《【3年高考2年模拟】课标版理科数学一轮第二节 不等式的证明.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【3年高考2年模拟】课标版理科数学一轮第二节 不等式的证明.pptx（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、理数 课标版,第二节不等式的证明,1.比较法 (1)作差法(a、bR):a-b0ab;a-b0,b0):1ab;1ab;=1a=b. 2.综合法与分析法 (1)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.,教材研读,(2)分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的 充分条件,直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、 公理、定理等).这是一种执果索因的思考和证明方法.,3.反证法 先假设要证明的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条
2、件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.,4.放缩法 证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小, 以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法.,1.设a,b为不等的正数,且M=(a4+b4)(a2+b2),N=(a3+b3)2则有() A.M=NB.MND.MN,答案CM-N=(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a6+b6+a4b2+b4a2-(a6+b6+2a3b3)=a4b2+b4a2-2a3b3=a2b2(a-b)2, 因为a,b为不等的正
3、数,所以a2b2(a-b)20,所以MN.,2.若a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为() A.abcB.acb C.bcaD.cab 答案A“分子”有理化得a=,b=,c=, abc.,3.若02,a2+b22ab,故只需比较a+b与a2+b2的大小即 可. (a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1), 0a1,0b1,a(a-1)+b(b-1)0, a2+b2a+b.故选A.,4.设a,b,c均为正数,求证:+. 证明a,b,c均为正实数, ,当且仅当a=b时取等号, ,当且仅当b=c时取等号, ,当且仅当a=c时取等号, 三个不等式两边相加得 +, 当且仅当a=b
4、=c时等号成立.,考点一比较法证明不等式 典例1(2016安徽江南十校3月联考)已知函数f(x)=|x|-|2x-1|,记f(x)-1的解集为M. (1)求M; (2)已知aM,比较a2-a+1与的大小. 解析(1)f(x)=|x|-|2x-1|= 由f(x)-1,得或或,考点突破,解得00,所以a2-a+1, 综上所述:当0.,方法技巧 作差比较法证明不等式的步骤:(1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负. 注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且第(3)
5、步要判断商与1的大小.,1-1已知a,b(0,+),证明:aabb(ab. 证明a,b(0,+),=, 当a=b时,=1.,当ab时,1,0,则1. 当ba时,01. 综上可知,aabb(ab成立.,考点二综合法与分析法证明不等式 典例2(2015课标,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若abcd,则+; (2)+是|a-b|cd,所以(+)2(+)2. 因此+. (2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd. 由(1)得+.,(ii)若+,则(+)2(+)2, 即a+b+2c+d+2. 因为a+b=c+d,所以
6、abcd.,于是(a-b)2=(a+b)2-4ab+是|a-b|c-d|的充要条件.,规律总结 1.利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的使用,常用的不等式有:(1)a20;(2)|a|0;(3)a2+b22ab,它的变形形式有(a+b)24ab, 等;(4)(a0,b0),它的变形形式有a+2(a0), +2(ab0),+-2(ab0)等.,2.分析法证明不等式的注意事项:用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析法的过程仅需要寻求充分条件即可,而不是充要条件,也就是说,分析法的思维是逆向思维,因此在证题时,应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.,2-1设
7、x1,y1,证明:x+y+xy. 证明由于x1,y1, 要证x+y+xy, 只需证xy(x+y)+1y+x+(xy)2. 因为y+x+(xy)2-xy(x+y)+1,=(xy)2-1-xy(x+y)-(x+y) =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1), 由条件x1,y1,得(xy-1)(x-1)(y-1)0,从而所要证明的不等式成立.,考点三放缩法证明不等式 典例3求证:-k2k(k-1)(kN*且k2), ,即-. 分别令k=2,3,n得 -1-, -, -,将这些不等式相加得,-+-+-+1-+-+-,即-,+1-, 1+-1+1+1-, 即-1+2-(nN*且n2)成立.,方法技巧 (1)利用放缩法证明不等式,要根据不等式两边的特点进行恰当放缩,任何不适宜的放缩都会导致推证的失败. (2)利用放缩法证明不等式就是采取舍掉式中一些正项或负项,或者在分式中放大或缩小分子、分母,或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数,从而达到证明不等式的目的.,3-1(2016辽宁大连模拟)已知a0,b0,c0,a+bc. 求证:+. 证明a0,b0, ,.,+. 又函数f(x)=1-在(0,+)上递增,且a+bc, f(a+b)f(c), 则, 所以+, 故原不等式成立.,