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1、1.2 直角三角形直角三角形(2)北师大课标九上北师大课标九上 1.2 (2)美国第十七任总统的证法美国第十七任总统的证法22222122122121221221212122212212221211)2()(cbacababbasscabcababsabbababababasbacbac复习与回顾复习与回顾cabcabcabcab (a+b)2 = c2 + 4ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2aba2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)2c2 +4ab/2想一想想一想ca ca cb ca c2= 4ab/2 +(b-a)
2、2 c2 =2ab+b2-2ab+a2 c2 =a2+b2 a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为c24ab/2+(b- a)2想一想想一想w判断下列命题的真假判断下列命题的真假, ,并说明理由并说明理由: :w两个锐角对应相等的两个直角三角形全等两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; ;w斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; ;w两直角边对应相等的两个直角三角形全等两直角边对应相等的两个直角三角形全等; ;w一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等
3、的两个直角三角形全等的两个直角三角形全等. .想一想想一想设矩形的对角线设矩形的对角线AC与与BD的交点为的交点为O，那么，那么BO是直角是直角ABC中一条怎样的特殊线段？它与中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？有什么大小关系？ABCDOABCO定理：直角三角形斜边上的中线等于定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半斜边的一半ABC=90，OA=OCAC=2BO 或或 OA=OB=OC引入新知引入新知特殊的直角三角形的性质特殊的直角三角形的性质: :1.1.在直角三角形中在直角三角形中, , 如果如果有一个锐角等于有一个锐角等于30300 0, ,那么它那么它所对的直角边等于斜边的
4、一半所对的直角边等于斜边的一半. .2.2.在直角三角形中在直角三角形中, , 如果如果一条直角边等于斜边一条直角边等于斜边的一半的一半, ,那么那么它所对的锐角等于它所对的锐角等于30300 0. .引入新知引入新知如果如果两个角是对顶角两个角是对顶角，那么，那么这两个角相等这两个角相等.如果如果两个角相等两个角相等，那么，那么这两个角是对顶角这两个角是对顶角.三角形中三角形中相等的边相等的边所对的所对的角相等角相等.三角形中三角形中相等角相等角的所对的的所对的边相等边相等.直角三角形两条直角三角形两条直角边直角边的平方和等于的平方和等于斜边斜边的平方的平方. .如果一个三角形如果一个三角形
5、两边两边的平方和等于的平方和等于第三边第三边的平方的平方, ,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. .勾股定理：勾股定理：勾股定理逆定理：勾股定理逆定理：引入新知引入新知从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽去，横着比门框宽4 4尺，竖着比门框高尺，竖着比门框高2 2尺尺. .另一个醉汉另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了不少刚好进去了. . 知道竹竿有多长吗？知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程请根据这一问题列出方
6、程. .（只列不解）（只列不解）22224xxxx尺，得设：竹竿问题讨论问题讨论直角三角形全等的判定定理及其直角三角形全等的判定定理及其三种语言三种语言l定理定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边斜边,直角边或直角边或HL).w如图如图,在在ABC和和ABC中中, C=C=900 , wAC=AC , AB=AB(已知已知),wRtABC RtABC(HL).ABCABC引入新知引入新知用三角尺作角平分线用三角尺作角平分线l再过点再过点M作作OA的垂线的垂线,l如图如图:在已知在已知AOB的两边的两边OA,OB上分别取点上分别取点M
7、,N,使使 OM=ON;l过点过点N作作OB的垂线的垂线,两垂线交于点两垂线交于点P,那么射线那么射线OP就是就是AOB的平分线的平分线.l请你证明请你证明OP平分平分AOB.ABOPMNl已知已知:如图如图,OM=ON,PMOM,PNON.l求证求证:AOP=BOP.l先把它转化为一个纯数学问题先把它转化为一个纯数学问题:问题讨论问题讨论w如图如图,已知已知ACB=BDA=900 , 要使要使ABC BDA, 还需要什么条件还需要什么条件?把它们分别写出来把它们分别写出来.l增加增加AC=BD;ABCDl增加增加BC=AD;l增加增加ABC=BAD ;l增加增加CAB=DBA ;l你能分别写
8、出它们的证明过程吗你能分别写出它们的证明过程吗?l若若AD,BC相交于点相交于点O,图中还有全等的三角形吗图中还有全等的三角形吗?Ol你能写出图中所有相等的线段你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗相等的角吗?l你能分别写出它们的证明过程吗你能分别写出它们的证明过程吗?问题讨论问题讨论 四年一度的国际数学家大会于四年一度的国际数学家大会于20022002年年8 8月月2020日在北京召开，大会日在北京召开，大会会标如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成会标如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为的一个大正方形，若大正方形的面积为202
9、0，每个小直角三角形两，每个小直角三角形两条直角边的和是条直角边的和是6 6，求中间小正方形的面积，求中间小正方形的面积. .拓展拓展:若有一个矩形长为若有一个矩形长为5,宽为宽为4,请你把它请你把它分割成分割成6块块,使得这使得这6块拼成一个正方形块拼成一个正方形.2144问题讨论问题讨论定理定理1 直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余.定理定理2 在直角三角形中，两条直角在直角三角形中，两条直角 边的平方和等于斜边的平方边的平方和等于斜边的平方.定理定理3 在直角三角形中，如果在直角三角形中，如果 一个一个 锐角等于锐角等于30，那么它所对，那么它所对 的直角边等于斜边的一半的
10、直角边等于斜边的一半.定理定理4 直角三角形斜边上的中线等直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半于斜边的一半特殊图形特殊图形w命题命题: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果一条直角边等如果一条直角边等于斜边的一半于斜边的一半, ,那么它所对的锐角等于那么它所对的锐角等于30300 0. .w是真命题吗是真命题吗? ?w如果是如果是, ,请你证明它请你证明它. .300ABC已知已知:如图如图,ABC,ACB=900,BC=AB/2.求证求证:A=300.逆向思维逆向思维 ACB=900,CD=BC(已知已知) AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
11、相等端的距离相等)又又BC=AB/2(已知已知), BC=BD/2(作图作图), AB=BD(等量代换等量代换). AB=BD=AD(等式性质）等式性质）. ABD是等边三角形是等边三角形(等边三角形意义等边三角形意义) B=600(等边三角形意义等边三角形意义). A=300(直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余).ABCD证明证明: 延长延长BC至至D,使使CD=BC,连接连接AD.逆向思维逆向思维这是一个通过线段之间的关系来判这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数定一个角的具体度数(300)的根据之的根据之一一.w定理定理:在直角三角形中在直角三角形中, 如果一条直角边等于
12、如果一条直角边等于斜边的斜边的一半一半,那么它所对的锐角等于那么它所对的锐角等于300.在在ABC中中ACB=900,BC=AB/2(已知已知),A=300(在直角三角形中在直角三角形中,如果如果一条直角边等于斜边的一半一条直角边等于斜边的一半,那么那么它所对的锐角等于它所对的锐角等于300).ABC300回顾反思回顾反思1.如图如图(1):四边形四边形ABCD是一张是一张正方形正方形纸片纸片,E,F分别分别是是AB,CD的中点的中点,沿着过点沿着过点D的折痕将的折痕将A角翻折角翻折,使得使得A落在落在EF上上(如图如图(2), 折痕交折痕交AE于点于点G,那么那么ADG等于多少度等于多少度?
13、你能证明你的结论吗你能证明你的结论吗?DACBEFDACBEF(1)(2)GA试一试试一试DACBEF(2)GA1证明证明:DF=DC/2(中点意义中点意义),A1D=AD=CD(正方形各边都相等正方形各边都相等)DF=A1D/2(等量代换等量代换).DA1F=300 (在直角三角形中在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于那么它所对的锐角等于300).又又ADEFA1DA=DA1F=300 (两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等).ADG=A1DA/2=150(角平分线意义角平分线意义).300试一试试一试直角三角形全等的判定定理
14、直角三角形全等的判定定理:l定理定理: :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等形全等(斜边斜边,直角边或直角边或HL).w公理公理: :三边对应相等的两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等（SSSSSS）. .w公理公理: :两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SASSAS）. .w公理公理: :两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASAASA）. .w推论推论: :两角及其中一角的对边对应相等的两个三角两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（形全等（AASAA
15、S）. .综上所述综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为直角三角形全等的判定条件可归纳为:w一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;w两边对应相等的两个直角三角形全等两边对应相等的两个直角三角形全等;课堂小结课堂小结w1.已知已知:如图如图,D是是ABC的的BC边边上的中点上的中点,DEAC,DFAB,垂足垂足分别为分别为E,F,且且DE=DF.w求证求证: ABC是等腰三角形是等腰三角形. 分析分析:要证明要证明ABC是等腰三角形是等腰三角形,就需要证明就需要证明AB=AC; 进而需要证明进而需要证明BC所在的所在的BDF CDE;而而BDF
16、 CDE的条件的条件: 从而需要证明从而需要证明B=C; BD=CD,DF=DE均为已知均为已知.因此因此, ABC是等腰三角形可是等腰三角形可证证.DBCAFE课后练习课后练习w2.已知已知:如图如图,AB=CD,DEAC,BFAC,垂足分别为垂足分别为E,F,DE=BF.w求证求证:(1)AE=AF;(2)ABCD. 老师期望老师期望:请将证明过程规范化书写出来请将证明过程规范化书写出来. BCAEDF分析分析:(1)要证明要证明AE=CF,由此由此AE=CF可证可证. 需要证明内错角需要证明内错角A=C;而由而由ABF CDE可得证可得证. (2)要证明要证明ABCD, 由已知条件由已知条件, AB=CD,DEAC,BFAC, DE=BF.可证可证得得ABF CDE,从而可得从而可得AF=CE.课后练习课后练习独立独立作业作业P24习题1.5 3题.祝你成功！