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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二元一次方程及二元一次方程组二元一次方程一般形式：axbyc0其中 a 0,且 b 0. 例 1. 在以下方程中,哪些是二元一次方程,哪些不是,并说明为什么？a 52b1, 5y8y60 , 5x2y22x5y8,5y80,2xy 23xy 18 4pq1,x答：,是 . 例 2. 方程是二元一次方程,就的取值为（ C ）A. a 0B. a - 1 C. a 1D. a2 2二元一次方程组一般形式：a xb yc 1c 2（其中 a1,a2,b1,b2 不同时为零） .、中,是二元一a xb y例 3. 在方程组、次方程组的
2、有（ B ）C. 4 个D. 5 个A. 2 个B. 3 个例 4.九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作在它的“ 方程 ” 一章里,一次方程组是由算筹布置而成的九章算术中的算筹图是竖排的,为看图便利,我们把它改为横排,如图 1、图 2,图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x,y 的系数与相应的常数项把图 1 所示的算筹图用我们现在所熟识的方程组形式3 x 2 y 19,表述出来,就是 类似地,图 2 所示的算筹图我们可以表述为（A ）.x 4 y 23.2 x y 11, 2 x y 11,AB4 x 3 y 27. 4 x 3 y 22.C3 x 2 y 19,D2 x y
3、6,x 4 y 23. 4 x 3 y 27.图 1 图 2 3二元一次方程的解x a特点： 1二元一次方程的解是一对数值,即；y b2一个二元一次方程有很多多解,但非任意一对数值都适合 . x 2例 5. 是二元一次方程 ax- 2- by 的一个解,就 2a- b- 6 的值等于 . （- 4）y 1例 6. 如二元一次方程 有正整数解,就 的取值应为（A）A. 正奇数 B. 正偶数 C. 正奇数或正偶数 D. 0 例 7. 某球迷协会组织 72 名球迷拟租乘汽车赴竞赛场地,为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威 . 可租用的汽车有两种：一种每辆可乘 8 人,另一种每辆可乘 4 人,要
4、求租用的车子不留空座,也不超载 . 请你给出不同的租车方案（至少三种）；如 8 个座位的车子的租金是 300 元/天, 4 个座位的车子的租金是 200 元/天,请你设计出费用最少的租车方案,并说明理由 . 解：设租用乘 8 人的车为 x 辆,租用乘 4 人的车为 y 辆. 名师归纳总结 第 1 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载8x+4y=72 y=18- 2x 方案一：乘 8 人的车 1 辆,乘 4 人的车 16 辆；方案二：乘 8 人的车 2 辆,乘 4 人的车 14 辆；方案三：乘 8 人的车 3 辆,乘 4 人
5、的车 12 辆. 租车费用为：300x+200y=300x+20018 - 2x=300x+3600 - 400x=3600 - 100x 当 x=9 时,租车费用最少 =3600- 900=2700（元）4二元一次方程组的解例 8. 已知x2是关于 x, y 的二元一次方程组2x+ m-1 y2的解,试求（ m+n）2004 的值 . （原式 =1）y1nx+y1例 9. 已知x2是一个二元一次方程组的解,试写出一个符合条件的二元一次方程组. y35. 三元一次方程组二 消元1. 解一次方程组的基本思路消元,实施方法代入法,加减法 . 解二元一次方程组： “ 二元” “ 一元”,以求解 .
6、解三元一次方程组： “ 三元” “ 二元” “ 一元”,以求解 . 2. 明确解方程组的过程中各种变形的理论依据3. 对比代入法和加减法,引导同学依据方程的详细形式敏捷的选用适当的、比较简洁的解法4. 规范解方程组的书写格式,规律要清晰 . 5. 敏捷运用消元思想解决数学问题 . 例 10. 解以下方程组1xy35（选代入法）2 3x6y3（选加减法）第 2 页,共 7 页3x2y3x2y13 2x3y5（选加减法）4 130%y21x51（先化简成一般形式）3x4y1y14x9420573 x7y66（留意解题技巧）6 4x8xy840（留意解题技巧）4y9xy84018 x98y257 2
7、x3y2x2y10（换元）8 3x4yz14452y4x5y2z1732x3yx2x2yz345xyz11.（原式 =10）9 yzx5（留意解题技巧）zxy1例 11. 构造方程组,求代数式的值或未知数的值.1已知 6x- 5y=16 ,且 2x+3y=6 ,就 4x-8y 的值为2如2x3y52xy20 ,就 x, y. x1,y955名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3如x12是关于 x、y 的方程 axby学习必备欢迎下载a+b= - 3,就 5a2b . 1的一个解,且y（原式 = - 43）4如二元一次方程3x- y=7 ,2
8、x+3y=1 ,y=kx - 9 有公共解,就k 的取值为（ D）、b、c 的值A. 3 B. 3 C. 4 D. 4 5已知方程组2x3y9与3xy87同解,求 a、b的值 . （a2,b= - 1）axby12ax3by36解方程组时,一同学把看错而得,而正确的解是那么是（ B）A. 不能确定B. 4, 5, 2 C. a、b 不能确定, 2 D. 4, 7,2 7已知对于任意有理数a、b,关于 x、y 的方程abxaby5ab 有一组公共解 . 试求出这组公共解. （x2）y38如代数式ax2bxc 无论取什么值,它的值都为10,就 2a bc. （原式 = - 10）9已知关于、的二元
9、一次方程组的解满意二元一次方程,求的值 . 解：由题意得三元一次方程组化简得 得：2 3 得：由得：例 12. 敏捷运用消元思想解决数学问题 .1已知 x= - 3+t,y=3 - t,那么用 x 的代数式表示 y 为 . （ y= - x）2已知 是方程组 的解,就 a、b 间的关系是（D ）A. B. C. D.3已知 3a + b + 2c = 3 且 a + 3b + 2c = 1,求 2a + c 的值 . （原式 =2）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4已知a2ab1,4ab3 b22,求学习必备欢迎下
10、载5的值 . （原式 =0）a29ab6b2三 一次方程组的应用列方程组解应用题,关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的等量关系 . 一般来说,有几个未知量就必需列出几个方程,所列方程必需满意：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相等 . 例 13. 某中学新建了一栋 4 层的教学大楼, 每层楼有 8 间教室, 进出这栋大楼共有 4 道门, 其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同 . 安全检查中,对 4 道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时,2 分钟内可以通过 560 名同学；当时开启一道正门和一道侧门时,4 分钟内可以通过 800 名同学 . 1求平
11、均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名同学？2检查中发觉,紧急情形时因同学拥挤,出门的效率将降低20%,安全检查规定,在紧急情形下全大楼的同学应在5 分钟内通过这4 道门安全撤离 . 假设这栋教学大楼每间教室最多有45 名同学,问：建造的这4 道门是否符合安全规定？请说明理由. 解： 1 设平均每分钟一道正门可以通过x 名同学,一道侧门可以通过y 名同学 . 由题意,2x+2y=560解得x1204x+y=800y80答：平均每分钟一道正门可以通过同学120 名,一道侧门可以通过同学80 名. 2这栋楼最多有同学4 8 45=1440（名）拥挤时 5 分钟 4 道门能通过5 2 120+8
12、0 1 - 20%=1600（名）16001440, 建设的 4 道门符合安全规定 .例 14. 某商场方案拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为甲种每台 1500 元,乙种每台 2100 元,丙种每台 2500 元. 1如商场同时购进其中两种不同型号电视机共50 台,用去 9 万元,请你讨论一下商场的进货方案；2如商场销售一台甲种电视机可获利150 元,销售一台乙种电视机可获利200 元,销售一台丙种电视机可获利 250 元. 在同时购进两种不同型号电视机的方案中,为使销售时获利最多,你挑选哪种进货方案？3如商场预备用9 万元同时购进三种不
13、同型号的电视机50 台,请你设计进货方案. 解： 1分情形运算设购进甲型号x 台,乙型号y 台. 25 台；或购进甲型号35 台,丙型号15 台. x+y=50得x251500x+2100y=90000y25设购进甲型号x 台,丙型号z 台. x+z=50得x351500x+2500z=90000z15设购进乙型号y 台,丙型号z 台. y+z=50得y=87.52100y+2500z=90000z=37.5商场进货方案有两种：购进甲型号25 台,乙型号2当购进甲型号25 台,乙型号25 台时,可获利3750+5000=8750 （元）当购进甲型号35 台,丙型号15 台时,可获利5250+3
14、750=9000 （元）名师归纳总结 选购甲型号35 台、丙型号15 台时获利最多 . 第 4 页,共 7 页3设购进甲、乙、丙型号电视机分别为x 台, y 台, z 台. 有xyz502500z900001500x2100y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由此得： x=35-2 5y 学习必备欢迎下载x, y,z 是正整数,可得： y=5 时, x=33,z=12； y=10 时, x=31,z=9；y=15 时, x=29 ,z=6； y=20 时, x=27,z=3. 答：略 . 例 15. 某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数（千克）每
15、千克价格张强两次共购买香蕉不超过 20 千克20 千克以上但不40 千克以上超过 40 千克6 元5 元4 元50 千克（其次次多于第一次） ,共付款 264 元,请问张强第一次、其次次分别购买香蕉多少千克？解：设张强第一次购买香蕉x 千克,其次次购买香蕉y 千克 . 由题意得 0x25,25y50 当 0x10,40y50 时,xyy50解得x32. 6 x4264y18不符合 x、y 的取值范畴,不合题意舍去 当 10x20,30y40 时,xy50解得x146 x5 y264y36 当 20x25 时, 25y30 时,x y 50 x y 50化简得此方程组无解5 x 5 y 264
16、x y 52 8.综合可知,张强第一次购买香蕉 14 千克,其次次购买香蕉 36 千克 . 例 16. 某玩具工厂广告称：“ 本厂工人工作时间：每天工作 8 小时,每月工作 25 天；待遇：娴熟工人按计件付工资,多劳多得,计件工资不少于 800 元,每月另加福利工资 100 元,按月结算； ” 该厂只生产两种玩具：小狗和小汽车 . 娴熟工人晓云一月份领工资900 多元,她记录了如下表的一些数据：小狗件数 （单位：个）小汽车个数总时间（单位：分）总工资（单位：元）（单位：个）1 1 35 2.15 2 2 70 4.30 3 2 85 5.05 一月份做小狗和小汽车的数目没有限制,从二月分开头,
17、厂方从销售方面考虑逐月调整为：k 月份每个工人每月生产小狗的个数是生产小汽车的个数的k 倍（k2,3,4, , 12）,假设晓云的工作效率不变,且听从工厂的支配,请运用所学数学学问说明厂家广告是否有欺诈行为？解：设制作一个小狗用时间t1 分钟,可得工资x 元,制作一辆小汽车用时间t2 分钟,可得工资y 元. 依题意得：第 5 页,共 7 页t1t235xy2.153t12t2853x2y5.05解得t115x0.75t220y1.4以二月份为例：设二月份生产汽车玩具a 件,就生产小狗2a 件,此时可得工资：M 1 . 4 a.0 752 a1001002 9. a工人每月工作8 2560 12
18、000 分钟,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20a15 2a12000 解得 a240 件二月份可领工资 796 元,小于计件工资的最低额,所以说厂家的广告有欺诈行为 . 本章二元一次方程组的基本概念和消元解法是基础学问,本才能,它们对于解三元一次方程组以及今后进一步学习有重要作用通过列、 解二元一次方程组分析解决实际问题是基 . 教学中应留意打好基础,切实让同学把握基本方法, 力求能够较敏捷地运用,逐步培育提高同学的基本才能. 由于教材多以分析解决实际问题为线索绽开,将基础学问寓于分析解决问题的过程之中,所以教学中
19、应留意对基础学问进行提炼、归纳、整理,通过必要的练习途径来把握基础学问和提高基本才能 . 附应用题练习：1. 今年 5 月 12 日,四川汶川发生了里氏8.0 级大地震,给当地人民造成了庞大的缺失“ 一方有难,八方支援”,我市锦华中学全体师生积极捐款,其中九年级的3 个班同学的捐款金额如下表：班级（1）班（ 2）班（3）班金额（元）2000 吴老师统计时不当心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上,但他知道下面的两条信息：信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元；信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多 300 元；请依据以上信息,求出（2）班与（ 3）班的捐款金额各是多少元 . （
20、答案：（2）班的捐款金额为 3000 元,（3）班的捐款金额为 2700 元）2. 四川 5.12 大地震后,灾区急需帐篷某企业急灾区所急,预备捐助甲、乙两种型号的帐篷共 2000 顶,其中甲种帐篷每顶安置 6 人,乙种帐篷每顶安置 4 人,共安置 9000 人,设该企业捐助甲种帐篷 x 顶、乙种帐篷 y 顶,那么下面列出的方程组中正确选项（D ）x 4 y 2000 x 4 y 2000A B4 x y 9000 6 x y 9000x y 2000 x y 2000CD4 x 6 y 9000 6 x 4 y 90003. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜 140 吨,预备加工上市销售该公司的加工
21、才能是：每天可以精加工 6 吨或粗加工 16 吨现方案用 15 天完成加工任务,该公司应按排几天精加工,几天粗加工？设支配 x 天精加工, y 天粗加工为解决这个问题,所列方程组正确选项（D）x y 140 x y 14016 x 6 y 15 6 x 16 y 15x y 15 x y 1516 x 6 y 140 6 x 16 y 1404. 班共有同学 49 人. 一天, 该班某男生因事请假,当天的男生人数恰为女生人数的一半 . 如设该班男生人数为 x,女生人数为 y,就以下方程组中,能正确运算出 x、y 的是（D ）xy= 49 x+y= 49 xy= 49 x+y= 49Ay=2x+
22、1 By=2x+1 Cy=2x 1 Dy=2x 15. 某校运动员分组训练,如每组 7 人,余 3 人；如每组 8 人,就缺 5 人；设运动员人数为 x 人,组数为 y 组,就列方程组为（ C ）7 y x 3 7 y x 3 7 y x 3 7 y x 3A. B. C. D. 8 y 5 x 8 y 5 x 8 y x 5 8 y x 56. 团体购买公园门票票价如下：名师归纳总结 购票人数1 50 51100 100 人以上每人门票（元）13 元11 元9 元今有甲、乙两个旅行团,已知甲团人数少于50 人,乙团人数不超过100 人. 如分别购票,两团共计应对门第 6 页,共 7 页- -
23、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1080 元票费 1392 元,如合在一起作为一个团体购票,总计应对门票费1请你判定乙团的人数是否也少于50 人2求甲、乙两旅行团各有多少人？（答案： 1乙团的人数不少于 50 人,不超过 100 人； 2 甲、乙两旅行团分别有 36 人、 84 人.）7. 暑假期间,小明到父亲经营的小超市参与社会实践活动 . 一天小明随父亲从银行换回来 58 张,共计 200 元的零钞用于顾客付款时找零 . 细心的小明清理了一下,发觉其中面值为 1 元的有 20 张,面值为 10 元的有 7 张,剩下的均为 2 元和 5 元的钞票 . 你能否用所学的数学方法算出 2 元和 5 元的钞票的各有多少张吗 . 请写出演算过程 . （答案：面值为 2 元的有 16 张,设面值为 2 元的有 15 张.）8. 初三（ 2）班的一个综合实践活动小组去 A ,B 两个超市调查去年和今年“五一节 ”期间的销售情形,下图是调查后小敏与其他两位同学沟通的情形 . 依据他们的对话, 请你分别求出 A,B 两个超市今年 “ 五一节 ” 期间的销售额. （答案： A ,B 两个超市今年“ 五一节”期间的销售额分别为115 万元, 55 万元 .）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页