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1、全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案一、选择题1D 解：第 k 行的最后一个数是，故第 100行的最后一个数是2. B 解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3 4=12种选择 .3B 解： 由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式0，且为完全平方数0，又 2，所以，当时，解得；当时，解得4. C 解：当函数为二次函数时，有k2 10，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页=(k+1)24(k21) 0. 解得 k，或 k 1当函数为一次函数时，k=1
2、，此时 y=2x+1与 x 轴有公共点，不符合题意当函数为常数函数时，k=1，此时 y=1与 x 轴没有公共点 . 所以， k 的取值范围是k，或 k 1. 5. B （第 5题）解： 如图，设，作BKCE，则，于是 A，B，E，C 四点共圆 . 因为是的中点，所以，从而有，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页即平分. 二、填空题6. 30 （第 6题）解： 如图，连接PD，则7 180 解： 设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z 米，由题意知，消去 z，得设甲车出发后t 分钟追上乙车，则，即精选学习资料 -
3、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页，解得8解： 由 an=， 得a1+a2+a2012=1. 925解： 设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有19，且，（1）即，（2）于是因此中必有一个取5不妨设，代入（ 1）式，得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页此时， y 可取 1， 2， 8，9（相应地z取 9，8， 2，1） ，共 9种放法同理可得y=5，或者 z=5时，也各有 9种放法但时，两种放法重复因此共有932 = 25种放法10. 6 （第
4、 10题）解： 如图，设 ABC 内切圆为 I，半径为 r，I 与 BC，CA，AB 分别相切于点D，E，F，连接 IA，IB，IC，ID ，IE，IF. 由切线长定理得AF=pa， BD=pb，CE=pc，其中 p=(a+b+c). 在 RtAIF 中， tanIAF=，即tan. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页同理，tan， tan. 代入已知等式，得. 因此a+c=. 三、解答题11. 解： 已知，又，且，所以 b，c 是关于 x 的一元二次方程的两个根 . 故0，0，即0，所以20精选学习资料 - -
5、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页于是 -10 ，10，从而10，故30，当时，等号成立12. 解： 将 abc=d 代入 10ab+10bc+10ca=9d 得10ab+10bc+10ca=9abc. 因为 abc0，所以，. 不妨设 abc，则0. 于是，即，a. 从而， a=2，或 3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页若 a=2，则. 因为，所以，b5. 从而， b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去 )，5. 当 a=2，b=3，c=15
6、时， d=90；当 a=2，b=5，c=5时， d=50. 若 a=3，则. 因为，所以，b. 从而， b=2（舍去），3. 当 b=3时， c=(舍去 ). 因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2， 15，3， 90)，(3，2，15，90)，(3， 15，2， 90)，(15，2， 3，90)，(15，3，2，90)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页(2， 5，5，50)， (5，2，5，50)，(5，5，2，50). 13. 证明： 延长 DA 至，使得，则，于是DPC，故，所
7、以 PO（第 13题）又因为 DPO ，所以同理可得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页而 ABCD，所以，故 OPOQ14. 解： （1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在 .由题设（整数 1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页故不存在这样的数列. （3）如果删去的是1，或者是，则由（ 2）知，或数列均为 1，1，1，即，
8、这与题设矛盾 . 如果删去的是， 得到的一列数为， 那么，可得. 如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得. 所以符合题设要求的的值为 1，或. 2012-04-16 人教网2012年全国初中数学竞赛试题（副题）题号一二三总分156101112 1314得分评卷人复查人答题时注意：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共 35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请
9、将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（） （A）10000 （B） 10020 （C）10120 （D）10200 2. 如图，在 34表格中，左上角的11小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（） （A）11 （B）12 （C）13 （D）14 （第2题）3如果关于的方程有两个有理根， 那么所有满足条件的正精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页整数的个数是（） （A）1 （B）2 （C）3
10、（D）4 4. 若函数 y=（k21）x2（ k+1）x+1（k 为参数）的图象与x 轴没有公共点，则 k 的取值范围是（） （A）k，或 k 1 （B） 1k，且 k1 （C） k，或 k 1 （D）k，或 k 1 5. ABC 中，分别为上的点，平分，BM=CM ，为上一点，且，则与的大小关系为（） （A）（B）（C）（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共 35分）6. 如图，正方形ABCD 的面积为 90点 P 在 AB 上，； X，Y，Z 三点在BD 上，且，则 PZX 的面积为（第 6题）7甲、乙、丙三辆车都匀速从A 地驶往 B 地乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追
11、上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页8. 设 an=（n 为正整数），则 a1+a2+a2012的值1. （填“”，“”或“”）9红、黑、白三种颜色的球各10个把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法10. ABC 中，已知，且 b=4， 则 a+c= . 三、解答题（共4题，每题 20分，共 80分）11. 已知 cba，且，求的最小值12. 求关于
12、a，b，c，d 的方程组的所有正整数解. 13. 如图，梯形ABCD 中，AB CD，AC，BD 相交于点 OP，Q 分别是 AD，BC 上的点，且，求证： OPOQ（第 13题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页14.（1）已知 1, 1+a,1+2a 三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值 . （2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页