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1、2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1设非零实数，满意则的值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解答】由已知得，故于是，所以2已知，是实常数，关于的一元二次方程有两个非零实根，则下列关于的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解答】由于是关于的一元二次方程，则因为，且，所以，且 ，（第3题）于是依据方程根与系数的关系，以，为两个实根的一元二次方程是，即3如图，在RtABC中，已知O是斜边AB的中点，CDAB，垂足为D，DEOC，垂足为E若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不肯定是有理数的为（ ）（A
2、）OD（B）OE（C）DE（D）AC【答案】D【解答】（第3题答题）因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OAOBOC是有理数于是，ODOAAD是有理数由RtDOERtCOD，知，都是有理数，而AC不肯定是有理数（第4题）4如图，已知ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，DCFE是平行四边形，则图中阴影局部的面积为（ ）（A）3（B）4（C）6（D）8【答案】C【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE/CF，且EF/DC（第4题答题）连接CE，因为DE/CF，即DE/BF，所以SDEB = SDEC，因此原来阴影局部的面积等于ACE的面积连接AF，因为EF/
3、CD，即EF/AC，所以SACE = SACF因为，所以SABC = 4SACF故阴影局部的面积为65对于随意实数x，y，z，定义运算“*”为：，且，则的值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解答】设，则，于是二、填空题6设，b是的小数局部，则的值为 【答案】【解答】由于，故，因此（第7题）7如图，点D，E分别是ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知CDF，BFE，BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 【答案】【解答】如图，连接AF，则有：（第7题答题），解得，所以，四边形AEFD的面积是8已知正整数a，b，c满意，则的最大值为 【答案】【解答】由已
4、知，消去c，并整理得由a为正整数及66，可得1a3若，则，无正整数解；若，则，无正整数解；若，则，于是可解得，（i）若，则，从而可得；（ii）若，则，从而可得综上知的最大值为9实数a，b，c，d满意：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，则全部满意条件的数组为 【答案】，（为随意实数）【解答】由韦达定理得由上式，可知若，则，进而若，则，有（为随意实数）经检验，数组与（为随意实数）满意条件10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元开场时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元则他至少卖出了 支圆珠笔【答案】20
5、7【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则所以，于是是整数又，所以，故y的最小值为207，此时12设的外心，垂心分别为，若共圆，对于全部的，求全部可能的度数【解答】分三种状况探讨（i）若为锐角三角形因为，所以由，可得，于是5分（第12题答题（ii）（第12题答题（i）（ii）若为钝角三角形当时，因为，所以由，可得，于是。10分当时，不妨假设，因为，所以由，可得，于是15分（iii）若为直角三角形当时，因为为边的中点，不行能共圆，所以不行能等于；当时，不妨假设，此时点B与H重合，于是总有共圆，因此可以是满意的全部角综上可得，全部可能取到的度数为全部锐角及20分13设，是素数，记，
6、当时，能否构成三角形的三边长？证明你的结论【解答】不能依题意，得因为，所以又由于为整数，为素数，所以或，10分当时，进而，与，是素数冲突；15分当时，所以，不能构成三角形的三边长20分14假如将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）求正整数n的最小值，使得存在互不一样的正整数，满意对随意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数【解答】若n6，取1，2，7，依据抽屉原理知，必有中的一个正整数M是7的公共的魔术数，即7|()，7|()则有7|()，但06，冲突故n710分又当为1，2，7时，对随意一个正整数m，设其为位数（为正整数）则（，7）被7除的余数两两不同若不然，存在正整数，7，满意7|(，即，从而7|，冲突故必存在一个正整数7，使得7|(，即为m的魔术数所以，n的最小值为720分