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1、函数的单调性函数的单调性长子县第一中学长子县第一中学霍晓妍霍晓妍xyy=2xO 112-12-1-2-2yy= -2xO 112-12-1-2-2x一、引入课题一、引入课题上一节我们研究了函数的定义，函数的三要素，上一节我们研究了函数的定义，函数的三要素，这节课我们研究函数的性质这节课我们研究函数的性质问题问题1：分别作出函数：分别作出函数y=2x，y=-2x和和y=x2+1的图的图象，并且观察函数变化规律？象，并且观察函数变化规律？ 图像的上升和下降反映了函数的重要性质图像的上升和下降反映了函数的重要性质-单调性单调性问题问题 2：是否每个函数图像不是上升就是下降？是否每个函数图像不是上升就
2、是下降？ 单调性是局部性质单调性是局部性质xyy=x2+1O11那说明函数的单那说明函数的单调性不是针对于调性不是针对于整个定义域而言整个定义域而言的。它是针对于的。它是针对于定义域上的子集定义域上的子集而言的，也就是而言的，也就是区间区间。 xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性问题三问题三： 以以y y= =x x2 2+1+1在在 (0(0，+ +) )上为例，如上为例，如何用精确的数学语言何用精确的数学语言来描述函数的这种变来描述函数的这种变化势化势？教师引导在教师引导在(0(0，+ +) )即在即在y y轴的右轴的右侧图像从左向右看图像是上升的，侧图像从左向右看图像是上升的，
3、从左向右从函数的角度看自变量在从左向右从函数的角度看自变量在增大，图像上升说明函数值也在上增大，图像上升说明函数值也在上升。升。总结起来在总结起来在y y轴的右（轴的右（左左）侧）侧函数值随自变量的增大而增大（函数值随自变量的增大而增大（减减小小） 为了说明这个变化趋势，我为了说明这个变化趋势，我们不妨在们不妨在y y轴右侧任取两个自轴右侧任取两个自变量变量x1 1，x2 2 ，当，当x1 1 x2 2则则f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )就说那就说那 y=xy=x2 2+1+1在区间在区间(0(0，+ +) )上是上是增函数增函数, (0, (0，+ +) ) 是是增区间增区间x
4、yy=x2+1O11xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性实现实现图形语言图形语言文字语言文字语言符号语言符号语言随着？随着？增大？增大？任取？任取？xyy=x2+1O11xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性1 1、函数单调性定义、函数单调性定义定义内容设函数y= f (x)的定义域为A，区间I如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 ，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2),那么就说y= f (x) 在区间I上是增函数,I称为y= f (x)单调增区间。 我请一位同学我请一位同学研究一下研究一下y y轴左侧轴左侧的图像分别用图的图像分别用图形、文字、符号形、文字、符号描述
5、一下图形的描述一下图形的变化趋势。总结变化趋势。总结函数单调性的定函数单调性的定义。义。 单调增函数单调增函数单调减单调减函函数数数量数量特征特征数量数量特征特征从左向像右，图上从左向像右，图上升升从左向像右，从左向像右，图下降图下降数量数量特征特征y y随随x x的增大而增大的增大而增大y y随随x x的增大而的增大而减小减小 函数的单调性定义：函数的单调性定义： 设函数设函数y y= f = f ( (x x) )的定义域为的定义域为A A，区间区间I I含于含于A A 如果对于区间如果对于区间I I内的内的任意任意两个值两个值x1 1，x2 2 ，当，当x1 1 x2 2 时，时，都有都
6、有f( (x1 1) ) f( (x2 2),),那么就说那么就说y= f (x) 在在区间区间I I上是增函数上是增函数,I,I称为称为y= f (x)单调增区间。单调增区间。 如果对于区间如果对于区间I I内的内的任意任意两个值两个值x1 1，x2 2 ，当，当x1 1 x2 2时，时，都都有有f( (x1 1) ) f( (x2 2),),那么就说那么就说y= f (x) 在在区间区间I I上是增函数上是增函数, ,I I称为称为y= f (x)单调增区间。单调增区间。（1）函数的）函数的单调性单调性也叫函数的也叫函数的增减性增减性；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个）函数的单
7、调性是对某个区间而言的，它是个局部概念局部概念 。这个区间是定义域的。这个区间是定义域的子集子集。（3）单调区间：针对自变量）单调区间：针对自变量 x 而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则若函数在此区间上是增函数，则区间区间为单调递为单调递增增区间区间 若函数在此区间上是减函数，则若函数在此区间上是减函数，则区间区间为单调递为单调递减减区间区间判断函数单调性的方法：判断函数单调性的方法： 1 1、图图象法象法 2 2、定、定义义法法证证法法 证明函数的单调性常用步骤证明函数的单调性常用步骤 (1) (1)取取值值；任取；任取两个值两个值 x1x1，x2x2且且x1 x2x1 x2 (
8、2)(2)作差作差变变形形 (3) (3)定定号号 (4)(4)结论结论例例1 1：证明函数证明函数 在（在（0 0，+ + ）上是增函数）上是增函数1)(2 xxf 证明：任取证明：任取 且且), 0(,21 xx21xx 012xxx)()(12xfxfy) 1() 1(2122xx2122xx)(1212xxxx002112xxxxx，0)()(12xfxfy函数函数 在（在（0 0，+ + ）上是增函数）上是增函数1)(2 xxf问题四问题四：能否说：能否说f f( (x x)= )= 在它的定义域上是减函数？在它的定义域上是减函数？x1学生提出反例，得到结论学生提出反例，得到结论进一
9、步提问：进一步提问：函数在定义域内的两个区间函数在定义域内的两个区间A A, ,B B上都是增（减）函数，上都是增（减）函数，何时函数在何时函数在A AB B上也是增上也是增（减）函数（减）函数 yOxx1y oxyOxyOo拓展探究：拓展探究：已知已知函数函数)0( ,)0( ,)(2xaxxxxf是是（-，+）上的增函数，）上的增函数，求求a a的取值范围的取值范围 何何时满时满足任意性足任意性回回归归定定义义xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性1 1、函数单调性定义、函数单调性定义定定义内义内容容2 2、函数单调性证明、函数单调性证明例例1 1：证证明明过过程程断号断号设元设元
10、变形变形作差作差定论定论例例2 2：判断函数判断函数 在（在（0 0，+ +）上的单调性）上的单调性xxxf1)( 进一步提问：进一步提问：如果把（如果把（0 0，+）条件去掉，如何解这道题？）条件去掉，如何解这道题？（作业）（作业） 课标中指出课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。出发，寻求方法，并体会转化思想。作业（作业（1 1、2 2、4 4必做，
11、必做，3 3选做）选做）1 1、证明：函数、证明：函数 在区间在区间00，+ +) )上上 是增函数。是增函数。2 2、课上思考题、课上思考题3 3、求函数、求函数 的单调区间的单调区间4 4、思考、思考P46 P46 探索与研究探索与研究xxf)(xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性1 1、函数单调性定义、函数单调性定义定定义内义内容容2 2、函数单调性证明、函数单调性证明例例1 1：证证明明过过程程断号断号设元设元变形变形作差作差定论定论 本节课以二次函数本节课以二次函数y y= =x x2 2+1+1为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将成、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用定义进行应用单调性定义单调性定义谢谢！