的距离为() A.2B.6C.2D.4,2.如图所示的某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段两侧B，C两点间的距离，在河段的一岸边选取点A，观察对岸的点C，测得CAB=75，CBA=45，且AB=100m.求B，C两点间的距离.,【
5、解题探究】1.典例1中已知条件是什么？可用哪个定理解决？ 提示：已知三角形的两角和其中一边，应用正弦定理可求解. 2.典例2中根据已知条件，可用哪个定理解决？ 提示：已知两角和一边，可用正弦定理求解.,【解析】1.选B.如图所示， 由题意知C=45，由正弦定理得 所以,2.因为CAB=75，CBA=45， 所以ACB=180-CAB-CBA=60. 由正弦定理，得 所以BC=,又因为sin75=sin(30+45) =sin30cos45+cos30sin45 所以BC= (m). 即B，C两点间的距离为 m.,【延伸探究】若典例2中的题设条件不变，求河段的宽. 【解析】过点C作CD垂直于AB
6、，垂足为点D，则CD的长就是该河段的宽度. 在RtBDC中，因为BCD=CBA=45，sinBCD=,所以 所以该河段的宽度为 m.,【方法技巧】求距离问题时应注意的两点 (1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.,【变式训练】如图所示，为了测量水田的宽度，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC=8m，BAC=30，BCA=45，则水田的宽度为_.,【解析】方法一：过点B作BDAC，在RtBDA及RtBDC中 又AC=AD+CD= =8， 所以BD=,方法二
7、：过点B作BDAC，根据正弦定理得 所以AB= 所以BD=ABsin30= 8( -1)=4( -1)(m). 答案：4( -1)m,【补偿训练】某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60方向航行30n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为_n mile.,【解析】如图所示，B是灯塔，A是船 的初始位置，C是船航行后的位置， 则BCAD，DAB=30，DAC=60， 则在RtACD中，DC=ACsinDAC=30sin60= 15 (n mile)，,AD=ACcosDAC=30cos60=15(n mile)，则在RtADB中，DB=ADtanDAB=15tan3
8、0=5 (n mile)，则BC=DC-DB=15 -5 =10 (n mile). 答案：10,类型二 测量两个不可到达的点之间的距离 【典例】1.如图，CD是京九铁路线上的一 条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上 的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，ABC= ，BAD= ，AB=BC=400米，AD=250米，则应开凿的隧 道CD的长为_米.,2.如图，现要计算北江岸边两景点B与C的 距离.由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D两个测量点，现测得ADCD，AD=10km，AB=14km，BDA=60，BCD=135，求两景点B与C的距离.(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果
9、保留整数；参考数据： 1.414),【解题探究】1.典例1中测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把距离如何转化？ 提示：测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题. 2.典例2中，求BC的思路是什么？ 提示：先由余弦定理求出BD的值，然后由正弦定理求出BC.,【解析】1.在ABC中，AB=BC=400米，ABC= ，所以ABC为等边三角形，BAC= ，AC=AB=BC=400，又BAD= ，故CAD= ，所以在ACD中，由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD=4002+2502-2400250cos =122500，所以CD=3
10、50米. 答案：350,2.在ABD中，设BD=x， 则BA2=BD2+AD2-2BDADcosBDA， 即142=x2+102-20 xcos60.整理，得x2-10 x-96=0. 解得x1=16，x2=-6(舍去). 在BCD中，由正弦定理，得 所以BC= sin30=8 11(km).,【延伸探究】 1.(变换条件)典例1中若把条件“ABC= ”改为“ABC= ”，其他条件不变，那么隧道CD的长又该是多少？,【解析】如图： 由题意，易得DAC= ， AC2=AB2+BC2-2ABBCcos =4002+4002-24002 =4002(2- ).,CD2=AD2+AC2-2ADACco
11、s =2502+4002(2- )-2250400( -1) =482 500-260 000 ，所以CD179米.,2.(改变问法)典例1中，条件不变，试求ADC的余弦值.,【解析】如图：在ABC中，AB=BC=400米，ABC= 所以ABC为等边三角形，BAC= 又BAD= 故CAD= 所以在ACD中，由余弦定理得，,CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD=4002+2502-2400250cos =122500，所以CD=350米. cosADC=,【方法技巧】测量不能到达的两点间的距离的方法及关键 (1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余弦定理解斜三角形是一个重要的方
12、法. (2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算.,【补偿训练】如图，某炮兵阵地位于A点， 两观察所分别位于C，D两点.已知ACD为 正三角形，且DC= km，当目标出现在B 点时，测得CDB=45，BCD=75，则炮兵阵地与目标的距离是() A.1.1kmB.2.2kmC.2.9kmD.3.5km,【解析】选C.CBD=180-BCD-CDB=60. 在BCD中，由正弦定理，得BD= 在ABD中，ADB=45+60=105， 由余弦定理，得 AB2=AD2+BD2-2ADBDcos105,所以AB= 2.9(km). 所以炮兵阵地与目标的距离约为2.9km.,
13、巧思妙解 图形分析法在求距离问题中的应用 【典例】(2015广州高二检测)在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为 的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB=30，BDC=30，DCA=60，,ACB=45.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为_.,【常规解法】由题意知ADC=ADB+BDC=60， 又因为ACD=60，所以DAC=60. 所以AD=CD=AC= 在BCD中，DBC=180-30-105=45， 由正弦定理得,所以BD= 在ADB中，由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB 所以AB= a. 答案： a,【巧妙解法】在BCD中，CBD=180-30-105=45， 由正弦定理得 则BC= 在ACD中，CAD=180-60-60=60， 所以ACD为等边三角形.,因为ADB=BDC， 所以BD为正ACD的中垂线， 所以AB=BC= a. 答案： a,【方法指导】 1.寻求特殊图形 分析图形的边角之间的关系，确定是否是特殊的图形，如等腰(边)三角形、直角三角形，如果是则利用特殊图形的性质进行求解，这样可以简化运算，使问题的解决更加简洁.,2.正确运用定理 明确正、余弦定理的实质和定理的内容形式，根据条件正确选用定理及公式.同时：注意将三角形内角和定理、诱导公式及两角和(或差)的正余弦公式结合起来求值.,