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1、学习必备欢迎下载二元一次方程及二元一次方程组二元一次方程一般形式：0cbyax其中 a0，且 b0. 例 1. 在下列方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明为什么？a2b15， 5y8y60，5(x2y)2(2x5y)8，4pq1，85y0 x，yy2(x)3(x)218答：，是. 例 2. 方程是二元一次方程，则的取值为（ C ）A. a0B. a- 1 C. a1D. a 2 2二元一次方程组一般形式：111222a xb yca xb yc（其中 a1，a2，b1，b2不同时为零）.例 3. 在方程组、中，是二元一次方程组的有（ B ）A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5
2、个例 4.九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作在它的“ 方程 ” 一章里，一次方程组是由算筹布置而成的 九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图 2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y 的系数与相应的常数项把图1 所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219,423.xyxy类似地，图2 所示的算筹图我们可以表述为（A ）.A211,4327.xyxyB211,4322.xyxyC3219,423.xyxyD26,4327.xyxy3二元一次方程的解特点： (1)二元一次方程的解是一对数值，即xayb；(2)一个二元一次方程有
3、无数多解，但非任意一对数值都适合. 例 5. x2y1是二元一次方程ax- 2- by 的一个解，则2a- b- 6 的值等于. （- 4）例 6. 若二元一次方程有正整数解，则的取值应为（A）A. 正奇数B. 正偶数C. 正奇数或正偶数D. 0 例 7. 某球迷协会组织72 名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威. 可租用的汽车有两种：一种每辆可乘8 人，另一种每辆可乘4 人，要求租用的车子不留空座，也不超载. 请你给出不同的租车方案（至少三种）；若 8 个座位的车子的租金是300 元/天， 4 个座位的车子的租金是200 元/天，请你设计出费用最少的租车方案
4、，并说明理由. 解：设租用乘8 人的车为x 辆，租用乘4 人的车为y 辆. 图 2 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载8x+4y=72 y=18- 2x 方案一：乘8 人的车 1 辆，乘 4 人的车 16 辆；方案二：乘8 人的车 2 辆，乘 4 人的车 14 辆；方案三：乘8 人的车 3 辆，乘 4 人的车 12 辆. 租车费用为：300 x+200y=300 x+200(18 - 2x)=300 x+3600 - 400 x=3600- 100 x 当 x=9 时，租车费用最少=3600-
5、 900=2700（元）4二元一次方程组的解例 8. 已知x2y1是关于 x， y 的二元一次方程组2x+ m-1 y2nx+y1的解，试求（m+n）2004的值 . （原式 =1）例 9. 已知x2y3是一个二元一次方程组的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组. 5. 三元一次方程组(二) 消元1. 解一次方程组的基本思路消元，实施方法代入法，加减法. 解二元一次方程组： “二元”“一元” ，以求解 . 解三元一次方程组： “三元”“二元”“一元”，以求解 . 2. 明确解方程组的过程中各种变形的理论依据3. 对比代入法和加减法，引导学生根据方程的具体形式灵活的选用适当的、比较简单的解法4
6、. 规范解方程组的书写格式，逻辑要清楚. 5. 灵活运用消元思想解决数学问题. 例 10. 解下列方程组(1)xy33x2y5（选代入法）(2) 3x6y33x2y1（选加减法）(3) 2x3y53x4y1（选加减法）(4) 1130%251491420 xyyx（先化简成一般形式）(5)73766189825xyxy（注意解题技巧）(6) 4884049840 xxyyxy（注意解题技巧）(7) 2x3y2(x2y)1453(2x3y)x2y4045（换元）(8) 3x4yz14x5y2z172x2yz3(9) xyz11yzx5zxy1（注意解题技巧）例 11. 构造方程组，求代数式的值或
7、未知数的值.(1)已知 6x- 5y=16，且 2x+3y=6 ，则 4x-8y 的值为.（原式 =10）(2)若2(2x3y5)xy20，则 x， y. (1x5，9y5)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载(3)若x1y2是关于 x、y 的方程axby1的一个解，且a+b= - 3，则5a2b . （原式 = - 43）(4)若二元一次方程3x- y=7，2x+3y=1 ，y=kx - 9 有公共解，则k 的取值为（ D）A. 3 B. 3 C. 4 D. 4 (5)已知方程组2x3y9axby1与
8、3xy82ax3by7同解，求ab、的值 . （2a3，b= - 1）(6)解方程组时，一学生把看错而得，而正确的解是那么、b、c 的值是（B）A. 不能确定B. 4， 5， 2 C. a、b 不能确定，2 D. 4， 7，2 (7)已知对于任意有理数a、b，关于 x、y 的方程(ab)x(ab)y5ab有一组公共解 . 试求出这组公共解. （x2y3）(8)若代数式2axbxc无论取什么值，它的值都为10，则 2a bc. （原式 = - 10）(9)已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值 . 解：由题意得三元一次方程组化简得得： 2 3 得：由得：例 12. 灵活运用消元思
9、想解决数学问题.(1)已知 x= - 3+t，y=3- t，那么用x 的代数式表示y 为. （ y= - x）(2)已知是方程组的解，则a、b 间的关系是（D ）A.B. C.D.(3)已知 3a + b + 2c = 3 且 a + 3b + 2c = 1，求2a + c 的值 . （原式 =2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载(4)已知12aba，2342bab，求56922baba的值 . （原式 =0）(三) 一次方程组的应用列方程组解应用题，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量
10、关系. 一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相等 . 例 13. 某中学新建了一栋4 层的教学大楼，每层楼有8间教室， 进出这栋大楼共有4 道门， 其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同. 安全检查中，对4 道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2 分钟内可以通过 560 名学生；当时开启一道正门和一道侧门时，4 分钟内可以通过800 名学生 . (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼
11、的学生应在5 分钟内通过这4 道门安全撤离. 假设这栋教学大楼每间教室最多有45 名学生，问：建造的这4 道门是否符合安全规定？请说明理由. 解： (1) 设平均每分钟一道正门可以通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生 . 由题意，2(x+2y)=5604(x+y)=800解得x120y80答：平均每分钟一道正门可以通过学生120 名，一道侧门可以通过学生80 名. (2)这栋楼最多有学生4845=1440（名）拥挤时 5 分钟 4 道门能通过52 (120+80) (1 - 20%)=1600（名）16001440， 建设的4 道门符合安全规定.例 14. 某商场计划拨款9 万元从厂家购
12、进50 台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500 元，乙种每台2100 元，丙种每台2500 元. (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50 台，用去9 万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150 元，销售一台乙种电视机可获利200 元，销售一台丙种电视机可获利 250 元. 在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？(3)若商场准备用9 万元同时购进三种不同型号的电视机50 台，请你设计进货方案. 解： (1)分情况计算设购进甲型号x 台，乙型号y 台. x+y=501500 x+
13、2100y=90000得x25y25设购进甲型号x 台，丙型号z 台. x+z=501500 x+2500z=90000得x35z15设购进乙型号y 台，丙型号z 台. y+z=502100y+2500z=90000得y=87.5z=37.5商场进货方案有两种：购进甲型号25 台，乙型号25 台；或购进甲型号35 台，丙型号15 台. (2)当购进甲型号25 台，乙型号25 台时，可获利3750+5000=8750（元）当购进甲型号35 台，丙型号15 台时，可获利5250+3750=9000（元）选购甲型号35 台、丙型号15 台时获利最多. (3)设购进甲、乙、丙型号电视机分别为x 台，
14、y 台， z 台. 有xyz501500 x2100y2500z90000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载由此得： x=35-25y x， y，z 是正整数，可得： y=5 时， x=33，z=12； y=10 时， x=31，z=9；y=15 时， x=29 ，z=6； y=20 时， x=27，z=3. 答：略 . 例 15. 某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数（千克）不超过 20 千克20 千克以上但不超过 40 千克40 千克以上每千克价格6 元5 元4 元张强两次共购买香蕉50 千
15、克（第二次多于第一次），共付款 264 元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？解：设张强第一次购买香蕉x 千克，第二次购买香蕉y 千克 . 由题意得 0 x25，25y50 当 0 x10，40y50 时，264y4x650yx解得18y32x不符合x、y 的取值范围，不合题意舍去. 当 10 x20，30y40 时，264y5x650yx解得36y14x 当 20 x25 时， 25y30 时，264y5x550yx化简得8 .52yx50yx此方程组无解综合可知，张强第一次购买香蕉14 千克，第二次购买香蕉36 千克 . 例 16. 某玩具工厂广告称：“本厂工人工作时间：每天工作
16、8 小时，每月工作25 天；待遇：熟练工人按计件付工资，多劳多得，计件工资不少于800 元，每月另加福利工资100 元，按月结算；”该厂只生产两种玩具：小狗和小汽车. 熟练工人晓云一月份领工资900 多元，她记录了如下表的一些数据：小狗件数 （单位：个）小汽车个数（单位：个）总时间（单位：分）总工资（单位：元）1 1 35 2.15 2 2 70 4.30 3 2 85 5.05 一月份做小狗和小汽车的数目没有限制，从二月分开始，厂方从销售方面考虑逐月调整为：k 月份每个工人每月生产小狗的个数是生产小汽车的个数的k 倍 （k2,3,4, , 12） ， 假设晓云的工作效率不变，且服从工厂的安排
17、，请运用所学数学知识说明厂家广告是否有欺诈行为？解：设制作一个小狗用时间t1分钟，可得工资x 元，制作一辆小汽车用时间t2分钟，可得工资y 元. 依题意得：1212tt353t2t85xy2.153x2y5.05解得12t15t20 x0.75y1.4以二月份为例：设二月份生产汽车玩具a 件，则生产小狗2a 件，此时可得工资：Maaa9 .2100100275. 04.1工人每月工作8 25 60 12000 分钟，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载20a15 2a12000 解得a240 件二月份可
18、领工资796 元，小于计件工资的最低额，所以说厂家的广告有欺诈行为. 本章二元一次方程组的基本概念和消元解法是基础知识，通过列、 解二元一次方程组分析解决实际问题是基本能力，它们对于解三元一次方程组以及今后进一步学习有重要作用. 教学中应注意打好基础，切实让学生掌握基本方法， 力求能够较灵活地运用，逐步培养提高学生的基本能力. 由于教材多以分析解决实际问题为线索展开，将基础知识寓于分析解决问题的过程之中，所以教学中应注意对基础知识进行提炼、归纳、整理，通过必要的练习途径来掌握基础知识和提高基本能力. 附应用题练习：1. 今年 5 月 12 日，四川汶川发生了里氏8.0 级大地震，给当地人民造成
19、了巨大的损失“一方有难，八方支援” ，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3 个班学生的捐款金额如下表：班级（1）班（2）班（3）班金额（元）2000 吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面的两条信息：信息一：这三个班的捐款总金额是7700 元；信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300 元；请根据以上信息，求出（2）班与（ 3）班的捐款金额各是多少元. （答案：（2）班的捐款金额为3000 元， （3）班的捐款金额为2700 元 ）2. 四川 5.12 大地震后，灾区急需帐篷某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000 顶，其中甲种
20、帐篷每顶安置6 人，乙种帐篷每顶安置4 人，共安置9000 人，设该企业捐助甲种帐篷x顶、乙种帐篷y顶，那么下面列出的方程组中正确的是（D ）A4200049000 xyxyB4200069000 xyxyC2000469000 xyxyD2000649000 xyxy3. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140 吨，准备加工上市销售该公司的加工能力是：每天可以精加工6 吨或粗加工 16 吨现计划用15 天完成加工任务，该公司应按排几天精加工，几天粗加工？设安排x天精加工，y天粗加工为解决这个问题，所列方程组正确的是（D）14016615xyxy14061615xyxy15166140 xyxy156
21、16140 xyxy4. 班共有学生49 人. 一天， 该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半. 若设该班男生人数为x，女生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y 的是（D ）Ax y= 49y=2(x+1)Bx+y= 49y=2(x+1)Cx y= 49y=2(x 1)Dx+y= 49y=2(x 1)5. 某校运动员分组训练，若每组7 人，余 3 人；若每组8 人，则缺5 人；设运动员人数为x 人，组数为y 组，则列方程组为（ C ）A. xyxy5837B. xyxy5837C. 5837xyxyD. 5837xyxy6. 团体购买公园门票票价如下：购票人数1 50 5
22、1100 100 人以上每人门票（元）13 元11 元9 元今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50 人，乙团人数不超过100 人. 若分别购票，两团共计应付门精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载票费 1392 元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080 元(1)请你判断乙团的人数是否也少于50 人(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？（答案： (1)乙团的人数不少于50 人，不超过100 人； (2)甲、乙两旅行团分别有36 人、 84 人.）7. 暑假期间，小明到父亲经营的小超市参加社会实
23、践活动. 一天小明随父亲从银行换回来58 张，共计200 元的零钞用于顾客付款时找零. 细心的小明清理了一下，发现其中面值为1 元的有 20 张，面值为10 元的有 7张，剩下的均为2 元和 5 元的钞票 . 你能否用所学的数学方法算出2 元和 5 元的钞票的各有多少张吗? 请写出演算过程. （答案：面值为2 元的有 16 张，设面值为2 元的有 15 张.）8. 初三（ 2）班的一个综合实践活动小组去A，B 两个超市调查去年和今年“ 五一节 ” 期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学交流的情况. 根据他们的对话， 请你分别求出A，B 两个超市今年 “ 五一节 ” 期间的销售额. （答案： A，B 两个超市今年“五一节”期间的销售额分别为115 万元， 55 万元 .）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页