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1、5.二次型及其标准型二次型及其标准型l 在解析几何中，为了便于研究二次曲线l l的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：l l把方程化为标准形 (1)(1)的左边是一个二次齐次多项式的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。一、二次型概念一、二次型概念 定义定义1：含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数其中其中二次型的矩阵形式二次型的矩阵形式其中其中1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT;2
2、）A=(aij),若 aij 为复数，称 f 为复二次型；3)A=(aij),若 aij 为实数，称 f 为实二次型；4）称为R(A)为二次型 f 的秩。例例 1.把下面的二次型写成矩阵形式；把下面的二次型写成矩阵形式；二、二次型的标准形二、二次型的标准形定义定义9.称只含有平方项的二次型为二次型的标准型（或法式）。所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换：定理定理9 任给可逆矩阵 C，令 B=C TAC，若 A 为对称矩阵，则 B 亦为对称矩阵，且 R(B)=R(A)。证证：A为对称矩阵，即有 A T=A，于是，B T=(C TAC)T=C TAT(C T)T=C TAC=B.故
3、 B 为对称矩阵.再证 R(B)=R(A).因 B=C TAC,故 R(B)R(AC)R(A).又因 A=(C T)-1BC-1,故 R(A)R(BC-1)R(B)于是 R(B)=R(A).这定理说明：经可逆变换 x=C y,把 f 化成 yTC TACy，C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f =x TAx 也就是要使 C TAC 成为对角阵，即，C TAC=，因此，我们主要的问题就是：对于对称矩阵 A，寻求可逆矩阵 C，使 C TAC=.由上节定理 8 知,任给实对称矩阵A，总有正交矩阵 P,使PTAP=.把此结论用于二次型，即有：定理定理10.任意 二次型