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1、九年级数学（上册）第一章 证明(二)2.直角三角形（1）勾股定理与它的逆定理的证明驶向胜利的彼岸勾股定理w如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c，那么那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（拉斯定理（pythagoras theorem）.开启 智慧acb勾弦股驶向胜利的彼岸勾股定理的证明勾股定理的证明 我能行我能行l方法一: 拼图计算l方法二：割补法l方法三：赵爽的弦图l方法四：总统证法l方法五：青朱出入图l方
2、法六：折纸法l方法七：拼图计算这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?总统证法总统证法 回顾反思回顾反思驶向胜利的彼岸l这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积公式。l图中三个三角形面积的和是l2ab/2c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2;l比较可得:c2 = a2+b2 。伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！ababcc驶向胜利的彼岸勾股定理的逆定理勾股定理的逆定
3、理 我能行我能行l如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.l已知:如图(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2.l求证:ABC是直角三角形.acbABC(1)驶向胜利的彼岸逆定理的证明逆定理的证明 我能行我能行l证明:作Rt ABC使C =900,AC=AC,BC=BC(如图),则l已知:如图(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2.l求证:ABC是直角三角形.acbABC(1)acbBAC(2)lAC2+BC2=AB2(勾股定理).AC2+BC2=AB2(已知), AC=AC,BC=BC(作图), AB2=AB2(等式性质). AB=AB(等式性质). ABC
4、 ABC(SSS). A=A 900(全等三角形的对应边). ABC是直角三角形(直角三角形意义).几何的几何的三种语言三种语言 回顾反思回顾反思驶向胜利的彼岸w勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理l如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一.l在ABC中lAC2+BC2=AB2(已知),lABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).acbABC(1)驶向胜利的彼岸命题与逆命题命题与逆命题w直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.w如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形
5、w观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.w再观察下面三组命题:w如果两个角是对顶角,那么它们相等,w如果两个角相等,那么它们是对顶角;w如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,w如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;w三角形中相等的边所对的角相等,w三角形中相等的角所对的边相等.w上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴进行交流.开启 智慧驶向胜利的彼岸命题与逆命题命题与逆命题w在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆逆命题命题.开启 智慧w你能写出命题“如果两个有
6、理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?w它们都是真命题吗?w想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?驶向胜利的彼岸定理与逆定理定理与逆定理w一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.开启 智慧w我们已经学习了一些互逆的定理,如:w勾股定理及其逆定理,w两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.w你还能举出一些例子吗?w想一想:w互逆命题与互逆定理有何关系?w如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.蓄势待发蓄势待发 隋堂练习隋堂练习驶向胜利的彼岸老师提示:你是否能将有关命题的知识予以整理.w说出下
7、列合理的逆命题,并判断每对命题的真假:w四边形是多边形;w两直线平行,同旁内角互补;w如果ab=0,那么a=0,b=0.w请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假.学无止境学无止境 读一读读一读l勾股定理是数学上有证明方法最多的定理有四百多种说明！l古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的.驶向胜利的彼岸P18读一读：勾股定理的证明.学无止境学无止境 读一读读一读l 历时几千年的两个定理，牵
8、动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。 驶向胜利的彼岸P18读一读：勾股定理的证明.学无止境学无止境 读一读读一读l学习永远是件快乐而有趣的事！l勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！驶向胜利的彼岸P18读一读：勾股定理的证明.梦想成真 试一试试一试P141.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处.试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需
9、要爬行的最短距离是多少?AB 301212回味无穷n勾股定理:w 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c，那么，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.n勾股定理的逆定理:l如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.n命题与逆命题命题与逆命题w 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题互
10、逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题.n定理与逆定理定理与逆定理w 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.小结 拓展知识的升华独立独立作业作业P9习题1.4 1,2,3题.祝你成功！习题1.4 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w1.如图，在ABC中，已知AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.w求证:AB=AC. 证明:BD=CD,BC=10cm(已知), BD=5cm(等式性质). AD2+BD2=122+52144+25=169, AB2=132=169,AD2+BD2=AB2. D
11、BCA 在ABD中, ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).在RtADC中 AC2=DC2+AD2=122+52144+25=169,AC2=AB2.AB=AC(等式性质).习题1.4 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w2.房梁的一部分如图所示,其中BCAC,A=300,AB=10m,CB1AB, B1C1AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是多少？B1C1呢？ 解:BCAC,A=300,AB=10m(已知), BC=AB/2=1025(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半), 又CB1AB,BCB1=9
12、00-600=300(直角三角形两锐角互余),CB1=BC/2=522.5(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可. BCA300B1C1AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质). B1C1=AB1/2=7.523.75(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 习题1.4 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？ 解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1,AC=10cm,CC1=8cm(已知), 老师提示:对于空间图形需要动手操作,将其转化为平面图形来解决. BCAB1C1D1A1DBAB1D1A1DC1C.412164810222121勾股定理CCACAC412答:蚂蚁需要爬行的最短路径是 cm. 结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!