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1、第 1 页 共 5 页 2013 年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分.每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）1设非零实数 a，b，c，满足 a2b+3c02a3b+4c0则ab+bc+caa2+b2+c2的值为（）（A）12 （B）0 （C）12 （D）1 2已知 a，b，c 是实常数，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个非零实根 x1，x2，则下列关于 x的一元二次方程中，以1 x12，1 x22为两个实根的是（）（A）c
2、2x2+(b22ac)x+a2=0 （B）c2x2(b22ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b22ac)xa2=0 （D）c2x2(b22ac)xa2=0 3如图，在 RtABC 中，已知 O 是斜边 AB 的中点，CDAB，垂足为 D，DEOC，垂足为 E，若 AD，DB，CD 的长度都是有理数，则线段 OD，OE，DE，AC 的长度中，不一定是有理数的为（）（A）OD （B）OE （C）DE （D）AC 4 如图，已知ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）（A）3 （B）4
3、（C）6 （D）8 5对于任意实数 x，y，z，定义运算“*”为：xy=3x3y+3x2y2+xy3+45(x+1)3+(y+1)360，且xyz=xyz（），则201320123 2 的值为（）（A）607967 （B）1821 967 （C）5463 967 （D）16389 967 二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6设 a=33，b 是 a2的小数部分，则(b+2)3的值为_ 7如图，点 D，E 分别是ABC 的边 AC，AB 上的点，直线 BD 与 CE 交于点 F，已知CDF，BFE，BCF 的面积分别为 3，4，5，则四边形 AEFD 的面积是_ 8已知正整
4、数 a，b，c 满足 a+b22c2=0，3a28b+c=0，则 abc 的最大值为_ 9实数 a，b，c，d 满足：一元二次方程 x2+cx+d=0 的两根为 a，b，一元二次方程 x2+ax+b=0 的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为_ 10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售 4 元，圆珠笔每支售 7 元开始时他有铅笔和圆珠笔共 350 支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是 2013 元，则他至少卖出了_支圆珠笔 三、解答题（共 4 题，每题 20 分，共 80 分）11如图，抛物线 y=ax2+bx3，顶点为 E，该抛物线与x轴交于 A，B 两点，与
5、y轴交于点 C，且OB=OC=3OA，直线 y=13x2+1 与y轴交于点 D，求DBCCBE A D B C O y x E A B C F D E（第 4 题)A B C E D（第 7 题)A B C O D E（第 3 题)第 2 页 共 5 页 12设ABC 的外心，垂心分别为 O，H，若 B，C，H，O 共圆，对于所有的ABC，求BAC 所有可能的度数 13设 a，b，c 是素数，记 x=b+ca，y=c+ab，z=a+bc，当 z2=y，x y=2 时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论 14如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称
6、M 为 m 的“魔术数”（例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数）求正整数 n的最小值，使得存在互不相同的正整数 a1，a2，an，满足对任意一个正整数 m，在 a1，a2，an中都至少有一个为m的魔术数 第 3 页 共 5 页 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1【答案】A 【解答】由已知得(234)(23)0abcabcabc，故2()0abc于是2221()2abbccaabc，所以22212abbccaabc 2【答案】B 【解答】由于20axbxc是关于x的一元二次方程，则0a 因为12bxxa
7、，12cx xa，且120 x x，所以0c，且 221212222221212()2112xxx xba cxxx xc，22221211axxc，于 是 根 据 方 程 根 与 系 数 的 关 系，以211x，221x为 两 个 实 根 的 一 元 二 次 方 程 是222220bacaxxcc，即2222(2)0c xbac xa 3【答案】D 【解答】因 AD，DB，CD 的长度都是有理数，所以，OAOBOC2ADBD是有理数于是，ODOAAD 是有理数 由 RtDOERtCOD，知2ODOEOC，DC DODEOC都是有理数，而 ACAD AB不一定是有理数 4【答案】C 【解答】因
8、为 DCFE 是平行四边形，所以 DE/CF，且 EF/DC 连接 CE，因为 DE/CF，即 DE/BF，所以 SDEB=SDEC，因此原来阴影部分的面积等于ACE 的面积 连接 AF，因为 EF/CD，即 EF/AC，所以 SACE=SACF 因为4BCCF，所以 SABC=4SACF故阴影部分的面积为 6 5【答案】C 【解答】设2013 20124m，则 2013 2012433m 32323339274593316460mmmmmm ，于是2013 2012329 23223333 923 929245546310360967 二、填空题 6【答案】9 【解答】由于2123aa，故3
9、2292ba，因此333(2)(9)9b 7【答案】20413 【解答】如图，连接 AF，则有：45=3AEFAEFBFEBCFAFDAFDCDFSSSBFSSSFDS，354AFDAFDCDFBCFAEFAEFBEFSSSCFSSSFES，解得10813AEFS，9613AFDS 所以，四边形 AEFD 的面积是20413 8【答案】2013 【解答】由已知2220abc，2380abc消去 c，并整理得 228666baa由 a 为正整数及26aa66，可得 1a3 若1a，则2859b，无正整数解；若2a，则2840b，无正整数解；若3a，则289b，于是可解得11b，5b （i）若11
10、b，则61c，从而可得3 11 612013abc；（ii）若5b，则13c，从而可得3 5 13195abc 综上知abc的最大值为2013 9【答案】(12 12)，(00)，tt（t为任意实数）（第 3 题答题）（第 4 题答题）（第 7 题答题）（第 3 题）（第 4 题）第 4 页 共 5 页【解答】由韦达定理得，abcabdcdacdb 由上式，可知bacd 若0bd，则1dab，1bcd，进而2bdac 若0bd，则ca，有()(00)，a b c dtt（t为任意实数）经检验，数组(12 12)，与(00)，tt（t为任意实数）满足条件 10【答案】207 【解答】设 x，y
11、分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，xyxy 所以201371(5032)44yyxy，于是14y 是整数又20134()343503xyyy，所以204y，故 y 的最小值为 207，此时141x 三、解答题 11 如图，抛物线y 23axbx，顶点为 E，该抛物线与x轴交于 A，B 两点，与y轴交于点 C，且 OBOC3OA直线113yx 与y轴交于点 D 求DBCCBE【解答】将0 x 分别代入y 113x，23yaxbx知，D(0，1)，C(0，3)，所以 B(3，0)，A(1，0)直线y 113x过点 B 将点 C(0，3)的坐标代入y(1)(3)a xx，得
12、1a 抛物线223yxx的顶点为E(1，4)于是由勾股定理得 BC3 2，CE2，BE2 5 因为 BC2CE2BE2，所以，BCE 为直角三角形，90BCE 因此 tanCBE=CECB=13又 tanDBO=13ODOB，则DBOCBE 所以，45DBCCBEDBCDBOOBC 12 设ABC的外心，垂心分别为OH，若B C H O，共圆，对于所有的ABC，求BAC所有可能的度数【解答】分三种情况讨论（i）若ABC为锐角三角形 因为1802BHCABOCA，所以由BHCBOC，可得1802AA ，于是60A （ii）若ABC为钝角三角形 当90A 时，因为1802 180BHCABOCA，
13、所以由180BHCBOC，可得3 180180A，于是120A。当90A 时，不妨假设90B，因为2BHCABOCA ，所以由180BHCBOC，可得3180A，于是60A （iii）若ABC为直角三角形 当90A 时，因为O为边BC的中点，BCHO，不可能共圆，所以A不可能等于90；当90A 时，不妨假设90B，此时点 B 与 H 重合，于是总有BCHO，共圆，因此A可以是满足090A 的所有角 综上可得，A所有可能取到的度数为所有锐角及120 （第 11 题答题）（第 12 题答题（i）（第 12 题答题（ii）（第 11 题）第 5 页 共 5 页 13设a，b，c是素数，记xbcayc
14、abzabc，当2,2zyxy时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论【解答】不能 依题意，得111()()()222ayzbxzcxy，因为2yz，所以211(1)()()222z zayzzz 又由于z为整数，a为素数，所以2z 或3，3a 当2z 时，224(2)16yzxy，进而，9b，10c，与b，c是素数矛盾；当3z 时，0abc，所以a，b，c不能构成三角形的三边长 14如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 m 的“魔术数”（例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415
15、 的魔术数）求正整数 n的最小值，使得存在互不相同的正整数12naaa，满足对任意一个正整数 m，在12naaa，中都至少有一个为 m 的魔术数【解答】若 n6，取m 1，2，7，根据抽屉原理知，必有12naaa，中的一个正整数 M 是(1i j，ij7)的公共的魔术数，即 7|(10Mi)，7|(10Mj)则有 7|(ji)，但0ji6，矛盾 故 n7 又当12naaa，为 1，2，7 时，对任意一个正整数 m，设其为k位数（k为正整数）则10kim（1 2i ，7）被 7 除的余数两两不同若不然，存在正整数i，(1jij7)，满足7|(10)(10)kkjmim，即7|10()kji，从而 7|()ji，矛盾 故必存在一个正整数i(1i7)，使得 7|(10)kim，即i为 m 的魔术数 所以，n 的最小值为 7