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1、立体证明题（2）1.如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE（1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的余弦值2.等腰ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥PABFE，且AP=BP=（1）求证：平面EFP平面ABFE；（2）求二面角BAPE的大小3.如图，在四棱锥PABCD中，底面是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点（） 求证：EF平面PAD；（） 求证：EF平面PDC4.如图：正ABC与RtBCD所在平面互相垂直，且
2、BCD=90，CBD=30（1）求证：ABCD；（2）求二面角DABC的正切值5.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，ADC=120，AB=2AD（1）求证：平面PAD平面PBD；（2）求二面角APBC的余弦值6.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=CB=CC1=2，E是AB中点（）求证：AB1平面A1CE；（）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值7.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，DAB为直角，ABCD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点（）证明：AB平面BEF；（）若
3、PA=，求二面角EBDC8.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足ABAD，BCAD且BC=4，点M为PC中点（1）求证：DM平面PBC；（2）若点E为BC边上的动点，且，是否存在实数，使得二面角PDEB的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由9.如图，ABED是长方形，平面ABED平面ABC，AB=AC=5，BC=BE=6，且M是BC的中点（） 求证：AM平面BEC；（） 求三棱锥BACE的体积；（）若点Q是线段AD上的一点，且平面QEC平面BEC，求线段AQ的长10.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直
4、，ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC，EAEB（1）求证：EA平面EBC（2）求二面角CBED的余弦值11.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC（1）求证：平面POB平面PAD；12.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面ABC，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，且AB=AA1，E、F分别是CC1，BC的中点（1）求证：平面AB1F平面AEF；（2）求二面角B1AEF的余弦值13.如图，在菱形ABCD中，ABC=60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，
5、AB=AE=2（ I）求证：BD平面ACFE；（ II）当直线FO与平面BDE所成的角为45时，求二面角BEFD的余弦角14.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成，ADAF，AE=AD=2（1）证明：平面PAD平面ABFE；（2）求正四棱锥PABCD的高h，使得二面角CAFP的余弦值是15.如图，已知斜三棱柱ABC一A1B1C1，BCA=90，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1AC1（）求证：AC1平面A1BC；（）求二面角AA1BC的平面角的余弦值试卷答案1.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定【
6、分析】（1）由已知中直二面角DABE中，四边形ABCD是正方形，且BF平面ACE，我们可以证得BFAE，CBAE，进而由线面垂直的判定定理可得AE平面BCE（2）连接BD与AC交于G，连接FG，设正方形ABCD的边长为2，由三垂线定理及二面角的平面角的定义，可得BGF是二面角BACE的平面角，解RtBFG即可得到答案【解答】证明：（1）BF平面ACEBFAE二面角DABE为直二面角，且CBAB，CB平面ABECBAEAE平面BCE解：（2）连接BD与AC交于G，连接FG，设正方形ABCD的边长为2，BGAC，BG=，BF垂直于平面ACE，由三垂线定理逆定理得FGACBGF是二面角BACE的平面
7、角由（1）AE平面BCE，得AEEB，AE=EB，BE=在RtBCE中，EC=，由等面积法求得，则在RtBFG中，故二面角BACE的余弦值为2.【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）用分析法找思路，用综合法证明取EF中点O，连接OP、OC等腰三角形CEF中有COEF，即OPEF根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ABFE的交线是EF，且POEF，分析得PO平面ABFE故只需根据题中条件证出PO平面ABFE，即可利用面面垂直的判定定理证得平面EFP平面ABFE（2）根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角，利用向量
8、角和二面角关系，确定二面角大小【解答】解：（1）证明：在ABC中，D为AB中点，O为EF中点由AC=BC=，AB=2E、F分别为AC、BC的中点，EF为中位线，得CO=OD=1，COEF四棱锥PABFE中，POEF，2分ODAB，AD=OD=1，AO=，又AP=，OP=1，四棱锥PABFE中，有AP2=AO2+OP2，即OPAO，4分又AOEF=O，EF、AO平面ABFE，OP平面ABFE，5分又OP平面EFP，平面EFP平面ABFE 6分（2）由（1）知OD，OF，OP两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系（如图）：则A（1，1，0），B（1，1，0），E（0，0），P（0，0，1）7分，
9、设，分别为平面AEP、平面ABP的一个法向量，则 取x=1，得y=2，z=1 9分同理可得，11分由于=0，所以二面角BAPE为90 12分3.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】证明题【分析】对于（），要证EF平面PAD，只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC、BD的中点，所以连接AC，EF为中位线，从而得证；对于（）要证明EF平面PDC，由第一问的结论，EFPA，只需证PA平面PDC即可，已知PA=PD=AD，可得PAPD，只需再证明PACD，而这需要再证明CD平面PAD，由于ABCD是正方形，面PAD底面ABCD，由面面垂直的性质可以证明，从而得证【解
10、答】证明：（）连接AC，则F是AC的中点，在CPA中，EFPA（3分）且PA平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD（6分）（）因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，又CDAD，所以CD平面PAD，CDPA（9分）又PA=PD=AD，所以PAD是等腰直角三角形，且APD=，即PAPD（12分）而CDPD=D，PA平面PDC，又EFPA，所以EF平面PDC（14分）【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行4.【考点】与二面角有关的立体几
11、何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）利用平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCD=BC，可得DC平面ABC，利用线面垂直的性质，可得DCAB；（2）过C作CEAB于E，连接ED，可证CED是二面角DABC的平面角设CD=a，则BC=，从而EC=BCsin60=，在RtDEC中，可求tanDEC【解答】（1）证明：DCBC，且平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCD=BC，DC平面ABC，又AB平面ABC，DCAB（2）解：过C作CEAB于E，连接ED，ABCD，ABEC，CDEC=C，AB平面ECD，又DE平面ECD，ABED，CED是二面角DABC的平面角，设CD=a，
12、则BC=，ABC是正三角形，EC=BCsin60=，在RtDEC中，tanDEC=5.【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（1）令AD=1，求出BD=，从而ADBD，进而BD平面PAD，由此能证明平面PAD平面PBD（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角APBC的余弦值【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，令AD=1，则BD=，在ABD中，AD2+BD2=AB2，ADBD，又平面PAD平面ABCD，BD平面PAD，BD平面PBD，平面PAD平面PBD解：（2）由（1）
13、得ADBD，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，令AD=1，则A（1，0，0），B（0，0），C（1，0），P（，0，），=（1，0），=（），=（1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），取b=1，得=（0，1，2），cos=，由图形知二面角APBC的平面角为钝角，二面角APBC的余弦值为6.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【分析】（）由ABCA1B1C1是直三棱柱，可知CC1AC，CC1BC，ACB=90，ACBC建立空间直角坐标系Cxyz
14、则A，B1，E，A1，可得，可知，根据，推断出AB1CE，AB1CA1，根据线面垂直的判定定理可知AB1平面A1CE（）由（）知是平面A1CE的法向量，进而利用向量数量积求得直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值【解答】（）证明：ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1AC，CC1BC，又ACB=90，即ACBC如图所示，建立空间直角坐标系CxyzA（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2），又因为，AB1CE，AB1CA1，AB1平面A1CE（）解：由（）知，是平面A1CE的法向量，|cos，|=设直线A1C1与平面A1CE所成的角为，则sin=|cos，|=所以
15、直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值为7.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）只需证明ABBFABEF即可（）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，求出平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，设二面角EBDC的大小为，则=，【解答】解：（）证：由已知DFAB且DAB为直角，故ABFD是矩形，从而ABBF又PA底面ABCD，平面PAD平面ABCD，ABAD，故AB平面PAD，ABPD，在PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EFPD，ABEF由此得AB平面BEF（）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直
16、角坐标系，则设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，则 可取设二面角EBDC的大小为，则=，所以，8.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）取PB中点N，连结MN，AN由三角形中位线定理可得四边形ADMN为平行四边形由APAD，ABAD，由线面垂直的判定可得AD平面PAB进一步得到ANMN再由AP=AB，得ANPB，则AN平面PBC又ANDM，得DM平面PBC；（2）以A为原点，方向为x轴的正方向，方向为y轴的正方向，方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设E（2，t，0）（0t4），再求得P，D，B的坐标，得到的坐标，求出平面PDE的法向量，再由题意
17、得到平面DEB的一个法向量，由两法向量夹角的余弦值得到实数的值【解答】（1）证明：如图，取PB中点N，连结MN，ANM是PC中点，MNBC，MN=BC=2又BCAD，AD=2，MNAD，MN=AD，四边形ADMN为平行四边形APAD，ABAD，APAB=A，AD平面PABAN平面PAB，ADAN，则ANMNAP=AB，ANPB，又MNPB=N，AN平面PBCANDM，DM平面PBC；（2）解：存在符合条件的以A为原点，方向为x轴的正方向，方向为y轴的正方向，方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设E（2，t，0）（0t4），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0），则，设
18、平面PDE的法向量=（x，y，z），则，令y=2，则z=2，x=t2，取平面PDE的一个法向量为=（2t，2，2）又平面DEB即为xAy平面，故其一个法向量为=（0，0，1），cos=解得t=3或t=1，=3或9.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（）推导出BEAM，BCAM，由此能证明AM平面BEC（）由VBACE=VEABC，能求出三棱锥BACE的体积（）在平面QEC内作QNEC，QN交CE于点NQN与AM共面，设该平面为a，推导出四边形AMNQ是平行四方形，由此能求出AQ【解答】证明：（）平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABC=AB，BEAB，BE平面A
19、BED，BE平面ABC，又AM平面ABC，BEAM又AB=AC，M是BC的中点，BCAM，又BCBE=B，BC平面BEC，BE平面BEC，AM平面BEC解：（）由（）知，BE平面ABC，h=BE=6在RtABM中，又，（）在平面QEC内作QNEC，QN交CE于点N平面QEC平面BEC，平面QEC平面BECEC，QN平面BEC，又AM平面BECQNAMQN与AM共面，设该平面为a，ABED是长方形，AQBE，又Q平面BEC，BE平面BEC，AQ平面BEC，又AQ，平面BEC=MN，AQMN，又QNAM，四边形AMNQ是平行四方形AQ=MNAQBE，AQMN，MNBE，又M是BC的中点，AQ=MN
20、=310.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明EA平面EBC；（2）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可【解答】（1）平面ABE平面ABCD，且ABBC，BC平面ABEEA平面ABE，EABC，EAEB，EBBC=B，EA平面EBC（2）取AB中O，连接EO，DOEB=EA，EOAB平面ABE平面ABCD，EO平面ABCDAB=2CD，ABCD，ABBC，DOAB，建立如图的空间直角坐标系Oxyz如图：设CD=1，则A（0，1，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），由（1）得平面EBC的法向量
21、为=（0，1，1），设平面BED的法向量为=（x，y，z），则，即，设x=1，则y=1，z=1，则=（1，1，1），则|cos，|=，故二面角CBED的余弦值是11.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）证明四边形BCDO是平行四边形，得出OBAD；再证明BO平面PAD，从而证明平面POB平面PAD；（2）解法一：由，M为PC中点，证明N是AC的中点，MNPA，PA平面BMO解法二：由PA平面BMO，证明N是AC的中点，M是PC的中点，得【解答】解：（1）证明：ADBC，O为AD的中点，四边形BCDO为平行四边形，CDBO；又ADC=90，AOB=90，即OBAD；又
22、平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，BO平面PAD；又BO平面POB，平面POB平面PAD；（2）解法一：，即M为PC中点，以下证明：连结AC，交BO于N，连结MN，ADBC，O为AD中点，AD=2BC，N是AC的中点，又点M是棱PC的中点，MNPA，PA平面BMO，MN平面BMO，PA平面BMO解法二：连接AC，交BO于N，连结MN，PA平面BMO，平面BMO平面PAC=MN，PAMN；又ADBC，O为AD中点，AD=2BC，N是AC的中点，M是PC的中点，则12.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定【分析】（1）连结AF，由已知条件推导出面ABC面
23、BB1C1C，从而AFB1F，由勾股定理得B1FEF由此能证明平面AB1F平面AEF（2）以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1AEF的余弦值【解答】（1）证明：连结AF，F是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，AFBC又三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，面ABC面BB1C1C，AF面BB1C1C，AFB1F设AB=AA1=1，则，EF=，=，B1FEF又AFEF=F，B1F平面AEF而B1F面AB1F，故：平面AB1F平面AEF（2）解：以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系如图，设AB=AA1=1，则F（0，0，0），A（），B
24、1（0，1），E（0，）， =（，1）由（1）知，B1F平面AEF，取平面AEF的法向量：=（0，1）设平面B1AE的法向量为，由，取x=3，得设二面角B1AEF的大小为，则cos=|cos|=|=由图可知为锐角，所求二面角B1AEF的余弦值为13.【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（ I）只需证明DBAC，BDAE，即可得BD平面ACFE； （ II）取EF的中点为M，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，则，D（0，0），F（1，0，h），E（1，0，2），则，利用向量法求解【解答】（ I）证明：在菱形ABCD中，
25、可得DBAC，又因为AE平面ABCD，BDAE，且AEAC=A，BD平面ACFE； （ II）解：取EF的中点为M，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，则，D（0，0），F（1，0，h），E（1，0，2），则，设平面BDE的法向量，由，可取，|cos|=，h=3，故F（1，0，3），设平面BFE的法向量为，由，可取，设平面DFE的法向量为，由，可取，cos=， 二面角BEFD的余弦值为14.【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（）证明：AD平面ABFE，即可证明平面PAD平面ABFE；（）建立空间坐标系，求出平面的法向
26、量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥PABCD的高【解答】（）证明：直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，所以：ABAD，又ADAF，所以：AD平面ABFE，AD平面PAD，所以：平面PAD平面ABFE（）AD平面ABFE，建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设正四棱锥PABCD的高为h，AE=AD=2，则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（1，h，1），=（x，y，z）是平面AFC的法向量，则，令x=1，则y=z=1，即=（1，1，1），设=（x，y，z）是平面ACP的法向量，则，令x=1
27、，则y=1，z=1h，即=（1，1，1h），二面角CAFP的余弦值是cos，=得h=1或h=（舍）则正四棱锥PABCD的高h=115.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）推导出BCAC，BCAC1，BA1AC1，由此能证明AC1平面A1BC（2）推导出平面A1AB平面BCF，过C作CHBF于H，则CH面A1AB，求出CH=，过H作HGA1B于G，连CG，则CGA1B，从而CGH为二面角AA1BC的平面角，由此能求出二面角AA1BC的平面角的余弦值【解答】证明：（1）因为A1D平面ABC，所以，平面AA1C1C平面A
28、BC，又BCAC，所以，BC平面AA1C1C，得BCAC1，又BA1AC1，所以，AC1平面A1BC解：（2）因为AC1A1C，所以四边形AA1C1C为菱形，故AA1=AC=2，又D为AC中点，知A1AC=60，取AA1的中点F，则AA1平面BCF，从而，平面A1AB平面BCF，过C作CHBF于H，则CH面A1AB，在RtBCF，BC=2，CF=，故CH=，过H作HGA1B于G，连CG，则CGA1B，从而CGH为二面角AA1BC的平面角，在RtA1BC中，A1C=BC=2，所以，CG=，在RtCGH中，sinCGH=，cosCGH=故二面角AA1BC的平面角的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养