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1、2013 年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案第一试一、选择题此题总分值42 分，每题7 分1.计算4 32 24124 2BA21B1 C2D 2 2.满足等式2221mmm的所有实数m的和为 AA3 B4 C5 D6 3.已知 AB是圆 O 的直径，C为圆 O 上一点，15CAB，ABC的平分线交圆O 于点 D，假设3CD，则 AB=AA2 B6C2 2D 3 4.不定方程23725170 xxyxy的全部正整数角x,y的组数为 BA1 B2 C3 D4 5 矩形 ABCD的边长 AD=3，AB=2，E为 AB 的中点，F 在线段 BC上，且 BF：FC=1：2，AF分别与 DE，DB 交
2、于点 M，N，则 MN=CA3 57B5 514C9 528D11 5286.设 n 为正整数，假设不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为BA33 B34 C2013 D2014 二、填空题此题总分值28 分，每题7 分1.已知实数,x y z满足4,129,xyzxyy则23xyz4 2.将一个正方体的外表都染成红色，再切割成3(2)nn个相同的小正方体，假设只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n=8 3.在ABC中，60,75,10ACAB，D，E，F分别在 AB，BC，CA 上，则DEF的周长最小值为5 6
3、4.如果实数,x y z满足2228xyzxyyzzx，用 A 表示,xyyzzx的最大值，则A 的最大值为4 63第二试 A一、此题总分值20 分已知实数,a b c d满足2222223236,acbdadbc求2222abcd的值。解：设2222,mabncd，则222223223312.mnabcd因为2223232424mnmnmnmn，即21224mn，所以6mn1又因为222222222222mnabcda cb da db c2由1，2 可得6.mn即22226abcd注：符合条件的实数,a b c d存在且不唯一，62 32,1,33abcd就是一组。二、此题总分值25 分已
4、知点C在以 AB 为直径的圆O 上，过点B、C作圆 O 的切线，交于点 P，连 AC，假设92OPAC，求PBAC的值。解：连 OC，因为 PC，PB为圆 O 的切线，所以POC=POB。又因为 OA=OC，所以 OCA=OAC。又因为 COB=OCA+OAC，所以 2POB=2 OAC，所以 POB=OAC，所以 OP AC。又 POB=OAC，所以BACPOB，所以ACABOBOP。又92OPAC，AB=2r，OB=rr 为圆 O 的半径，代入可求得OP=3r,AC=23r.在Rt POB中，由勾股定理可求得222 2PBOPOBr。所以2 23 223PBrACr。三、此题总分值25 分
5、已知t是一元二次方程210 xx的一个根，假设正整数,a b m使得等式31atmbtmm成立，求ab的值。解：因为t是一元二次方程210 xx的一个根，显然t是无理数，且21tt。等式31atmbtmm即2231abtm ab tmm，文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q
6、4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文
7、档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q
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10、4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文
11、档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4文档编码:CO4V6V3Z7K8 HP6Q4K1U7Y7 ZB6P4M6M1N4即2131abtm ab tmm，即2310.m abab tabmm因为,a b m是正整数，t是无理数，所以20,31
12、0,m abababmm于是可得231,31.abmabmm因此，,a b是关于x的一元二次方程2231310 xmxmm的两个整数根，该方程的判别式22314 313131 50.mmmmm又因为,a b是正整数，所以310abm，从而可得310.5m又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有6m符合要求。把6m代入可得231150.abmm第二试 B一、此 题 总 分 值20分 已 知21t，假 设 正 整 数,a b m使 得 等 式17atmbtmm成立，求ab的值。解：因为21t，所以232 2.t等式17atmbtmm即2217,abtm ab tmm即232 22117abm
13、abmm，整理得2223170m abababm abmm于是可得22 17,17.abmabmm因此，,a b是关于x的一元二次方程222(17)170 xmxmm1 的两个整数根，方程1 的判别式224174 174 171720.mmmmm又因为,a b m是正整数，所以2 170abm，从而可得1702m又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有8m符合要求，把8m代入得21772abmm。文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 H
14、I5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8
15、F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 H
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17、F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 H
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19、F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 H
20、I5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3二、此题总分值25 分在ABC中，ABAC，O、I分别是ABC的外心和内心，且满足AB-AC=2OI。求证：1OIBC；22AOCAOBAOISSS。证明 1作 OMBC于 M，IN BC于 N。设 BC=a，AC=b，AB=c。易求得 CM=12a，CN=12abc，所以 MN=CM-CN=12cb=OI，又 MN 恰好是两条平行线OM，IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平行线OM，IN 之间的垂线段，所以OI MN，所以 OIBC。2由 1知 OMNI 是矩形，连接BI，CI，设 OM=IN=r即为ABC的内切圆半径，则11112222221
21、122.22AOCAOBAOICOIAICAIBAOIBOIAOIBOICOIAICAIBAOIAOIAOISSSSSSSSSSSSSSOIrOIrAC rAB rSrOIbcS三、此题总分值25分假设正数,a b c满足2222222222223222bcacababcbccaab，求代数式222222222222bcacababcbccaab的值。解：由于,a b c具有轮换对称性，不妨设0.abc1假设cab，则0,0cabcba，从而得：2222211,22cbabcabcbc2222211,22cabcabcaca文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B
22、3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B
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24、3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B
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27、9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B
28、3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F32222211,22abcabaabab所以2222222222223222bcacababcbccaab，与已知条件矛盾。2假设cab，则0,0cabcba，从而可得：22222011,22cbabcabcbc22222011,22cabcabcaca22222011,22abcabcabab2222211,22abcabaabab所以2222222222223222bcacababcbccaab，与已知条件矛盾。综合 1
29、2可知：一定有.cab于是可得2222222221,1,1222bcacababcbccaab所以2222222221.222bcacababcbccaab文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7S5U6G7 ZM9Y8B3F8F3文档编码:CD7J3N9U4B9 HI5G7
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