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1、立体几何平行与垂直证明题立体几何平行与垂直证实题立体几何平行与垂直证实题新课标立体几何常考证实题汇总1、已知四边形ABCD是空间四边形，,EFGH分别是边,ABBCCDDA的中点1求证：EFGH是平行四边形2若BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。证实：在ABD?中，,EH分别是,ABAD的中点1/,2EHBDEHBD=同理，1/,2FGBDFGBD=/,EHFGEHFG=四边形EFGH是平行四边形。(2)9030考点：证平行利用三角形中位线，异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形ABCD中，,BCACADBD=，E是AB的中点。求证：1AB平面CDE;
2、2平面CDE平面ABC。证实：1BCACCEABAEBE=?=?同理，ADBDDEABAEBE=?=?又CEDEE?=AB平面CDE2由1有AB平面CDE又AB?平面ABC，平面CDE平面ABC考点：线面垂直，面面垂直的断定3、如图，在正方体1111ABCDABCD-中，E是1AA的中点，求证：1/AC平面BDE。证实：连接AC交BD于O，连接EO，AEDCBDAAHGFEDCBAEDBC立体几何平行与垂直证实题立体几何平行与垂直证实题E为1AA的中点，O为AC的中点EO为三角形1AAC的中位线1/EOAC又EO在平面BDE内，1AC在平面BDE外1/AC平面BDE。考点：线面平行的断定4、已
3、知ABC?中90ACB=o,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC证实：90ACB=BCAC又SA面ABCSABCBC面SAC又,SCADSCBCC?=AD面SBC考点：线面垂直的断定5、已知正方体1111ABCDABCD-，O是底ABCD对角线的交点.求证：()C1O面11ABD；(2)1AC面11ABD证实：1连结11AC，设11111ACBDO?=，连结1AO1111ABCDABCD-是正方体11AACC是平行四边形A1C1AC且11ACAC=又1,OO分别是11,ACAC的中点，O1C1AO且11OCAO=11AOCO是平行四边形111,COAOAO?面11ABD，1CO?面11A
4、BDC1O面11ABD21CCQ面1111ABCD11!CCBD又1111ACBD，1111BDACC面111ACBD即同理可证11ACAD，又1111DBADD?=1AC面11ABD考点：线面平行的断定利用平行四边形，线面垂直的断定.7、正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面A1BD平面B1(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1证实：(1)由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1SDCBAD1ODBAC1B1A1CAAB1立体几何平行与垂直证实题立体几何平行与垂直证实题NMPCBA又BD?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C，BD平面B1D
5、1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD(2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G进而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFDF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD考点：线面平行的断定利用平行四边形8、四面体ABCD中，,ACBDEF=分别为,ADBC的中点，且22EFAC=，90BDC=o，求证：BD平面ACD证实：取CD的中点G，连结,EGFG，,EF分别为,ADBC的中点，EG12/AC=12/FGBD=，又,ACBD=12FGAC=，在EFG?中，222212EGFGACEF+=EGFG，BDAC，又90BDC=o，即BDC
6、D，ACCDC?=BD平面ACD考点：线面垂直的断定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图P是ABC?所在平面外一点，,PAPBCB=平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，3ANNB=1求证：MNAB；2当90APB=o，24ABBC=时，求MN的长。证实：1取PA的中点Q，连结,MQNQ，M是PB的中点，/MQBC，CB平面PAB，MQ平面PABQN是MN在平面PAB内的射影，取AB的中点D，连结PD，,PAPB=PDAB，又3ANNB=，BNND=/QNPD，QNAB，由三垂线定理得MNAB290APB=o，,PAPB=122PDAB=，1QN=，MQ平面PAB.MQNQ，且112M
7、QBC=，2MN=考点：三垂线定理立体几何平行与垂直证实题立体几何平行与垂直证实题10、如图，在正方体1111ABCDABCD-中，E、F、G分别是AB、AD、11CD的中点.求证：平面1DEF平面BDG.证实：E、F分别是AB、AD的中点，EFBD又EF?平面BDG，BD?平面BDGEF平面BDG1DGEB四边形1DGBE为平行四边形，1DEGB又1DE?平面BDG，GB?平面BDG1DE平面BDG1EFDEE?=，平面1DEF平面BDG考点：线面平行的断定利用三角形中位线11、如图，在正方体1111ABCDABCD-中，E是1AA的中点.1求证：1/AC平面BDE；2求证：平面1AAC平面
8、BDE.证实：1设ACBDO?=，E、O分别是1AA、AC的中点，1ACEO又1AC?平面BDE，EO?平面BDE，1AC平面BDE21AA平面ABCD，BD?平面ABCD，1AABD又BDAC，1ACAAA?=，BD平面1AAC，BD?平面BDE，平面BDE平面1AAC考点：线面平行的断定利用三角形中位线，面面垂直的断定12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，2AB=，4PAAD=，E为BC的中点1求证：DE平面PAE；2求直线DP与平面PAE所成的角证实：在ADE?中，222ADAEDE=+，AEDE立体几何平行与垂直证实题立体几何平行与垂直证实题PA平面ABCD，DE?平面ABCD，
9、PADE又PAAEA?=，DE平面PAE2DPE为DP与平面PAE所成的角在RtPAD?，42PD=，在RtDCE?中，22DE=在RtDEP?中，2PDDE=，030DPE=考点：线面垂直的断定,构造直角三角形13、如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是060DAB=且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD1若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；2求证：ADPB；3求二面角ABCP-的大小证实：1ABD?为等边三角形且G为AD的中点，BGAD又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD2PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG且ADBG，PGBGG?=
10、，AD平面PBG，PB?平面PBG，ADPB3由ADPB，ADBC，BCPB又BGAD，ADBC，BGBCPBG为二面角ABCP-的平面角在RtPBG?中，PGBG=，045PBG=考点：线面垂直的断定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法定义法14、如图1,在正方体1111ABCDABCD-中，M为1CC的中点，AC交BD于点O，求证：1AO平面MBD证实：连结MO，1AM，DB1AA，DBAC，1AAACA?=，DB平面11AACC，而1AO?平面11AACCDB1AO立体几何平行与垂直证实题立体几何平行与垂直证实题设正方体棱长为a，则22132AOa=，2234MOa=在Rt
11、11ACM中，22194AMa=22211AOMOAM+=，1AOOMOMDB=O，1AO平面MBD考点：线面垂直的断定，运用勾股定理寻求线线垂直15、如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD证实：取AB的中点，连结CF，DFACBC=，CFABADBD=，DFAB又CFDFF=I，AB平面CDFCD?平面CDF，CDAB又CDBE，BEABB?=，CD平面ABE，CDAHAHCD，AHBE，CDBEE?=，AH平面BCD考点：线面垂直的断定16、证实：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D证实：连结ACBDACAC为A1C在平面AC上的射影考点：线面垂直的断定，三垂线定理17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=立体几何平行与垂直证实题立体几何平行与垂直证实题ASC=60，BSC=90，求证：平面ABC平面BSC证实SB=SA=SC，ASB=ASC=60AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AOBC，SOBC，AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又BSC=90，BC=2a，SO=22a，AO2=AC2OC2=a221a2=21a2，SA2=AO2+OS2，AOS=90，进而平面ABC平面BSC考点：面面垂直的断定证二面角是直二面角