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1、O例例2、如图如图,在底面是菱形的四棱锥在底面是菱形的四棱锥PABCD中中,点点E在在PD上上,且且PE:ED=2：1，问在棱，问在棱PC上是否存上是否存在一点在一点F,使使BF平面平面AEC?证明你的结论；证明你的结论；MFO证明过程分析：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA aAaOP三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。和这条斜线垂直。结论汇总结论汇总1：板书证明过程PCBA例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点，PA平面平面
2、ABC，AC BC，求证：求证：PC BC证明：证明：P 是平面ABC 外一点 PA平面ABC AC是斜线PC在平面ABC上 的射影 BC平面ABC 且AC BC 由三垂线定理得 PC BC结论应用结论应用：线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直平面内的一条直线线和和平面的一条斜线在平平面的一条斜线在平面内的面内的射射影影垂直垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线线垂直垂直三垂线定理的逆定理？在平面内的一条直线，如果和这个平面的一在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。条斜线垂直，那么，它也和这条斜线
3、的射影垂直。PAOa 已知：已知：PA，PO分分别是平面别是平面 的垂线和斜的垂线和斜线，线，AO是是PO在平面在平面 的射影的射影,a ,a PO求证：求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 例1 已知：正方体中，AC是面对角线，BD是与AC 异面的体对角线.求证：ACBDABDCA B CD【变式练习1】如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将AEF折起到A1EF的位置，连结A1B，A1C.求证：(1)EF平面A1EC；(2)AA1平面A1BC.空间角的计算空间角的计算一找一找二证二证三求解三求解 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1
4、）求直线A1B与直线CD所成角；(2)求直线A1B和直线B1C 所成角 （3）求直线A1O和直线AD1所成的角.（4）求直线A1C和直线AD所成的角的余弦值D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO直线与平面所成的角直线与平面所成的角线面角相关概念线面角相关概念P斜线PA与平面所成的角为PABl平面的斜线A斜足A斜线PA在平面内的射影垂足BB平面的垂线1.1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角射影所成的角2.2.平面的垂线与平面所成的角为直角平面的垂线与平面所成的角为直角3.3.一条直线与平面平行或在平面内，则这一条直线与平面平行或在平
5、面内，则这条直线与平面所成的角的条直线与平面所成的角的0 00 0角角一条直线与平面所成的角的取值范围是一条直线与平面所成的角的取值范围是 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.（3）求直线A10和平面ABCD所成的角.D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO 例2 如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知ABC=60，OBC=45，求斜线AB和平面所成的角.ABCOD一、一、二面角的定义及二面角的平面角二面角的定义及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为平面
6、的一条直线把平面分为两两部分，部分，其中的每一部分都叫做一个其中的每一部分都叫做一个半平面半平面。从一条从一条直线出发的两个半平面所组直线出发的两个半平面所组成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角。（1 1）半平面半平面（2 2）二面角二面角lBOAa(3)(3)二面角画法二面角画法如下图如下图ll AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD5（4 4）二面角的记法）二面角的记法“面面11棱棱面面2”2”上述变化过程中图形在变化，形成的上述变化过程中图形在变化，形成的“角度角度”的大小如何来确定的大小如何来确定？B。OA(5)(5)二面角的平面角二面角的平面角
7、垂直于二面角的棱的任一平面垂直于二面角的棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角叫做与两个半平面的交线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角。从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角。二面角的平面角与二面角的平面角与点点（或（或垂直平面垂直平面）的位置）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。无任何关系，只与二面角的张角大小有关。B。OAB1。O1A1 二面角就是用它的二面角就是用它的平面角平面角来度量的。一个二来度量的。一个二面角的平面角多大
8、，我们就说个二面角是多少面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。度的二面角。（注）注意二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 lOABAOB(6)(6)二面角的范围：二面角的范围：00。,180,180。（7 7）直二面角）直二面角平面角为直角的二面角叫做直二面角平面角为直角的二面角叫做直二面角OAB一、几何法：一、几何法：找出平面角，求解三角形找出平面角，求解三角形1、定义法、定义法:以二面角的棱以二面角的棱a a上任意一点上任意一点O
9、O为端点，在两个面内为端点，在两个面内分别作垂直于分别作垂直于a a 的两条射线的两条射线OA,OBOA,OB，则，则AOBAOB就是就是此二面角的平面角此二面角的平面角。aOAB在一个平面在一个平面 内选一点内选一点A A向另一平面向另一平面 作垂线作垂线ABAB，垂足为，垂足为B B，再过点，再过点B B向棱向棱a a作垂线作垂线BOBO，垂足，垂足 为为O O，连结，连结AOAO，则，则AOBAOB就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。3、垂面法、垂面法:过二面角内一点过二面角内一点A作作AB 于于B，作，作AC 于于C，面，面ABC交棱交棱a于点于点O，则，则BOC就是二面角的平面角
10、。就是二面角的平面角。aABCO2、三垂线法、三垂线法:ABOa 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）找出二面角A1-BD-A；(2)找出二面角A1-BD-B1；.（3）E是BB1的中点，找出平面A1DE与平面ABCD所成锐角D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DE PABCD过过E作作EDPC于于D，则则BDE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。连结连结BD，过过B作作BEAC于于E，E ABC为正为正，BE=在在RtPAC中，中，E为为AC中点，中点，则则DE=在在RtDEB中中tan BDE=BDE=arctan 例例1:已知正三角形已知正三角形ABC，PA面面AB
11、C，且，且PA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-B的大小。的大小。三垂线法三垂线法:练习练习3：三棱锥：三棱锥P-ABC中，中，PA 平面平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角）求二面角P-BC-A的的大小；大小；（2）求二面角）求二面角A-PC-B的大的大小。小。PABCDE若若ABCABC是是PBCPBC在平在平面面ABCABC的投影，则二面的投影，则二面角角满足：满足：求二面角的大小，先求出两个半平面的法向求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。互补求出二面角的大小
12、。mn如图：二面角的大小等于如图：二面角的大小等于-2、平面法向量法、平面法向量法:2、平面法向量法、平面法向量法:求二面角的大小，先求出两个半平面的法向求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。互补求出二面角的大小。mn如图：二面角的大小等于如图：二面角的大小等于例例4:在底面是直角梯形的四棱在底面是直角梯形的四棱锥锥SABCD中，中，ABC=90，SA面面ABCD，AD=SA=AB=BC=1，求面求面SCD与面与面SBA所成的二面角的余弦所成的二面角的余弦值值大小大小.xyz解：以解：以A为原点，如图为原点，如图 建立空间直角坐标系。建立空间直角坐标系。翻折问题翻折问题