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1、三菱越野汽车欣赏三菱越野汽车欣赏19.2.2 19.2.2 菱形的判定菱形的判定u菱形菱形ABCDABCD的性质：的性质：1.1.具有具有平行四边形平行四边形的一切性质。的一切性质。2.2.菱形本身具有的菱形本身具有的特殊特殊性质性质: : (1)(1)四条边相等四条边相等, , (2)(2)对角线互相对角线互相垂垂直直平分平分, , 每一条对角线平分一组对角每一条对角线平分一组对角. .ABCD12345 678 3. 3.菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半. . O如何判断一个四边形是菱形呢？如何判断一个四边形是菱形呢？菱形的判定方法菱形的判定方法1 1：
2、( (根据定义根据定义) )u一组一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形是菱形；是菱形；AB=BCABCDABCDABCD菱形菱形ABCDABCDAB=BCABCD 四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形猜想猜想：四边都相等：四边都相等的四边形是菱形的四边形是菱形 。ABCD已知：已知：AB=BC=CD=DA求证：四边形求证：四边形ABCD是菱形是菱形还有其他方法吗？能从性质反推出来吗？还有其他方法吗？能从性质反推出来吗？u四条边都相等四条边都相等的四边形是菱形的四边形是菱形. .AB=BC=CD=DAABCD菱形菱形ABCDABCDAB=BC=CD=DA四边形四边形ABCDABCD是
3、菱形是菱形四四边形边形ABCDABCD菱形的判定方法菱形的判定方法2： ABCD是菱形是菱形命题：命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形. .ABCD已知：在已知：在 中，中，AC BDABCDABCD求证：求证： 是菱形是菱形证明：证明：又又 AC BD;四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形BO=DOAB=ADO(一组一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形)( (线段垂直平分线上的点到这条线段线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等两端点的距离相等) )还有其他方法吗？还有其他方法吗？菱形的判定方法菱形的判定方法3：u对角线互相
4、垂直对角线互相垂直的的平行四边形平行四边形是菱形；是菱形；ACBDACBDABCDABCD菱形菱形ABCDABCDABCDABCD四边形四边形ABCD是菱形是菱形归纳归纳菱形常用的判定方法：菱形常用的判定方法：1 1、有一组、有一组邻边邻边相等的相等的平行四边形平行四边形叫做菱形叫做菱形. .2 2、对角线对角线互相互相垂直垂直的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. .3 3、有、有四条边相等四条边相等的四边形是菱形的四边形是菱形. .将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开，得到的平面图形的虚线剪下，再打开，得到的平面图形是是 .动手齐探
5、索动手齐探索 做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由(1)(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形(2)(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形(3)(3)邻角相等的四边形是菱形邻角相等的四边形是菱形(4)(4)有一组邻边相等的四边形是菱形有一组邻边相等的四边形是菱形(5)(5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形是菱形两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形是菱形(6)(6)对角线互相垂直的四边形是菱形对角线互相垂直的四边形是菱形(7)(7)对角线互相
6、垂直平分的四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形. .(8)(8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形. . 错错对对对对对对错错对对错错对对证明：证明：在在AOB中，中， 42+32=22 AO2+BO2=AB2ABO是直角三角形是直角三角形 ACBD ABCD是菱形是菱形例例1:如图，如图， ABCD的对角线的对角线AC、BD交于交于O，且，且 AB=5，AO=4，BO=3，求证求证: : ABCD是菱形是菱形.543(对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形)变式：变式：如图，如图， ABCD的两条对角线的两条对角
7、线AC、BD相交于点相交于点O，AB= 5 ，AC=8，DB=6求证求证:四边形四边形ABCD是菱形是菱形.ABCDO O D A B C E2、如图，、如图，O是矩形是矩形ABCD对角线的交点，作对角线的交点，作DE/AC，CE/BD，DE、CE交于交于E点点.求证：四边形求证：四边形OCED是菱形是菱形.证明：证明： DEAC, CEBD四边形四边形OCED是平行四边形是平行四边形在矩形在矩形ABCD中，中， OC=OD平行四边形平行四边形OCED是菱形是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形)证明：证明： DE BC ，DF AB 四边形四边形BEDF是平行四
8、边形是平行四边形2=3又又 BD平分平分BAC1=21=3BE=ED四边形四边形BEDF是菱形是菱形3、如图、如图:已知已知ABC中中,BD平分平分ABC交交AC于于D,过点过点D作作DE/BC,DF/AB,交交AB、BC于点于点E、F，试判断四，试判断四边形边形BFDE的形状，并证明你的结论。的形状，并证明你的结论。 A B C D E F321解：四边形解：四边形BFDE是菱形是菱形证明：证明： DE BC ，DF AB 四边形四边形BEDF是平行四边形是平行四边形2=3又又 BD平分平分BAC1=21=3BE=ED四边形四边形AEDF是菱形是菱形变式变式：如图：如图:已知已知ABC中中,
9、BD平分平分ABC交交AC于于D,过点过点D作作DE/BC,DF/AB,交交AB、BC于点于点E、F，求证：求证：EF与与BD垂直平分垂直平分 A B C D E F321 EF与与BD垂直平分垂直平分4、如图，、如图，ABDC，1=2，AD=AB，求证：四边形求证：四边形BCEF是菱形是菱形证明：证明： ABDC 3=1 又又 1=2 2=3 AD=CD 又又 AD=AB AB=CD ABDC 四边形四边形BCEF是平行四边形是平行四边形 又又 AD=AB 四边形四边形BCEF是菱形是菱形ABCD1235、如图，、如图，ADBC，BD垂直平分垂直平分AC，四边形，四边形ABCD一定是菱形吗？
10、若是，请一定是菱形吗？若是，请说明理由说明理由。CDBAO) 12 (解：四边形四边形ABCD一定是菱形，理由如下：一定是菱形，理由如下： ADBC1=2 BD垂直平分垂直平分AC3=4=900，AO=COAOD COB AD=BC四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 BD垂直垂直AC平行四边形平行四边形ABCD是菱形是菱形34 O证明：证明：矩形矩形ABCD中，中，ADBC 1=2 EF垂直平分垂直平分ACAO=CO， 3=4=900AOE COF (ASA)OE=OF又又 AO=CO四边形四边形AFCE平行四边形平行四边形 EFAC四边形四边形AFCE是菱形是菱形34126、如图，
11、已知矩形、如图，已知矩形ABCD的对角线的对角线AC的垂直平分线与边的垂直平分线与边AD、BC分别交于点分别交于点E、F，求证：四边形求证：四边形AFCE是菱形是菱形 O如图，已知矩形如图，已知矩形ABCD的对角线的对角线AC的垂直平分线与边的垂直平分线与边AD、BC分别交于点分别交于点E、F，求证：四边形求证：四边形AFCE是菱形是菱形34证明：证明：EF垂直平分对角线垂直平分对角线ACAO=CO, AE=EC, CF=FA矩形矩形ABCD中，中，ADBC 1=2， 3=4=900AOE COF (ASA)AE=CFAE=EC=CE=FA四边形四边形AFCE是菱形是菱形.变式：已知矩形变式：
12、已知矩形ABCD沿沿EF翻折，使点翻折，使点A落在点落在点C处处求证：四边形求证：四边形AFCE是菱形是菱形证明：证明：矩形矩形ABCD中，中，ADBC 1=2 EF垂直平分垂直平分ACAO=CO， 3=4=900AOE COFOE=OF又又 AO=CO四边形四边形AFCE平行四边形平行四边形 EFAC四边形四边形AFCE是菱形是菱形 3412O7、如图，点、如图，点E、F、G、H分别为四边形分别为四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA的中点，的中点，(1)判断四边形判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论的形状，并证明你的结论解：四边形解：四边形EFGH是平行四边形是平行四边形证明：连
13、结证明：连结AC点点G、H分别为分别为CD、DA的中点的中点 GH是是DAC的中位线的中位线 GHAC， GH= AC同理：同理： EFAC， EF= AC GH= EF, GH EF四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形21ABCDEFGH218、如图，点、如图，点E、F、G、H分别为四边形分别为四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA的中点，的中点，(2)若若AC=BD，那四边形，那四边形EFGH的形状又是什么呢？的形状又是什么呢？解：若解：若AC=BD，四边形，四边形EFGH是菱形是菱形证明：连结证明：连结AC、点点G、H分别为分别为CD、DA的中点的中点 GH是是DAC的中位
14、线的中位线 GH= AC同理：同理： EF= AC GH= EF = AC同理：同理： HE=GF = BD又又 AC=BD GH= EF =HE=GF四边形四边形EFGH是菱形是菱形ABCDEFGH212121BD21请你动脑筋请你动脑筋把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分能判断重叠部分ABCD的形状吗？的形状吗？ACDB思考:ABCDADBC，ABCD平行四边形平行四边形ABCDEF12341=2，3=4=900 AE=AFABE ADFAB=AD ABCD是菱形是菱形学到了如何识别菱形学到了如何识别菱形菱形识别方法菱形识别方法：1、一组邻边相
15、等一组邻边相等的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形2、对角线互相垂直对角线互相垂直的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形3、四条边都相等四条边都相等的的四边形四边形是菱形是菱形BDAC例、如图，已知在例、如图，已知在ABCD中，中，AD=2AB，E、F在直线在直线AB上，且上，且AE=AB=BF，说明，说明CEDF.DF.ABFNDMEC例：如图，例：如图，RTABC中，中，ACB=900，BAC=600，DE垂直平分垂直平分BC，垂足为，垂足为D，交交AB于于E，又点，又点F在在DE的延长线上，且的延长线上，且AF=CE，求证：四边形，求证：四边形ACEF是菱形。是菱形。ABCDEF例：如下图在例：如下图在ABC中，中，BAC90，ADBC于于D，CE平分平分ACB，交，交AD于于G，交，交AB于于C，EFBC于于F，四边形，四边形AEFG是菱形吗是菱形吗?四条边都相等四条边都相等菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直对角线互相平分对角线互相平分一组对边平行且相等一组对边平行且相等二组对边平行或相等二组对边平行或相等四边形四边形平行四边形平行四边形一组对角平行且相等一组对角平行且相等如图如图448，CD为为RtABC斜边斜边AB上上的高，的高，BAC的平分线交的平分线交CD于于E，交，交BC于于F，FGAB于于G求证：四边形求证：四边形EGFC为菱形为菱形