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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流无限冲激响应数字滤波器的设计一.精品文档.第六章 无限冲激响应数字滤波器的设计无限冲激响应（IIR）数字滤波器可以实现用较少的阶数达到要求的幅度特性，因此，所需的运算次数及存储单元都较少，所以，在要求相位特性不严格的场合使用IIR数字滤波器是适宜的。IIR滤波器的系统函数可以用极、零点表示如下： 一般满足MN，这类系统称为N阶系统，当MN时，H(z)可看成是一个N阶IIR子系统与一个(M-N)阶的FIR子系统的级联。 以下讨论都假定MN。 IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A，以使滤波器满足给定的性能要
2、求。设计IIR数字滤波器一般有以下三种方法： (1) 模拟-数字转换法先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便， 因为模拟波滤波器已很成熟，它有很多现成的设计公式，并且设计参数已经表格化， 使用起来既方便又准确。 (2) 直接法滤波器系统函数的零点和极点位置完全决定了滤波器的幅度和相位响应。所以，通过合理设置数字滤波器系统函数的零、极点，即可得到符合要求的滤波特性。 这种方法往往需要多次调整零、极点位置，称为直接法，也称为零、极点累试法。 (3) 计算机辅助设计法。 这是一种最优化设计方法。 它先确定一种最优化准则， 例如设计出的实际频率响应的幅度与理想频
3、率响应的幅度的均方误差最小准则，或它们的最大误差最小准则等， 然后确定满足该最佳准则的滤波器系数ak、bi。 这种设计一般不易得到滤波器系数的显式表达式， 而是需要进行大量的迭代运算，需用计算机辅助设计完成。 本章主要讨论IIR滤波器的特点及主要设计方法。6-1 IIR数字滤波器的特点及结构一、IIR滤波器的主要特点IIR滤波器的差分方程及系统函数分别为： （6-1） （6-2）这种系统结构中存在反馈环节，因此称为递归系统；又因为该系统的冲激响应h(n)是无限长序列，所以又称为无限冲激响应（Infinite Impulse Response-IIR）系统。 这种类型的滤波器有如下特点：（1）单
4、位冲激响应h(n)是无限长序列可将IIR滤波器的系统函数展开成部分分式：单位冲激响应为；显然，其是无限长的。（2）系统函数H(z)在有限Z平面存在极点因此，存在稳定性问题。为了使系统是因果稳定的，需要使极点在单位园内。即，应采取措施使（3）结构上存在输出到输入的反馈可改进滤波器幅频特性，因此，阶数少，需要的存储单元数目及乘法运算次数少，系统的速度快，结构简单，适合对实时性高的场合。由于IIR滤波器具有上述特点，导致IIR滤波器在设计上具有如下特点：1、阶数少、运算次数及存储单元都较少，适合应用于要求相位特性不严格的场合。 2、有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。 3、是递归系统，存在
5、稳定性问题。因此，设计时需要研究其稳定性。 4、在相同阶数下，由有限字长效应引起的量化误差较大，并且其误差与其实现结构有关。二、无限冲激响应（IIR）数字滤波器的结构 根据IIR的表示，IIR有4种基本结构：直接型（直接I型）结构、规范型结构（直接II型）、级联型结构和并联型结构。1 直接型结构 也叫直接I型结构（Direct form I structure）。这种结构是直接通过差分方程得到的。一个N阶的IIR滤波器的输入输出关系可以用如式（6-1）所示的N阶的差分方程来描述。 把式（6-1）重写如下： 从这个差分方程表达式可以看出，系统的输出y(n)由两部分构成：第一部分是一个对输入x(n
6、)的M阶延时网络结构，把每节延时抽头后加权（加权系数是）相加，构成一个横向结构网络。 第二部分是一个对输出y(n)的N阶延时的横向结构网络，是由输出到输入的反馈网络。这两部分相加构成输出y(n)，如图6-3所示。从图上可以看出，直接型结构由上述两部分网络级联而成，前一个实现零点，后一个实现极点，该结构需要M+N个延时单元和M+N+1个乘法器，M+N个加法器。 x(n)b0b1bM-1bMa1a2aN-1aNy(n)图 6-1 直接I型结构（Direct form I structure）2 规范型结构- Canonic form structure（直接型, Direct form I str
7、ucture） 规范型结构又称直接型结构。由图6-2，直接型结构的系统函数H(z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。输入信号x(n)先通过系统H1(z)，得到中间输出变量y1(n)，然后再把y1(n)通过系统H2(z)得到输出信号y(n)。 即 （6-3）式中, ，对应的差分方程为:，对应的差分方程为： 假设所讨论的IIR数字滤波器是线性移不变系统，显然交换H1(z)和H2(z)的顺序不会影响系统的输入输出关系，即 若系统函数H(z)的分子阶数和分母阶数相等，即M=N时，其结构如图6-3所示。 由图可见，输入信号x(n)先经过反馈网络H2(z)，得到中间输出变量 然后，将y2(n)通过系统
8、H1(z)，得到系统的输出y(n) 由图可见，图的中间的两条串行延时支路都是对中间变量y2(n)进行延迟的延时支路，是完全相同的，可以合并这两条延时支路，合并后得到如图6-4所示的直接型结构（图中取M=N），或称规范型结构。 图 6-2 直接型的变形结构 图 6-3 接型结构（规范型结构） （Direct form II structure）比较图6-1和图6-3可知：这种结构需要M+N个延时单元和M+N+1个乘法器，M+N个加法器。对N阶差分方程，直接型仅需N个延时单元（一般NM），比直接型结构的延时单元少，是实现N阶IIR滤波器所需的最少延时单元，因此，又称规范型（Canonic form
9、 structure）。由于参加参与反馈的噪声源减少一半，这种结构的误差或输出噪声要比直接I型的要小。这种结构用硬件实现可以节省寄存器数目，比直接型经济；用软件实现则可节省存储单元，因此比直接型好。但是，对于高阶系统，这两种直接型结构表示的滤波器的系数， 对滤波器的性能控制作用不明显，因为，滤波器的每一个极点（或零点）是由所有系数（或）共同决定的，因而调整零、极点困难，每调整一个极点（或零点）需要调整所有系数（或）；由于这样的特点，滤波器性能对系数的量化效应敏感度也很高（因为某一系数的一个微小变化可能导致极点或零点的较大变化），从而导致滤波器性能发生较大变化，甚至导致系统的不稳定或产生较大误差
10、，因此，在实际系统实现中不建议采用这两种结构。3 级联型（Cascade Form Structures） 若把式(6-2)描述的N阶IIR滤波器的系统函数H(z)的分子和分母分别进行因式分解，得到多个因式连乘的形式 (6-4) 式中：A为常数，ci和di分别表示H(z)的零点和极点。由于H(z)的分子和分母都是实系数多项式，而实系数多项式的根只有实根和共轭复根两种情况。将每一对共轭零点（或极点）合并起来可构成一个实系数的二阶因子，并把单个的实根因子看成是二次项系数等于零的二阶因子，则可以把H(z)表示成多个实系数的二阶数字网络Hj(z)的连乘积形式， 如式(6-5)所示: (6-5) 式中：
11、 ，表示取整运算。 若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数Hj(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型结构，则可以得到系统函数H(z)的级联型结构，如图6-4所示。 图 6-4 级联型结构Cascade Form Structure 在级联型结构中，每一个一阶网络只关系到滤波器的一个零点、一个极点；每个二阶网络只关系到滤波器的一对共轭零点和一对共轭极点。调整系数0j、1j和2j只会影响滤波器的第j对零点，对其他零点并无影响；同样, 调整分母多项式的系数1j和2j也只单独调整了第j对极点。因此，与直接型结构相比，级联型结构便于准确地实现滤波器零、极点的调整。此外，因为在级联结构中，后面的网络的输出
12、不会流到前面，所以其运算误差也比直接型小。 因为式（6-5）中分子、分母的二阶因式可以任意组合，因此可以得到不同的结构形式，这将导致系统的误差性能不同（即量化误差导致的输出误差不同），因此，存在一个优化组合问题，适当地选择组合形式会显著地降低误差。级联的各级要有电平的放大或缩小，以使输出电平不致过大或过小。因为每一个二阶基本环节都可以看成一个放大器，每个放大器的放大倍数是不相同的，而前级的输出是要作为后级的输入的，前级输出过大会导致后级的输入过大，在后级会导致溢出的现象，而过小则会导致输出信噪比过小。因此，需要在前级加增益控制，以调节电平。由于对硬件实现可采用时分复用来实现，因此，整个系统可采
13、用一个基本的二阶环节加上一些系数存储器来实现，因而结构简单。此外，这种结构具有最少的存储器。4 并联型（Parallel Form Structures）把系统函数H(z)展开成部分分式的形式，就可以得到滤波器的并联型结构。 一般，系数是实数，此时，系数，是实数。式中，。对IIR来说，一般MN。当M1时， CN(x)是双曲余弦函数，它随x增大而单调增加。 显然，切比雪夫滤波器的幅度函数为 （6-28）特点如下：（1） 当0，N为偶数时， ；当N为奇数时，Ha (j0)=1。 （2）=c时，即所有幅度函数曲线都通过点，所以把c定义为切比雪夫滤波器的通带截止频率。在这个截止频率下，幅度函数不一定下
14、降 3 dB，可以是下降其他分贝值， 例如 1 dB等，这是与巴特沃思滤波器不同之处。 （3）在通带内，即当|c时，则|/cc时，随着的增大, 迅速满足2CN2 (/c)1使|Ha(j)|迅速单调地趋近于零。 由幅度平方函数式看出，切比雪夫滤波器有三个参数：，c和N。c是通带宽度，一般是预先给定的; 是与通带波纹有关的一个参数。通带波纹Ap表示成 （6-29）这里，|Ha(j)|max=1 表示通带幅度响应的最大值。，表示通带幅度响应的最小值，故 （6-30）因而 （6-31）可以看出，给定通带波纹值Ap（dB）后，就能求得2，这里应注意通带波纹值不一定是3 dB，也可以是其他值，例如0.1
15、dB等。 滤波器阶数N等于通带内最大值和最小值的总数。前面已经说过，N为奇数时，在=0 处， |Ha(j)|为最大值1；N为偶数时， 在0处, |a(j)|为最小值（见图6-11）。N的数值可由阻带衰减来确定。设阻带起始点频率为s，此时阻带幅度平方函数值满足 式中，A是常数。如果用误差的分贝数As表示，则有 所以 （6-32） 设s为阻带截止频率，即当s时，将上面的|Ha(j)|2的表达式代入可得 由此得出 由于s/c1，所以，有 由此，可得 （6-33）如果要求阻带边界频率上衰减越大（即A越大），也就是过渡带内幅度特性越陡，则所需的阶数N越高。 或者对s求解，可得 这里，c是切比雪夫滤波器的
16、通带宽度，但不是3 dB带宽，可以求出3 dB带宽为 （6-34）注意，只有当c1) , c, N给定后，就可以求得滤波器的传递函数Ha(s)，这可查阅有关模拟滤波器手册。 8-3无限冲激响应数字滤波设计的模拟-数字转换法利用模拟滤波器来设计数字滤波器（模拟-数字转换法），也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性。利用模拟滤波器来完成数字滤波器的设计， 就是先确定模拟滤波器的Ha(s)进而确定数字滤波器的系统函数H(z)。 它实际上是由S平面到Z平面间的一种映射转换，此时必须满足两种基本要求： （1）H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，即S平面的虚轴必须映射到Z平面的单位圆上。 （
17、2） 因果稳定的模拟滤波器Ha(s)转换成数字滤波器H(z)，仍是因果稳定的。也就是S平面左半平面（Res0）应该映射到Z平面的单位圆以内（|z|1）。 将系统函数Ha(s)从S平面映射到Z平面可以有多种方法，主要有时域转换法和频域转换法。前者是使数字滤波器时域响应与模拟滤波器的时域响应的抽样值相等，后者则是使数字滤波器在范围内的幅度特性和模拟滤波器的幅度特性一致。首先讨论时域转换法。时域转换法常用的是冲激不变法、阶跃不变法。一、冲激不变法1、 变换原理冲激不变法是从滤波器的冲激响应出发，是依据数字滤波器的冲激响应与模拟滤波器的冲激响应在抽样点上的值相等，即 （6-35）来得到变换关系（式中,
18、 T是采样周期）。如果给定底通模拟滤波器的转移函数，则所求数字滤波器的系统函数为 （6-36）据此可以转换关系。2、模拟滤波器的数字化方法设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且分母的阶次大于分子的阶次（一般都满足这一要求，因为只有这样才相当于一个因果稳定的模拟系统），因此有 （6-37）相应的冲激响应 （6-38）根据上节所介绍的冲激不变法的原理，按冲激不变法转换得到数字滤波器的单位冲激响应为 （6-39）对h(n)求Z变换，即得数字滤波器的系统函数 （6-40）将（6-37）（6-40）两式对比可见：（1）S平面的每一个单极点s=sk变换到Z平面上z=eskT处的单极点。（2）Ha
19、(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Ak。 （3）虽然S平面的极点按照关系式可映射成Z平面的极点，但是必须认识到，冲激响应不变法并不相当于按照该关系将S平面映射成Z平面。尤其是数字滤波器的零点， 它们是随部分分式展开式中的极点和系数Ak一起变化的。根据以上分析可见，（1）若模拟滤波器的系统函数的极点是单阶，则可将其展开成部分分式表达，冲激响应不变法的设计步骤可不再经历Ha(s)ha(t)ha(nT)H(z)的过程，而是直接将Ha(s)写成许多单极点的部分分式之和的形式，然后将各个部分分式依据上述原则转换成数字系统的部分分式，从而得到所需的数字滤波器系统函数H(z)。（2）若模拟滤波器
20、的极点不是单阶的，则应按照Ha(s)ha(t)ha(nT)H(z)的过程来设计数字滤波器H(z)。3、冲激不变法的特点（1）如果模拟滤波器是因果稳定的，则数字滤波器也是因果稳定的。因为，模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点sk位于S平面的左半平面，即Resk0，则变换后的数字滤波器的全部极点pk=|eskT|=eReskT1， 因此数字滤波器也是因果稳定的。 （2）一个线性相位的模拟滤波器通过冲激不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。从以上讨论可以看出，冲激不变法使得数字滤波器的单位冲激响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系=T。 因
21、而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过冲激响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。（3）s平面到Z平面的映射是多值的，存在混叠失真，只适用于限带的模拟滤波器的设计由于h(n)是ha(t)的抽样，因此，根据抽样定理有 （6-41）则可看出，冲激不变法将模拟滤波器的S平面内宽度为2/T的带状区映射成数字滤波器整个z平面；s平面中每一带状区的左半边映入单位圆内；s平面中每一带状区的右半边映射到单位圆外部。如图6-13所示。图 6-13冲激不变法的映射关系根据抽样定理，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 （6-42）因此，如果模拟滤波器的频率响应是限带的，并且才
22、能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即 (6-43)由式（6-43）可以看出，冲激不变法频率坐标的变换是线性的，因此变换不会改变原来的相位特性。但是，任何一个实际滤波器的频率响应都不可能是真正限带的，所以由式（6-42）就会出现频谱交叠现象，引起频率响应失真。所以，冲激不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如， 衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。 至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减， 因此将完全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用冲激不变法， 就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频
23、率以上的频率，然后再使用冲激响应不变法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。 （4）减少混叠失真的办法为了减少混叠失真，设计时应减少T值，提高折叠频率，使在折叠频率处的衰减加大。但这就会导致数字滤波器的指标发生变化。由于这种方法只适于限带滤波器，所以对高通或带阻数字滤波器的设计是不适用的。顺便指出，当T值取得过小时，根据式（6-43），数字滤波器会有较高的增益。因此一般不用式（6-40）建立数字滤波器的系统函数，而是采用如下表示式 (6-44)对应的冲激响应为 (6-45) 例 6-2 设模拟滤波器的系统函数为 试利用冲激不变法（设T=1）将Ha(s)转换成IIR数字
24、滤波器的系统函数H(z)。解因为： 所以：T=1，则有 图 6-14 例6-2的幅频特性 这是二阶递归型数字滤波器。它的两个极点是模拟滤波器转移函数的两个极点在z平面中的映射。它还有两个零点，一个位于原点，另一个位于无穷远点。由图可看出，由于Ha(j)不是限带的，在折叠角频率附近仍不为零，所以数字滤波器的频率响应H(ej)产生了严重的频谱混叠失真。二、阶跃不变法阶跃不变法是使数字滤波器的阶跃响应与模拟滤波器的抽样点的阶跃响应相等来得到变换关系的，即 (6-46)根据阶跃响应的定义，模拟滤波器的阶跃响应为 （6-47）其拉氏变换为 （6-48）所以，阶跃响应的Z变换为又由于 （6-49）其对应的
25、Z变换为 （6-50）这就是用阶跃不变法由模拟滤波器求得响应数字滤波器系统函数的表达式。也就是说，如果给定了模拟滤波器的转移函数，保持阶跃不变时，可按下面办法求数字滤波器的系统函数。步骤如下：先把展成部分分式，然后利用式（6-37）、（6-40）求出其Z变不换，再乘以，即为所要求的。 用阶跃不变法法设计的滤波器与用冲激不变法设计的滤波器一样，也会产生混叠现象。但是，由于式（6-48）括号中比式（6-36）的括号中多了一个因子，在高频段将有6dB倍频的衰减，因此，对同一个滤波器的转移函数，阶跃不变法所引入的混叠误差将比冲激不变法为小，但变换过程与冲激不变法一样烦琐，于是导致了新方法的产生。四 双
26、线性变换法1、 变换原理冲激不变法产生频率响应的混叠失真的原因：冲激不变法从S平面到平面的映射是多值的-其将模拟滤波器的S平面内宽度为2/T的带状区都映射到数字滤波器整个z平面；s平面中每一带状区的左半边映入单位圆内；s平面中每一带状区的右半边映射到单位圆外部。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间的2/T的带状区，然后再采用冲激不变法用z=esT将此条带转换到Z平面上。即：（1）采用某种变换将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；（2）通过变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的
27、单值关系， 消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图6-15所示。图 6-15 双线性变换的映射关系 下面我们通过这两步建立将S平面到平面的映射关系。（1） S到S1平面的映射为了建立S到S1平面的映射，首先建立S平面的整个虚轴j压缩到S1平面j1轴上的映射关系。将从（-，）的范围压缩到1轴上的-/T到/T段上，有许多函数使用，这里通过以下的正切变换实现（如图6-16所示）图6-16 正切函数 (6-51)C是一个大于0的常数。引入C为了控制数字滤波器的截止频率等指标。于是 (6-52)将上式延拓到整个S平面和S1平面，即，令代入上式可得 (6-53) 显然，上式可将将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里。（2） S1到Z平面的映射 由于S1到Z的映射是