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1、北师大课标九上北师大课标九上 1.2 (1)1.2直角三角形（1）w如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜，斜边为边为c，那么，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.acb勾勾弦弦股股想一想想一想l方法一方法一: 拼图计算拼图计算l方法二方法二：割补法：割补法l方法三方法三：赵爽的弦图：赵爽的弦图l方法四方法四：总统证法：总统证法l方法五方法五：青朱出入图：青朱出入图l方法六
2、方法六：折纸法：折纸法l方法七方法七：拼图计算：拼图计算这些证法你还能这些证法你还能记得多少记得多少?你最喜你最喜欢哪种证法欢哪种证法?勾股定理的证明勾股定理的证明这个证明方法出自一位总统这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统就任美国第二十任总统,在在 1876 , 利用了梯形面积利用了梯形面积公式公式.图中三个三角形面积的和是图中三个三角形面积的和是2ab/2c/2;梯形面积为梯形面积为(a+b)(a+b)/2;比较可得比较可得:c2 = a2+b2 .伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳
3、话, ,后来，人们为了后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为这一证法称为“总统总统”证法证法ababcc勾股定理的证明勾股定理的证明l如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那那么这个三角形是直角三角形么这个三角形是直角三角形.l已知已知:如图如图(1),在在ABC中中,AC2+BC2=AB2.l求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形.acbABC(1)勾股定理逆定理勾股定理逆定理l证明证明:作作Rt ABC使使C =900,AC=AC,BC=BC(如图如图),则则l已
4、知已知:如图如图(1),在在ABC中中,AC2+BC2=AB2.l求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形.acbABC(1)acbBAC(2)AC2+BC2=AB2(勾股定理勾股定理).AC2+BC2=AB2(已知已知), AC=AC,BC=BC(作图作图), AB2=AB2(等式性质等式性质). AB=AB(等式性质等式性质). ABC ABC(SSS). A=A 900(全等三角形的对应边全等三角形的对应边). ABC是直角三角形是直角三角形(直角三角形意义直角三角形意义).逆定理的证明逆定理的证明w勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理l如果三角形两边的平方和等如果三角形两边的平方和等于第三
5、边平方于第三边平方, 那么这个三角那么这个三角形是直角三角形形是直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一这是判定直角三角形的根据之一.l在在ABC中中lAC2+BC2=AB2(已知已知),lABC是直角三是直角三角形角形( (如果三角形两边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形).).acbABC(1)勾股定理逆定理勾股定理逆定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这那么这个三角形是直角三角形个
6、三角形是直角三角形.观察上面两个命题观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的它们的条件与结论之间有怎样的关系关系?与同伴交流与同伴交流.再观察下面两组命题再观察下面两组命题:l如如果两个角是对顶角如如果两个角是对顶角,那么它们相等那么它们相等, 如如果两个角相等如如果两个角相等,那么它们是对顶角那么它们是对顶角;l如果小明患了肺炎如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧那么他一定会发烧, 如果小明发烧如果小明发烧,那么他一定患了肺炎那么他一定患了肺炎;w上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗似的关系吗?与同伴进行交流与同伴进行交流.命题与逆命
7、题命题与逆命题w在两个命题中在两个命题中,如果一个命题的如果一个命题的条件条件和和结论结论分分别是另一个命题的别是另一个命题的结论结论和和条件条件,那么这两个命题那么这两个命题称为称为互逆命题互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题.w你能写出命题你能写出命题“如果两个有理数相等如果两个有理数相等, 那么它们那么它们的平方相等的平方相等”的逆命题吗的逆命题吗?w它们都是真命题吗它们都是真命题吗?w想一想想一想: :一个命题是真命题一个命题是真命题,它逆命题是真它逆命题是真命题还是假命题命题还是假命题?命题与逆命题命题与逆命题w一个一个命题命题是真命题是真命
8、题, ,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题. .w我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如:w勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理,w两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.w你还能举出一些例子吗你还能举出一些例子吗?w想一想想一想: :w互逆命题与互逆定理有何关系互逆命题与互逆定理有何关系?w如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么它那么它是一个是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个其中一个定理称另一个定理的定理称另一个定理的逆定理逆定理.
9、定理与逆定理定理与逆定理如图如图(单位：英尺单位：英尺),在一个长方体的房间里在一个长方体的房间里,一只蜘一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的英尺的A处处,苍蝇则苍蝇则在对面墙的正中间离地板在对面墙的正中间离地板1英尺的英尺的B处处.试问试问:蜘蛛为了捕获苍蝇蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多需要爬行的最短距离是多少少?AB 301212动手试一试动手试一试勾股定理勾股定理:w如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜，斜边为边为c，那么，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方边的平方和等于
10、斜边的平方.勾股定理在西勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理: :l如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.本课小结本课小结命题与逆命题命题与逆命题w在两个命题中在两个命题中,如果一个命题的条件和如果一个命题的条件和结论结论分分别是另一个命题的别是另一个命题的结论结论和条件和条件,那么这两个命那么这两个命题称为题称为互逆命题互逆命题,其中一个命题称为另一个命其中一个命题称为另一个命题的题的逆命题逆命题
11、.定理与逆定理定理与逆定理w如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那那么它是一个么它是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其其中一个定理称另一个定理的中一个定理称另一个定理的逆定理逆定理.本课小结本课小结w1.如图，在如图，在ABC中，已知中，已知AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线边上的中线AD=12cm.求证求证:AB=AC. 证明证明:BD=CD,BC=10cm(已知已知), BD=5cm(等式性质等式性质). AD2+BD2=122+52144+25=169, AB2=132=169, AD2+BD2=AB2.DBC
12、A 在在ABD中中, ABC是直角三角形是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三如果三角形两边的平方和等于第三边平方边平方, 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形).在在RtADC中中 AC2=DC2+AD2=122+52144+25=169,AC2=AB2.AB=AC(等式性质等式性质).动手试一试动手试一试w2.房梁的一部分如图所示房梁的一部分如图所示,其中其中BCAC,A=300,AB=10m,CB1AB, B1C1AC,垂足为垂足为B1,C1,那么那么BC的长是的长是多少？多少？B1C1呢？呢？ 解解:BCAC,A=300,AB=10m(已知已知), BC=AB/2
13、=1025(在直角三角形中在直角三角形中, 如果有一个锐如果有一个锐角等于角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半), 又又CB1AB,BCB1=900-600=300(直角三角形两锐直角三角形两锐角互余角互余),CB1=BC/2=522.5(在直角三角形中在直角三角形中, 如果有一个如果有一个锐角等于锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半). BCA300B1C1AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质等式性质). 动手试一试动手试一试动手试一试动手试一试B1C1=AB1/2=7.523.75(在直角
14、三角形中在直角三角形中, 如果有一个如果有一个锐角等于锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半). w3.如图如图,正四棱柱的底面边长为正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点从正四棱柱的底面上的点A沿棱沿棱柱侧面到点柱侧面到点C1处吃食物处吃食物,那么它那么它需要爬行的最短路径是多少？需要爬行的最短路径是多少？ BCAB1C1D1A1D解解:如下图如下图,将四棱柱的侧面将四棱柱的侧面展开展开,连结连结AC1,AC=10cm,CC1=8cm(已知已知), 老师提示:对于空间图形需要动手操作,将其转化为平面图形来解决. BAB1D1A1DC1C.412164810222121勾股定理CCACAC412答答:蚂蚁需要爬行的最短路径是蚂蚁需要爬行的最短路径是 cm. 动手试一试动手试一试课后课后作业作业P22习题1.4 3,4题.