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1、第七章 FIR滤波器的设计IIR数字滤波器：数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计可以利用模拟滤波器设计但相位非线性但相位非线性FIR数字滤波器：数字滤波器：可以严格线性相位，又可任意幅度特性可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统因果稳定系统可用可用FFT计算计算但阶次比但阶次比IIR滤波器要高得多滤波器要高得多主要内容主要内容n线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点n窗函数设计法窗函数设计法n频率抽样设计法频率抽样设计法nIIR与与FIR比较比较7.1 引言引言一、一、FIR滤波器的主要特点：滤波器的主要特点：q 单位冲激响应只有有限多项单位冲激响应只有有限多项q 可以设计成线性
2、相位系统可以设计成线性相位系统q 只在原点处有极点，因此系统总是稳定的只在原点处有极点，因此系统总是稳定的q 便于便于DSPDSP实现（并可用立即数乘加指令编程，节实现（并可用立即数乘加指令编程，节约存储器）约存储器）二、二、FIR与与IIR相比较：相比较：q 首先在相频特性控制上可以做到线性相位，首先在相频特性控制上可以做到线性相位，IIR而不能做到这一点，这一点在通信等领域而不能做到这一点，这一点在通信等领域中要求却很重要；中要求却很重要；q 其次，其次，FIR不存在稳定性问题，其非递归结构不存在稳定性问题，其非递归结构不会产生极限环现象等有限精度问题；不会产生极限环现象等有限精度问题；q
3、 最后，最后，FIR还可以还可以FFT用来滤波。故用来滤波。故FIR应用应用越来越多。越来越多。三、线性相位设计的重要性三、线性相位设计的重要性1 1、系统的相移会造成信号波形的改变、系统的相移会造成信号波形的改变时间时间 t幅幅度度原始信号原始信号时间时间 t幅幅度度相移相移90o时间时间 t幅幅度度相移相移 180o2 2、系统非线性相移造成输出信号失真系统非线性相移造成输出信号失真f1 f2f时时延延f1 f2f时时延延f1 f2f()f1 f2f()系统相位特性决定了信号不同频率的时延系统相位特性决定了信号不同频率的时延3 3、忽略相位信息的后果、忽略相位信息的后果输入波形输入波形DF
4、T变换变换忽略相忽略相位信息位信息IDFT变换变换输出波形输出波形4 4、要求线性相位的例子、要求线性相位的例子n通通信信系系统统：调调制制解解调调器器、综综合合业业务务数数据据网网（ISDN）等。等。n希尔伯特变换器：希尔伯特变换器：要求输入输出信号正交。要求输入输出信号正交。n高高保保真真音音响响系系统统：音音乐乐的的相相位位失失真真必必须须减减到到最小，尽可能逼真地重现原来的声音。最小，尽可能逼真地重现原来的声音。n理想微分器：理想微分器：n线性相位要求：线性相位要求：5 5、线性相位的、线性相位的FIRFIR滤波器设计基础滤波器设计基础-系统的群延迟系统的群延迟7.2 线性相位线性相位
5、FIR滤波器特点滤波器特点 FIR滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：系统函数：系统函数：在在 z 平面有平面有N 1 个零点个零点在在 z=0 处是处是N 1 阶极点阶极点 一线性相位条件一线性相位条件如果如果FIR DFFIR DF的单位抽样响应的单位抽样响应h h（n n）为实数，）为实数，而且满足偶对称而且满足偶对称h h（n n）=h=h（N-1-nN-1-n），或满），或满足奇对称足奇对称h h（n n）=-h=-h（N-1-nN-1-n），其对称中心），其对称中心在在 处，可证明处，可证明filterfilter就具有就具有准确的线性相位。准确的线性相位。N N又分为偶数
6、和奇数两种情况，所以有又分为偶数和奇数两种情况，所以有4 4种种线性相位线性相位FIR DFFIR DF，如下所述。，如下所述。1、N为奇数的偶对称例如N=11，对称中心为n0123456789102、N为偶数时的偶对称例如N=10，对称中心为n01234567893、N为奇数时的奇对称例如，N=11，对称中心为n0123456789104、N为偶数时的奇对称例如，N=10，对称中心为4.5，n012 3456789有两类准确的线性相位，分别要求满足：有两类准确的线性相位，分别要求满足：其中其中、均为常数均为常数因此有：令上两式实部虚部相等，则有：若将前页的实部虚部相除：从而有：要使上式成立，
7、必须：对另一相位形式，必须有：二线性相位频率响应特点二线性相位频率响应特点命题：设命题：设FIRFIR单位冲激响应单位冲激响应h(n)h(n)为实序列，为实序列，且满足偶对称（或奇对数）条件：且满足偶对称（或奇对数）条件：则：则：证明：证明：1 1、偶对称时：、偶对称时：即：即：所以有所以有：则则 为线性相位。为线性相位。其物理意义：其物理意义：该该FIR有有(N-1)/2个个 采样周期的群时延。采样周期的群时延。02 2奇对称时奇对称时即即所以有：所以有：或或则则 为线性相位为线性相位 可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个90900 0相移，这
8、样就使得通过相移，这样就使得通过filterfilter的所有频率都相移的所有频率都相移90900 0，因此称它为因此称它为正交变换网络正交变换网络。（相移。（相移90900 0的信号与原信的信号与原信号为正交的）。号为正交的）。02 2奇对称时奇对称时即即所以有：所以有：或或则则 为线性相位为线性相位 可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个90900 0相移，这样就使得通过相移，这样就使得通过filterfilter的所有频率都相移的所有频率都相移90900 0，因此称它为因此称它为正交变换网络正交变换网络。（相移。（相移90900 0的信号与原
9、信的信号与原信号为正交的）。号为正交的）。0二幅度特点二幅度特点1、h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数对（对（1）式）式由于由于:得得:由于由于得得其中其中:由于由于 对对 是偶对称的。是偶对称的。因此，因此，对对 为偶对称。为偶对称。线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点其中，其中，2、h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数对（对（1）式与如上合并项，注意到由于）式与如上合并项，注意到由于N为偶数，为偶数，项即为项即为0，则，则由于由于 时，时，且对且对 呈奇对称。因此，呈奇对称。因此，对对 呈奇对称。呈奇对称。并有并有:3、h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数所以有：所以有
10、：为奇对称的，即：代入式代入式:其中其中,由于由于 在在 均为均为0 0并对这些点呈奇对称。并对这些点呈奇对称。其中：其中：对（对（2 2）式）式4、h(n)奇对称，奇对称，N为偶数为偶数线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点由于由于 在在 处为处为0 0。因此，因此，对对 呈奇对称。呈奇对称。线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点总结：总结：（1 1）第）第1 1，2 2种一般为低通特性；种一般为低通特性；第第3 3，4 4种一般为高通、带通特性。种一般为高通、带通特性。（2 2）当）当N N，h(n)h(n)均为偶（或奇）时，均为偶（或奇）时，H(w)H(w)为奇对称。
11、为奇对称。当当N N，h(n)h(n)为一奇一偶时，为一奇一偶时，H(w)H(w)为偶对称。为偶对称。四、系统函数四、系统函数H（Z）的零点分布情况）的零点分布情况 1、零点的分布原则、零点的分布原则所以，如果所以，如果 是零点，则是零点，则 也一也一定是定是H（Z）的零点，的零点，h（n）为实数时，）为实数时，H（Z）的零点必成共轭对出现，即的零点必成共轭对出现，即 也一定是也一定是H（Z）的零点，）的零点，也一定是也一定是H（Z）的零）的零点。点。2、零点的位置（1）既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对，10(2)不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的倒数就是它们本身，如
12、01（3）在实轴上，不在单位圆上，实数零点，没复共轭；只有倒数。例如，01（4）既在实轴上也在单位圆上。此时，只有一个零点，且有两种可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。N为偶数时的偶对称为其零点；N为偶数奇对称H（0）=0，有Z=1零点；N为奇数奇对称有零点Z=1，和Z=-1。7-3窗函数设计法一、设计方法1、设计思想先给定理想filter的频响，所要求设计一个FIR的filter的频响为，使逼近2、设计过程设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想filter的单位抽样响应，然后加时间窗对截断，以求得FIRfilter的单位抽样响应h(n)。例如，低通filter0是矩形的，则一定是无限长的
13、且是非因果的。二、窗函数对频响的影响1、理想LF的单位抽样响应理想低通filter的频响为100为群延时因为其相位，所以是偶对称，其对称中心为，这是因为时，即为其最大，故为其对称中心。又是无限长的非因果序列nn0.12、加矩形窗加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于通过窗口看，称为窗口函数。其他n值因h（n）是偶对称的。长度为N，所以其对称中心应为，所以h（n）可写作h（n）=n为其他值3、h（n）的频响h（n）的频响可通过傅式变换求得，为了便于与的频响相比较，利用卷积定理(1)对于矩形窗的频响其中，为幅度函数，为相位函数。（2）对于理想LF的频响其中，为幅度函数，为相位函数。（3
14、）h（n）的频响其中，为幅度函数，为相位函数。4、窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响:（1）时，也就在到全部面积的积分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）归一化）。00（2）时，正好与的一半相重叠。这时有。(3)时，的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。（4）时，主瓣全部在通带外，时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。出现负的肩峰。（5）当时，随增加，左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积也随着的旁瓣在通带内的面积变化而变化，故将围绕着零值而波动。(6)当时，的右边旁瓣将进入的通带，右边旁瓣的起伏造成值围绕值而波动。100.55、几点结论（1）加窗后，使频响产生一过
15、渡带，其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度（2）在处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。（3）吉布斯（Gibbs）效应因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能改变的绝对值的大小，和主瓣的宽度，旁瓣的宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%，不管N怎样改变，最大肩峰总是8.95%，这种现象称作吉布斯效应。三、各种窗函数1、基本概念（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2）对窗函数要求a）希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡
16、带，这是因为过渡带等于主瓣宽度。b）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。2、矩形窗时域表达式：频域表达式（频谱）：幅度函数：3、三角形（Bartlett）窗时域表达式：10 1 2 3 4 频谱：第一对零点为，即，所以主瓣宽度，比矩形宽一倍。4、汉宁窗（升余弦窗）其窗谱可利用如下方法求出，将变形为又由于其中又考虑到，这里所以有当时，窗谱分析可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣加宽一倍，即为汉宁窗是时，特例5、海明窗，又称作改进升余弦窗其窗函数为仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为其主瓣宽度仍为，（旁瓣峰值/主瓣峰值）1%有99.963%的能量集中在
17、主瓣内。海明窗是下一类窗的特例6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为其主瓣宽度为，是矩形窗的三倍。7、五种窗函数的比较（1）时域窗布拉克曼三角矩形海明（2）各个窗的幅度函数，如P.340，图7-11，注意图中是dB表示的。（3）理想LF加窗后的幅度函数（响应）如P340，图7-12所示。四、窗函数法的设计1、设计步骤（1）给定频响函数（2）求出单位抽样响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数基本参数表（P202表3）确定窗的形式及N的大小（4）最后求及2、设计举例例1：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的FIR低通滤波器，具体要求
18、：其他并画出相应的频响特性解：（1）由于是一理想LF，所以可以得出（2）确定N由于相位函数，所以呈偶对称，其对称中心为，因此（3）加矩形窗则有可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心n1224由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以例如H（0）=0.94789，可以计算的值，画如下图（4）加汉宁窗由于可以求出序列的各点值通过可求出加窗后的h（n）相应幅度函数可用下式求得：如H（0）=0.98460，图如下例2.设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为 ，通带截止频率为 ，阻带起始频率为 ，阻带衰减不小于-50dB.幅度特性如图所示。解：（1）求对应的数字频率：通带截止频率为：阻带
19、起始频率为：（2）求：设为理想线性相位滤波器（3）求窗函数：由阻带衰减确定窗形状，由过渡带确定N。查表7-3知可选海明窗。所要求的过渡带宽（数字频域）：又海明窗的过渡带满足：由此求得：所以：（4）求h(n)：由海明窗的w(n)确定FIR滤波器的h(n)。所以：7-4、凯泽（、凯泽（Kaiser）窗及其滤波器设计）窗及其滤波器设计上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。一、凯泽窗凯泽在1966（1974）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗
20、函数。凯泽窗定义为：1。定义其中，为第一类零阶修正贝塞尔函数，是一个可自由选择的参数。2.特点可同时调整主瓣宽度与旁瓣可同时调整主瓣宽度与旁瓣;越大，越大，窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣相应增加；相应增加；相当于矩形窗相当于矩形窗;通常选择通常选择，它们相当于旁瓣与主，它们相当于旁瓣与主瓣幅度为瓣幅度为 3.1%-0.047%；凯泽窗随凯泽窗随 变化的曲线如下图：变化的曲线如下图：注：第一类零阶修正贝塞尔函数为由图可以看出,为对称中心，且是偶对称,即即3.凯泽经验公式凯泽经验公式该公式可使该公式可使filter设计人员根据设计人员根据filter的设计指标的设计指标,
21、估算出估算出值和值和 N 值。值。且，且，：通带截止频率，由：通带截止频率，由 定定;：止带截止频率，由：止带截止频率，由 定定.过渡带宽度过渡带宽度4.设计举例设计举例利用凯泽窗设计一利用凯泽窗设计一FIR低通低通filter，要求，要求解：解：取取38将将N=38,=5.653代入代入 表达式，得表达式，得0 37 0.0 1.000 0.0204 0.021 36 1.8336 2.030 0.0415 0.042 35 2.5568 3.345 0.0704 0.078 29 4.6548 19.96 0.4082 0.413 34 3.086 5.251 0.1074 0.11 4
22、33 3.5111 7.441 0.1522 0.155 32 3.8656 10.11 0.2067 0.216 31 4.1678 13.10 0.2679 0.297 30 4.4286 16.44 0.3362 0.3417 20 5.6350 48.03 0.9822 0.989 28 4.8512 23.83 0.4873 0.4910 27 5.0215 27.73 0.5671 0.5711 26 5.1682 31.72 0.6489 0.6512 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72 13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.8014 23
23、5.4838 41.93 0.8575 0.8615 22 5.5515 44.67 0.9135 0.9116 21 5.6017 46.74 0.9558 0.9618 19 5.6515 48.90 1.0 1.00048121618192529333721n012345637363534333231-0.01220.01290.0139-0.01458-0.015590.016940.018480.020.040.070.110.150.210.27-0.000240.0005160.00096-0.0016-0.00230.00350.004978910111213143029282
24、726252423-0.01965-0.021520.02379-0.02659-0.03013-0.034770.041090.050220.340.410.490.570.650.720.800.86-0.0067-0.00880.0120.015-0.0196-0.0250.03290.0431516171822212019-0.06451-0.090400.15070.45200.910.960.981.00-0.059-0.0870.1480.45的图形如下所示的图形如下所示7-5、频率取样设计法、频率取样设计法一、设计思想一、设计思想窗函数设计法是从时域出发，把理想的窗函数设计法是
25、从时域出发，把理想的 用一定用一定形状的窗函数截取成有限长的形状的窗函数截取成有限长的 ，以，以 来近似来近似 从而使频响从而使频响 近似理想频响近似理想频响 。频率取样法是从频域出发，对理想的频响频率取样法是从频域出发，对理想的频响 进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响，即：，即：，等间隔取样等间隔取样并且并且二、利用二、利用N个频域采样值重构个频域采样值重构FIR的系统函数与频响的系统函数与频响1.重构重构FIR的的单位抽样响应的的单位抽样响应h(n)根据频域抽样理论（根据频域抽样理论（p99），由），由N个频域采样点个频域采样点可以
26、唯一确定可以唯一确定h(n),即对即对 H(k)进行进行IDFT2.重构系统函数重构系统函数H(Z)3.FIR的频响的频响将将 代入代入 表达式可得表达式可得其中其中,为大家所知的内插函数为大家所知的内插函数.分析分析 可知，当可知，当 时（采样点）时（采样点）有：有：这说明，重构的频响这说明，重构的频响 ，在采样上严格等于，在采样上严格等于H(k),而在采样点之间，频响则由加权的内插函数延伸叠加而成。而在采样点之间，频响则由加权的内插函数延伸叠加而成。三、线性相位的约束条件三、线性相位的约束条件以以h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数的情况进行分析为奇数的情况进行分析.1.FIR的频响具有线
27、性相位的一般表达式的频响具有线性相位的一般表达式当当h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数时，则为奇数时，则（P191，表，表6-1）而且幅度函数而且幅度函数 应为偶对称，即应为偶对称，即2.采样值采样值H(k)具有线性相位的约束具有线性相位的约束其中，其中，表示采样值的模（纯标量），表示采样值的模（纯标量），表示表示其相角。因此，在采样点上具有线性相位的条件应为：其相角。因此，在采样点上具有线性相位的条件应为：而且，而且，必须满足偶对称，即必须满足偶对称，即四四.设计步骤设计步骤1.根据指标要求，根据指标要求，画出频率采样序列的图形；画出频率采样序列的图形；2.依据依据 的对称特点，可以使问题
28、得以简化；的对称特点，可以使问题得以简化；3.根据线性相位的约束条件，求出根据线性相位的约束条件，求出 ；4.将将 代入代入FIR的频响表达式；的频响表达式；5.由由 的表达式画出实际的表达式画出实际 频响。频响。四四.设计举例设计举例例例 试用频率采样法，设计一个具有线性相位试用频率采样法，设计一个具有线性相位的低通的低通FIR数字数字filter，其理想频率特性为：，其理想频率特性为：已知已知 ，采样点，采样点N=33.由于由于h(n)为偶对称，且为偶对称，且 N=33为奇数，所以为奇数，所以 对于对于是偶对称。所以上图可画一半（到是偶对称。所以上图可画一半（到 ）截止频率截止频率，即，即解解：相位约束条件：相位约束条件：而而 为为将将 代入代入FIR的频响，得的频响，得考虑到考虑到 时，时，所以将负频部分加进去，所以将负频部分加进去有：有：的图形如下所示：的图形如下所示：0