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1、装号号考考订名名姓姓线校校学学20112011 年初中数学竞赛训练题年初中数学竞赛训练题（适合阶段：初中三年级）时间：100 分钟满分：120 分题号题号一一二二三三总分总分得分得分一、填空填空（每空 2 分，共 20 分）1、已知m n 5，m2 n213，那么m4 n4=.2、如图 1 以 AB 为直径画一个大半圆，BC2AC，分别以AC，CB 为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于 .3、加油站 A 和商店 B 在马路 MN 的同一侧（如图 2），A 到 MN 的距离大于 B 到 MN 的距离，AB7 米，一个行人 P在马路 MN 上行走，问：当 P 到
2、A 的距离与 P 到 B 的距离之差最大时，这个差等于米.4、图 3 中有 个正方形，有个 三角形.图 3图 1图 25、在平面直角坐标系中，点Pm(m 1)，m 1（m为实数）不可能在第象限.6、某校组织师生春游，如果单独租用 45 座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用 60 座客车，可以少租一辆，且余 30 个座位。则该校去参加春游的人数为；若已知 45 座客车的租金为每辆 250 元，60 座客车租金为每辆 300 元，这次春游同时租用这两种客车，其中60 座客车比 45 座客车多租 1 辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金元.7、如图 4，P 是平行四边形 ABCD 内
3、一点，且 SPAB5，SPAD2，则阴影部分的面积为 .8、如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，DCc（a+b）=170，那么abc的值是（）.P（A）672（B）688（C）720（D）750AB二、简答下列各题简答下列各题（第 9、10 题各 8 分，第11 题 9 分，第12、13、14 题各 10 分，共55 分，要求写出简略过程）9、已知a，b，c都是整数，当代数式7a 2b 3c的值能被 13 整除时，那么代数式5a 7b 22c的值是否一定能被 13 整除，为什么？10、如图 5 所示，在四边形ABCD中，AM MN ND，BE EF FC，四边
4、形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别记为S和SS21，S23，求S=？（提示：连接AE、EN、NC和AC）1 S3图 511、已知n是正整数，且2n1与3n1都是完全平方数.是否存在n，使得5n3是质数？如果存在，请求出所有n的值；如果不存在，请说明理由.图 412、某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3 成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上 2 成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码的33倍。问这家原来的电话号码是多少？13、图6 是一个 99 的方格图，由粗线隔为9 个横竖各有 3 个格的“小九宫”格，其中，有一些
5、方格填有1 至 9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9 的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9 位数.请写出这个 9 位数，简单说明理由.图 614、平面上有6 个点，其中任何3 个点都不在同一条直线上，以这6 个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）三、详答下列各题详答下列各题（每题 15 分，共 45 分，要求写出详细过程）15、壮壮、菲菲、路路
6、出生时，他们的妈妈都是 27 岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小 29 岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36 岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35 岁”.已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6 个人年龄的总和是 105 岁.请回答：谁是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？16、请回答：1能否表示为 3 个互异的正整数的倒数的和？188能否表示为 3 个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由.17、甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑
7、第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了.已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点 190 米，问：这条椭圆形跑道长多少米？参考答案参考答案一、填空填空题号题号12345678答案答案97795，155二270，14003C二、简答题简答题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9、解：设x，y，z，t是整数，并且假设5a 7b 22c x(7a 2b 3c)13(ya zb tc)比较上式a，b，c的系数，应当有7x 13y 52x 13z 73x 13t 22取x 3，可以得到y 2，z 1，t 1，则有13(2a b c)3
8、(7a 2b 3c)5a 7b 22c既然3(7a 2b 3c)和13(2a b c)都能被 13 整除，5a 7b 22c就能被 13 整除.【说明说明】5a 7b 22c表式为均能被 13 整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取x 10，则有y 5，z 1，t 4，则有5a 7b 22c 10(7a 2b 3c)13(5a b 4c)；实际上，是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到x 313k，y 2 7k，这里k是任意整数，将x 313k代入其余方程，解得z 1 2k，t 13k，这里k是任意整数，则可以有5a 7b 22c (313k)(7a 2b 3c)13(2
9、7k)a (1 2k)b (13k)c.10、解：如图 5a，连接AE、EN和NC，易知由SAEM SMEN，SCNF SEFN两个式子相加得SAEM SCNF S2并且四边形AECN的面积=2S2.连接AC(如图 5b)由三角形面积公式，易知S1ABE2S1AEC，SCDN2SCNA，两个式子相加得S1ABE SCDN2S四边形 AECN=S2将式和相加，得到SAEM SCNF SABE SCDN 2S2，既然SAEM SABE S1，SCNF SABE S3，因此S1 S3 2SS22，SS1.13211、解：不存在正整数n，使得5n3是质数。理由如下：设2n 1 k2，3n 1 m2，其
10、中k，m图都是正整数，则5b5n 3 4(2n 1)(3n 1)4k2 m2(2k m)(2k m).若2k m 1，则5n3不是质数；若2k m 1，则5n3 2k m 2m1于是(m 1)2 m2 2m 1 m2(2m 1)2 (3n 1)(5n 3)2 2n 0，矛盾.综上所述，不存在正整数n，使得5n3是质数.12、解：设原电话号码为abcdef，则升位后为2a3bcdef，令x bcdef，33abcdef 2a3bcdef，即33(100000a x)203000001000000a x，化简得32x 203000002300000a(1 a 9，0 x 100000的整数），故0
11、 x 3125(20323a)100000，171 23a 203，a 8.于是x 3125(203238)59375.故所求的电话号码为 859375.13、解答：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格.第七行、第八行和第 3 列有 9，所以，原题图 6 左下角的“小九宫”格中的 9 应当填在（9，2）格子中；第 1 列、第 2 列和第七行有数字 5，所以，在图 6 右下角的“小九宫”格中的数字5 只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字 6，图 6 中下部的“小九宫”格的数字6 应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7 和 3，由于第 9 列有数字 7，所图 6
12、a以，7 应当填在（9，8）；3 自然就填在（9，9）了，填法见图 6a.九位数是 495186273.14、解答：（1）先从6 个点中选取 1 个做三角形的一个顶点，有6 种取法；再从余下的5 个点中选取 1 个做三角形的第二个顶点，有5 种取法；再从余下的4 个点中选取 1 个做三角形的第三个顶点，有4 种取法.因为任何 3 个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1 个三角形.但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有 321=6 种，所以，以这 6 个点为顶点可以构造654321 20个不同的三角形.（2）每个三角形有 3 个顶点，所以，6 个点
13、最多只能构造 2 个没有公共顶点的三角形.（3）用英文大写字母 A、B、C、D、E、F 记这 6 个点，假设可以选出两两没有公共边的 5 个三角形，它们共有 15 个顶点，需要15 个英文大写字母.这里不同的英文大写字母仅有6 个.因此，这5 个三角形中至少有 3 个三角形有同一个顶点，无妨设为 A.根据假设，这 3 个三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A 之外，其余 6个顶点互不相同，即表示这6 个顶点的字母不相同.但是，除A 之外，我们仅有5 个不同的字母.所以，不可能存在 5 个三角形，它们两两没有公共边.又显然ABC，ADE，BDF和CEF这 4 个三角形两两没有公共边.所以，最多可
14、以选出 4 个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边.三、解答题解答题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）15、解：设刘芳的年龄为x岁.刘芳和路路的年龄和是36 岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳.注意到菲菲比刘芳小 29 岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳.壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为(2x 27)路路(36 x)岁，他的妈妈应当是(36 x 27)岁，和为(99 2x)菲菲(x 29)岁，她的妈妈应当是(x 29 27)岁，和为(2x 31)由于 6 个人共 105 岁，所以，(2x 27)(99 2x)(2
15、x 31)105.解出 x=32,菲菲比刘芳小 29 岁，所以菲菲 3 岁；路路和刘芳的年龄的和是 36，路路 4 岁；路路和王雪的年龄的和是 35 岁，所以王雪 31 岁.答：王雪是路路的妈妈；壮壮5 岁、菲菲 3 岁和路路 4 岁.16、解：（1）由于1213161，故有1818111112361624148.所以，18能表示为 3 个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）.（2）不妨设a bc，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足11811a2b2c2由a bc，则有111c2b2a2，从而111138a2b2c2a2,所以a2 24.又有181a2，所以a28，故a29或 16.若a2
16、9，则有11bc1819172，由于1721211122b2，并且b2b2c272，所以b2 72，72 b2144.281，100 或 121.将b281、100 和 121 分别代入c272b2故bb2 72，没有一个是完全平方数，说明当a29时，18111a2b2c2无解.若a216，则11111b2c281616.类似地，可得：16b232，即b2 25，此时，c216b21625b2169不是整数.综上所述，18不能表示为 3 个互异的完全平方数的倒数之和.17、解：让我们画两个示意图(上图)，并设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是a。再设跑道长是L，则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为L。甲跑完第一圈，乙跑了L，乙再跑余下的L，甲已折返，且以(1)的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了，这时，乙折返并以(1 十)的速度跑着。从这时起，甲、乙速度之比是，即 53。所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的 的，而乙跑了它的，即第二次相遇时距出发点。可见两次相遇点间的距离是L190(米)，即L190(米)，L400(米)答：跑道长为 400 米