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1、第七章 有限冲激响应数字滤波器的设计（ Design of FIR Filters）7.1 数字滤波器设计概述7.1.1 滤波原理 滤波器，顾名思义，就是对输入信号起到滤波的作用的系统。滤波器图7.1 线性移不变系统这里的“波”指的是一定波长或频率的信号，因此，所谓滤波，通常是指通过某种变换或运算，用以改变输入信号中所含频率分量的相对比例，以达到将某些频率成分的信号滤除而保留下另一些频率成分的信号的目的。若滤波器的输入、输出都是离散的，则系统（滤波器）的冲激响应也是离散的，这样的滤波器器就称之为数字滤波器（digital filter）。一个输入序列x(n)，通过一个单位冲激响应为h(n)的线
2、性时不变系统后，其输出响应y(n)为 （7.1）将上式两边经过傅里叶变换，可得 （7.2）式中，Y(j)、X(j)分别为输出序列和输入序列的频谱函数，H(j)是系统的频率响应函数。 可以看出，输入序列的频谱X(j)经过滤波后，变为X(j)H(j)。如果|H(j)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(j)，使得滤波后的X(j)H(j)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。如图7.2所示，具有图7.2(a)的频率成分的信号通过具有图7.2(b)的幅频响应的系统（滤波器）后，输出信号就只有的
3、频率成分，而不再含有的频率成分。0c2|X(j)|H(j)|0c20c2|Y(j)|（a）输入信号频谱 （b）系统（滤波器）的幅频响应 （c）输出信号的频谱图7.2 滤波器滤波示意图数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此， 数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。数字滤波器通常采用有限精度算法，它可以按照某种算法编写软件，在计算机或专用数字信号处理（DSP）芯片上实现，也可以按照算法选用硬件实现。数字滤波器是数字信号处理的重要基础，在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。 与模拟滤波
4、器相比，数字滤波器具有精度高、稳定性好、灵活性大、体积小且没有苛刻的匹配要求等优点。 随着计算机、超大规模集成电路技术的发展，数字滤波器的应用愈加广泛。7.1.2 滤波器的分类与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性也有四种，即低通（Low Pass）、高通（High Pass）、带通（Band Pass）和带阻（Band stop）滤波器，滤波器的性能指标通常也习惯在频域给出。常用数字滤波器的幅度特性示意图如图7.3所示。与模拟滤波器不同的是，由于序列的傅里叶变换具有以2为周期的周期性，因此，数字滤波器的频率响应也有这种周期性。 低通滤波器的通带处于0或2的整数倍频率附近，高通滤波器的通带则处
5、于的奇数倍频率附近。 满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于|的范围。因此，我们只需画出2范围内的频谱即可。由图7.3可知，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在c范围内所有分量全部滤掉。相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在c范围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于c的低频分量。带通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量。|H(j)|H(j)|)|()图7.3 各种数字滤波器的幅度特性7.1.3滤波器的技术指标1、理想滤波器的不可实现性图7.3所示的理想滤波器的幅度特性是理想的。它有理想、陡截止的通带和无穷大衰减的阻带两个范围（即从通带到阻带是突变的），这
6、在物理上是无法实现的，因为它们的单位冲激响应均是非因果和无限长的（例如，理想截止频率为c的低通滤波器的单位冲激响应为）。为了在物理上能够实现，在实际中，我们设计的滤波器只能是在某些准则下对理想滤波器的逼近。这保证了滤波器是物理上可实现的（或者说是因果的）、稳定的。2、实际设计的考虑-因果逼近理想滤波器不可实现的原因是它从一个频带（通带Passband或阻带Stopband）到另一个频带（阻带或通带）是突变的。为了在物理上可以实现，可以从一个频带到另一个频带之间设立一个过渡带，且通带和阻带也不是严格的1或0，而是有一定的波动，这种波动应该满足一定的容限。也就是说，实际设计的滤波器，是用一种因果可
7、实现的滤波器去对理想滤波器的逼近，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征，也就是说，这种逼近应满足给定的误差容限。一个实际滤波器的幅度特性在通带中允许有一定的波动，阻带衰减则应大于给定的衰减要求，且在通带与阻带之间允许有一定宽度的过渡带(Transition band)，过渡带宽也要满足一定的要求。 图7.4示出了一个实际低通滤波器的幅度特性，特性曲线中有通带、过渡带和阻带三个区间。通带范围是0p，在通带内，幅度特性以误差1逼近于1，即 （7.3）p称为通带截止频率。阻带范围是s，s则称为阻带截止频率。在阻带内，幅度特性以最大误差2逼近于零，即 （7.4）在通带与阻带之间的区
8、域：p0处只有零点。FIR主要有5种基本结构：直接型结构、级联型结构、频率抽样型结构、卷积型结构及线性相位结构。7.2.3.1 直接型结构 设FIR数字滤波器的单位冲激响应h(n)的长度为N，其传递函数和差分方程分别为: 根据上面两式可直接画出如图7.6所示的FIR滤波器的直接型结构。由式可见，该结构利用输入信号x(n)和滤波器单位冲激响应h(n)的线性卷积来描述输出信号y(n)，所以FIR滤波器的直接型结构又称为卷积型结构，有时也称为横截型结构。图 7.6 FIR的直接型结构由图可见，这种结构所需的乘法次数为N次，加法次数为N-1次，需要的系数存储器个数及移位寄存器数目均为N个。7.2.3.
9、2 级联型结构 当需要控制系统传输零点时，将传递函数H(z)分解成二阶实系数因子的形式： (7.14) 式中，。 表示取整运算。 由式（7.16）可见，有N-1个零点。若N为奇数，则有偶数个零点，此时，系统结构如图7.7所示。若N为偶数，则有奇数个零点，上式中必有一个，也就是说有一个二阶系统退化为一个一阶系统。图 7.7 FIR的级联型结构 这种结构的每一节控制一对零点，当需要控制系统的传输零点时，可采用这种结构，但这种结构需要的系数约为个，比直接型结构多约50%，所需乘法次数也多约50%。7.2.3.3 频率抽样型结构一、基本结构 由频域抽样定理可知，对有限长序列h(n)的Z变换H(z)在单
10、位圆上做N点的等间隔采样，N个频率采样值的离散傅里叶逆变换所对应的时域信号是原序列h(n)以N为周期进行周期延拓的结果，当N大于等于原序列h(n)长度M时，不会发生信号失真，此时H(z)可以用频域抽样序列H(k)内插得到。内插公式如下： （7.15）式中： ，k=0, 1, 2, , N-1 式(7.15)为实现FIR系统提供了另一种结构。H(z)也可以重写为 （7.16）式中： 可见，这种结构由梳状滤波器和N个并联的谐振器级联形成。1、梳状滤波器部分显然，的第一部分是一个由N阶延时单元组成的梳状滤波器，其结构及幅频特性如图7.8所示。图 7.8 梳状滤波器结构及其幅频特性它在单位圆上有N个等
11、间隔的零点：，i=0, 1，2, , N-1其频率响应为因此，幅频响应为相频响应为， ， 表示取整运算2、谐振器部分第二部分是由N个一阶网络组成的并联结构，每个一阶网络在单位圆上有一个极点：这等效为一个无损耗的谐振器，谐振频率为：因此，H(z)的第二部分是一个有N个极点的谐振网络。这些极点正好与第一部分梳状滤波器的N个零点相抵消，从而使H(z)在这些谐振频率上的响应等于H(k)。把这两部分级联起来就可以构成FIR滤波器的频率抽样型结构，如图7.9所示。 图 7.9 FIR滤波器的频率抽样型结构3、FIR滤波器的频率采样型结构的主要特点（1）优点首先，它的系数H(k)直接就是滤波器在处的响应值，
12、因此可以直接控制滤波器的响应，只要调整该系数，就可以直接有效地调整频率特性。此外，对于具有不同频率特性的系统，只要单位冲激响应的长度N相同，其梳状滤波器部分以及N个一阶并联网络部分完全相同，不同的仅是各支路的增益H(k)不同，因此频率采样型结构便于标准化、模块化。（2）缺点首先，该滤波器所有的系数H(k)和一般为复数，要求使用复数乘法器，硬件实现困难。其次，系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的，如果滤波器的系数稍有误差，极点就可能移到单位圆外，造成零极点不能完全对消，影响系统的稳定性。因为极点在单位圆上，当系数量化时，这些极点会变化，可能落在单位圆外；而零点位置由延时单元决定，就在
13、单位圆上，不受量化影响；因此，零极点不能完全对消。 为了克服上述缺点，对频率采样结构作修正。 二、修正结构1、稳定性为了克服系数量化后可能造成系统不稳定的缺点，可以将抽样点选择在单位圆内的圆上，其半径为。此时H(z)为 （7.17）式中，是在半径为的圆上对的N点等间隔采样之值。由于一般已知的是或其抽样，而并不知道，为此，可取r1， 此时，可认为。 因此 （7.18）2、系数的实数化 由式（7.18）可见，系数仍然是复数，实现起来麻烦，为解决此问题，可利用对称性将一些项合并。根据DFT的共轭对称性，如果h(n)是实序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即。又因为，为了得到实系数，
14、我们将和合并为一个二阶网络， 记为 （7.19）式中: 该二阶网络是一个谐振频率为的有限Q值的谐振器，其结构如图7.10所示。图7.10 二阶谐振器 除了共轭复根外，还有实根。当N为偶数时（如图所示），有一对实根z=r， 因此，除二阶网络外尚有两个对应的一阶网络:这时的如式(7.20)，其结构如图7.11所示。图中, z=1, 2, , N/2-1 的结构如图7.10 所示。 （7.20）图7.11 频率采样修正结构当N为奇数时（如图所示），只有一个实根z=r，对应于一个一阶网络。这时的为 （7.21）显然，N等于奇数时的频率采样修正结构由一个一阶网络结构和(N-1)/2个二阶网络结构组成。
15、一般来说，当采样点数N较大时，频率采样结构比较复杂，所需的乘法器和延时器比较多。但在以下两种情况下，使用频率采样结构比较经济。 （1）对于窄带滤波器，其多数采样值H(k)为零，谐振器柜中只剩下几个所需要的谐振器。这时采用频率采样结构比直接型结构所用的乘法器少，当然存储器还是要比直接型用得多一些。 （2）在需要同时使用很多并列的滤波器的情况下，这些并列的滤波器可以采用频率采样结构，并且可以共用梳状滤波器和谐振柜，只要将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各个并列的滤波器。7.2.3.4 快速卷积型结构根据循环卷积和线性卷积的关系可知，两个长度分别为和的序列的线性卷积，可以用这两个序列的L（）点的循
16、环卷积来实现。 由FIR滤波器的直接型结构：滤波器的输出信号是输入信号和滤波器单位冲激响应的线性卷积。所以，对有限长序列x(n), 我们可以通过补零的方法延长和序列，然后计算它们的循环卷积，从而得到FIR系统的输出。实际上，循环卷积通常不在时域上实现，而是利用循环卷积定理，采用DFT或FFT实现有限长序列x(n)和h(n)的线性卷积，如图7.12所示。图中。若采用FFT来实现，L还需满足一定条件，如基2FFT则需，M是整数。显然，由于采用FFT的方法来实现卷积，因此当和足够长时，处理速度将大大提高，因此，称为快速卷积结构。对x(n)为无限长的一般情况，可用重叠相加法或重叠保留法实现FIR滤波器
17、的快速卷积结构。图 7.12 FIR的快速卷积型结构具体过程如下：1、将和补零变成长为L的序列，2、将和分别做L点DFT（或FFT）得3、将和相乘得4、 对做L点IDFT（或IFFT）得7.2.3.5 线性相位FIR滤波器结构FIR结构可设计线性相位的数字滤波器，这种滤波器在数据传输、图像处理等系统中是重要的，对于这种形式的滤波器，由于对滤波器系数有特殊要求，因此结构上也有所不同。详见下节。7.3线性相位FIR数字滤波器的条件、特点及结构一、 常用FIR滤波器的特点及线性相位条件的引出在讨论线性相位FIR数字滤波器的条件之前，我们先讨论几种常用FIR滤波器的特点。这些滤波器既包括了一般意义下的
18、高通、低通、带通等数字滤波器，也包括希尔波特（Hilbert）变换器和微分器。 1、低通滤波器的时域特性理想低通滤波器的幅度特性如图7.13所示图7.13 理想低通滤波器的幅度特性不妨假设相位特性是，则，理想滤波器的频率特性是 （7.22）可求得其单位冲激响应为 （7.23）如图7.14所示。图7.14 理想低通滤波器的单位冲激响应（）显然，理想低通滤波器的冲激响应为，是偶对称的，无限长的。同样，理想高通、带通等一般滤波器的冲激响应也是偶对称的。将延迟后，以为中心对称截取N点而得h(n)。则满足关系式h(n)=h(N-1-n)，既是h(n)关于对称中心是偶对称的。（为什么要位移（N-1）/2
19、？请思考。因为FIR的单位冲激响应是有限长的，假设是N点，则FIR系数的一种选取方法是从h（n）中选取N点。而h（n）的较大值一般在n=0附近，故应在n=0附近截取N点。为保证对称性及因果性，则要位移（N-1）/2点）位移后，滤波器的的频率相应近似为 （7.24）可见，其相位特性是线性的。同理，可以证明具有线性相位特性的理想高通、理想带通滤波器的时域相应也满足：h(n)=h(N-1-n)。2、希尔波特变换器的时域特性理想希尔波特变换器的频率特性为： (7.25)其幅频特性及相频特性如图7.15所示|H(j)|1- -/2 (j)/2- （a）幅频特性 （b）相频特性图7.15 希尔伯特变换器的
20、频率特性其冲激响应为 (7.26)显然它是奇对称的。将其右移后，频率特性为 （7.27）相应的冲激响应为 (7.28)以为中心，对称截取N点得 (7.29)满足关系式，即是奇对称的。相应的频率特性如式（7.27）所示，可见，其相频特性为 （7.30）显然是线性的。3、理想微分器理想微分器的频率特性如图7.16所示，-|H(j)|- 0 (j)/2- （a）幅频特性 （b）相频特性图7.16 理想微分器的频率特性理想微分器的冲激响应位移为后的频率特性为 (7.31)其相位特性是线性的： （7.32）冲激响应为 (7.33)显然它是奇对称序列。以为中心，将其对称截取N点得 (7.34)满足关系式，
21、既是奇对称。由上分析可见，对一般意义下的具有线性相位的滤波器，它们的单位冲激相应满足： （7.35）或 （7.36）但是这是在几种特殊情况下导出的结论。下面，我们证明这个结论对于任何线性相位FIR滤波器都是成立的，或者说，若FIR滤波器满足式（7.35）或（7.36），则FIR滤波器的相频特性一定是线性的。即式（7.35）或（7.36）称为FIR滤波器的线性相位条件。三、线性相位条件的证明及线性相位特点根据N的奇偶性及h(n)的对称性，我们分4种情况讨论。第一种情况：当其冲激响应h(n)为偶对称，即，且N为奇数时此时，其频率响应为上式等号后面第三项用n=N-1-m作变量代换得根据式（7.35）
22、的对称条件得令代入上式，得令，其中n=1,2,（N-1）/2，代入上式得 (7.37)式中 (7.38)称为幅度标量函数 (7.39)称为相位函数，显然，它是频率的线性函数。由于式中cos(n)项对=0, 2皆为偶对称，因此幅度函数H()对于=0, ，2也呈偶对称。第二种情况：h(n)偶对称，且长度N为偶数时其频率响应为令n=N-1-m,代入上式右侧第二项得根据（7.26）的偶对称条件得令，代入上式得再令，其中n=1,2,N/2，则 (7.40)其中幅度标量函数为 (7.41)相位函数为 (7.42)由式（7.42）可见，第二钟情况下，滤波器也具有线性相位特性。由式（7.41）可知，当=时，因
23、此H()=0，即H(z)在z= -1 处必然有一个零点。如果数字滤波器在=处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。所以设计高通滤波器时，N不能取偶数。由于余弦项对=呈奇对称，因此H()关于=呈奇对称。由于对=0, 2为偶对称，故H()对于=0, 2也呈偶对称。第三种情况：h(n)为奇对称，且N为奇数此时，频率响应为根据式（7.27）的奇对称条件得仿照第一种情况的推导过程得 （7.43）其幅度标量函数为 （7.44）其中： （7.45）其相应函数为 （7.46）由于sin(n)在=0, , 2处都为零，并对这些点呈奇对称，因此幅度函数H()在=0, , 2处为零，即H
24、(z)在z=1上都有零点，且H()对于=0, , 2也呈奇对称。因此，如果数字滤波器在=0, , 2处不为零，例如低通滤波器、 高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计， 除非不考虑这些频率点上的值。其相位函数是的“准线性”函数，因它包含了相位的固定值 ，这种情况适于做希尔伯特变换器和微分器。第四种情况：h(n)奇对称，N为偶数仿照第二种情况的推导，得其频率响应为幅度标量函数为 （7.47）其中 （7.48）相位函数 （7.49）与第三种情况相同，可以看出相位函数也包含有常数项。这种情况最适于设计微分器和希尔伯特变换器。H()在=0, 2处为零，即H(z)在z=1处有一个零点，因此
25、，如果数字滤波器在=0, 2处不为零，例如低通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。由于对=0, 2呈奇对称，对于=呈偶对称，因此，H()对=0, 2呈奇对称，H()对于=也呈偶对称。以上四种情况的示于图7.17中。由上述讨论可知，上述四种FIR滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。它们的幅度标量特性取决于h(n)，故在设计这类滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只考虑幅度的逼近即可。第一，二种情况的滤波器可以做一般意义下的FIR滤波器而第三，四种情况的滤波器不适于做一般的滤波器，适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络。从式（7.29）和（7.34）可以
26、看出，h(n)不但均为奇对称（对于点），而且在的主瓣区内（时域）的h(n)为负值，其对应的c(n)，d(n)也为负值。如果对取绝对值，便得幅频特性，即，与相比，至少在的范围内差一负号，致使相位特性变为图7.17 四种线性相位滤波器 四、零点位置最后讨论冲激响应对称时FIR滤波器的零、极点分布问题。对式（7.35）和（7.36）两边进行Z变换，分别得 (7.50) (7.51) 由上两式可知，若是零点，则也是零点。因为h(n)一般是实序列。所以当零点为复数时，一定成共轭对出现，即 和。因此，零点分布的可能情况有三种： （1）第一种情况：零点既不在实轴上，又不在单位圆上，则必有两对零点，如图7.1
27、8(a)所示。 （2）第二种情况：零点在单位圆上或实轴上。若在单位圆上，因所以只形成一对零点；若在实轴上，因，所以也只形成一对零点，如图7.18(b),(c)所示。（3）第三种情况：零点既在单位圆上，又在实轴上，则零点成单个出现，即只有z=1或z=-1为零点，如图7.18（d）（e）所示。 当N为偶数时，有N-1奇数个零点，其中必有一个为z=1或z=-1。当N为奇数时，则有N-1偶数个零点。另外，从式（7.36）和（7.37）可以看出，在z=0处有N-1重极点。由幅度响应的讨论可知，第二种类型的线性相位滤波器由于H()=0， 因此必然有单根z=-1。第四种类型的线性相位滤波器由于H(0)=0,
28、 因此必然有单根z=1。而第三种类型的线性相位滤波器由于H(0)=H(）=0， 因此这两种单根z=1 都必须有。 了解了线性相位FIR滤波器的特点，便可根据实际需要选择合适类型的FIR滤波器，同时设计时需遵循有关的约束条件。下面讨论线性相位FIR滤波器的设计方法时，都要用到这些特点。 图7.18 线性相位FIR滤波器的零点位置五、线性相位FIR滤波器的结构FIR滤波器的线性相位特性是非常重要的。线性相位FIR数字滤波器的冲激响应h(n)具有对称性。当h(n)为偶对称，即h(n)=h(N-1-n)时，N为偶数和奇数时的直接型网络结构如图7.19(a)(b)所示。 根据转置定理，图7.19(b)的
29、转置型结构如图7.20所示。同理也可画出h(n)奇对称时滤波器的直接型结构及其转置型结构。Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1 （a）N为偶数 （b）N为奇数 图7.19 h(n)偶对称线性相位FIR滤波器直接型结构 图7.20 图7.19（b）的转置型结构根据对称冲激响应FIR滤波器零点分布的特点，可以将系统函数H(z)进行因式分解，分解后的因式通常包括一，二阶和四阶因子，这些因子都是具有对称系数的多项式即每个因子都为线型相位网络结构而成，如图7.21所示。对应于z=1或z=-1零点的一阶因子的形式为，所以一阶网络不需乘法（省
30、去一次乘法）。对应于单位圆或实轴上零点的二阶因子形式为 ，所以二阶网络只需一次乘法（也省去一次乘法）。对应于不在单位圆或实轴上而成对出现的零点的四阶因子的形式为 所以其四阶网络只需两次乘法（省去两次乘法）。由上述可见，这种滤波器用级联型结构实现较直接型省乘法运算次数。Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1 图7.21 线性相位FIR滤波器级联结构 7.3窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器一、设计方法设计FIR数字滤波器最简单的方法是窗函数法。这种方法一般是先给定所要求的理想滤波器的频率响应，要求设计一个FIR滤波器，也就是寻找一有限长h(n)，使所得的去逼近理想的频率响应，使设计的滤波器满足给定的滤波器设计指标（阻带衰减、带内波动和过渡带宽）。然而，窗函数法设计FIR数字滤波器是在时域进行的，因此，必须首先由理想频率响应的傅里叶反变换推导出对应的单位冲激响应 (7.52)（若具有简单的特性，可以用解析法求解式（7.43）的积分；否则可先将抽样，由于无限长，为减少混叠失真，抽样点数应足够多，然后用快速傅立叶变换法求出的数值解。）由于许