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1、第1页/共63页第2页/共63页第3页/共63页O第4页/共63页例2、如图,在底面是菱形的四棱锥PABCD中,点E在PD上,且PE:ED=2：1，问在棱PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?证明你的结论；MFO第5页/共63页第6页/共63页第7页/共63页证明过程分析：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA aAaOP三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。结论汇总1：板书证明过程第8页/共63页PCBA例1 已知P 是平面ABC 外一点，PA平面ABC，AC BC，求证：PC BC证明：P 是平面ABC 外一
2、点 PA平面ABC AC是斜线PC在平面ABC上 的射影 BC平面ABC 且AC BC 由三垂线定理得 PC BC结论应用：第10页/共63页线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？第11页/共63页 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理第12页/共63页第13页/共63页 例1 已知：正方体中，
3、AC是面对角线，BD是与AC 异面的体对角线.求证：ACBDABDCA B CD第14页/共63页第15页/共63页第16页/共63页【变式练习1】如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将AEF折起到A1EF的位置，连结A1B，A1C.求证：(1)EF平面A1EC；(2)AA1平面A1BC.第17页/共63页第18页/共63页第19页/共63页第20页/共63页空间角的计算一找二证三求解第23页/共63页第24页/共63页 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B与直线CD所成角；(2)求直线A1B和直线B1C 所成角 （3）求直线A1O和
4、直线AD1所成的角.（4）求直线A1C和直线AD所成的角的余弦值D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO第25页/共63页直线与平面所成的角第26页/共63页线面角相关概念P斜线PA与平面所成的角为PABl平面的斜线A斜足A斜线PA在平面内的射影垂足BB平面的垂线第27页/共63页1.1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角的射影所成的角2.2.平面的垂线与平面所成的角为直角平面的垂线与平面所成的角为直角3.3.一条直线与平面平行或在平面内，则这一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的条直线与平面所成的角的0 00 0角角
5、一条直线与平面所成的角的取值范围是一条直线与平面所成的角的取值范围是第28页/共63页第29页/共63页 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.（3）求直线A10和平面ABCD所成的角.D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO第30页/共63页 例2 如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知ABC=60，OBC=45，求斜线AB和平面所成的角.ABCOD第31页/共63页第32页/共63页第33页/共63页一、一、二面角的定义及二面角的平面角二面角的定义及二面
6、角的平面角平面的一条直线把平面分为平面的一条直线把平面分为两两部分，部分，其中的每一部分都叫做一个其中的每一部分都叫做一个半平面半平面。从一条从一条直线出发的两个半平面所组直线出发的两个半平面所组成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角。（1 1）半平面半平面（2 2）二面角二面角l第34页/共63页BOAa(3)(3)二面角画法二面角画法如下图如下图l第35页/共63页l AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD5（4 4）二面角的记法）二面角的记法“面面1 1棱棱面面2 2”第36页/共63页 上述变化过程中图形在变化，形成的上述变化过程中图形在变化，形成的
7、“角度角度”的大小如何来确定的大小如何来确定？第37页/共63页B。OA(5)(5)二面角的平面角二面角的平面角 垂直于二面角的棱的任一平面垂直于二面角的棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角叫做与两个半平面的交线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角。从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角。二面角的平面角与二面角的平面角与点点（或（或垂直平面垂直平面）的位置）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。无任何关系，只与二面角的张角大小有关。B
8、。OAB1。O1A1 二面角就是用它的二面角就是用它的平面角平面角来度量的。一个二来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。度的二面角。（注）第38页/共63页注意二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 lOABAOB第39页/共63页(6)(6)二面角的范围：二面角的范围：00。,180,180。（7 7）直二面角）直二面角平面角为直角的二面角叫做直二面角平面角为直角的二面角叫做直二面
9、角OAB第40页/共63页一、几何法：一、几何法：找出平面角，求解三角形1、定义法、定义法:以二面角的棱以二面角的棱a a上任意一点上任意一点O O为端点，在两个面内为端点，在两个面内分别作垂直于分别作垂直于a a 的两条射线的两条射线OA,OBOA,OB，则，则AOBAOB就是就是此二面角的平面角此二面角的平面角。aOAB在一个平面在一个平面 内选一点内选一点A A向另一平面向另一平面 作垂线作垂线ABAB，垂足为，垂足为B B，再过点，再过点B B向棱向棱a a作垂线作垂线BOBO，垂足，垂足 为为O O，连结，连结AOAO，则，则AOBAOB就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。3、垂
10、面法、垂面法:过二面角内一点过二面角内一点A作作AB 于于B，作，作AC 于于C，面，面ABC交棱交棱a于点于点O，则，则BOC就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。aABCO2、三垂线法、三垂线法:ABOa第42页/共63页 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）找出二面角A1-BD-A；(2)找出二面角A1-BD-B1；.（3）E是BB1的中点，找出平面A1DE与平面ABCD所成锐角D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DE第43页/共63页 PABCD过E作EDPC于D，则BDE就是此二面角的平面角。连结BD，过B作BEAC于E，E ABC为正，BE=在RtPAC中，E为A
11、C中点，则DE=在Rt DEB中tan BDE=BDE=arctan 例1:已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。三垂线法三垂线法:第44页/共63页练习3：三棱锥P-ABC中，PA 平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角P-BC-A的大小；（2）求二面角A-PC-B的大小。PABCDE若ABCABC是PBCPBC在平面ABCABC的投影，则二面角满足：第45页/共63页第46页/共63页求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。mn如图：二面角的大小等于-2、平面法向量法
12、、平面法向量法:第47页/共63页2、平面法向量法、平面法向量法:求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。mn如图：二面角的大小等于第48页/共63页例4:在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC=90，SA面ABCD，AD=SA=AB=BC=1，求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值大小.xyz解：以A为原点，如图 建立空间直角坐标系。第49页/共63页第50页/共63页第51页/共63页第52页/共63页第53页/共63页第54页/共63页翻折问题第55页/共63页第56页/共63页第57页/共63页第58页/共63页第59页/共63页第60页/共63页第61页/共63页第62页/共63页感谢您的观看！第63页/共63页