《132杨辉三角与二项式系数的性质教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《132杨辉三角与二项式系数的性质教案.docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 32“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目的：学问与技能：驾驭二项式系数的四特性质。过程与方法：培育视察发觉，抽象概括及分析解决问题的实力。情感、看法与价值观：要启发学生仔细分析书本图151供应的信息，从特别到一般，归纳猜测，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。教学重点：如何敏捷运用绽开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何敏捷运用绽开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时一、复习引入：1二项式定理及其特例：（1），（2）.2二项绽开式的通项公式： 3求常数项、有理项和系数最大的项时，要依据通项公式探讨对的限制；求有理项时
2、要留意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：1二项式系数表（杨辉三角）绽开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2二项式系数的性质：绽开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等间隔 ”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴（2）增减性与最大值，相对于的增减状况由确定，当时，二项式系数渐渐增大由对称性知它的后半局部是渐渐减小的，且在中间获得最大值；当是偶数时，中间一项获得最大值；当是奇数时，中间两项，获得最大值（3）各二项式系数和：，令，则 三、讲解范例：例1在
3、的绽开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在绽开式中，令，则，即，即在的绽开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性质（3）及例1知.例2已知，求：（1）； （2）； （3）.解：（1）当时，绽开式右边为，当时，（2）令， 令， 得：， .（3）由绽开式知：均为负，均为正，由（2）中+ 得：， ， 例3.求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10绽开式中x3的系数解：=，原式中实为这分子中的，则所求系数为第二课时例4.在(x2+3x+2)5的绽开式中，求x的系数解：在(x+1)5绽开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5绽开式中，常数项为2
4、5=32，含x的项为 绽开式中含x的项为 ，此绽开式中x的系数为240例5.已知的绽开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求绽开式的常数项解：依题意 3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10设第r+1项为常数项，又 令，此所求常数项为180例6 设，当时，求的值解：令得：，点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例7求证：证（法一）倒序相加：设 又， 由+得：，即（法二）：左边各组合数的通项为， 例8在的绽开式中,求:二项式系数的和;各项系数的和;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;奇数项系数和与偶数项系数和
5、;的奇次项系数和与的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数,故在,中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.解：设(*),各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.二项式系数和为.令,各项系数和为.奇数项的二项式系数和为,偶数项的二项式系数和为.设,令,得到(1),令,(或,)得(2)(1)+(2)得,奇数项的系数和为;(1)-(2)得,偶数项的系数和为.的奇次项系数和为;的偶次项系数和为.点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区分开来,
6、“赋值法”是求系数和的常规方法之一.第三课时例9已知的绽开式的系数和比的绽开式的系数和大992,求的绽开式中:二项式系数最大的项;系数的肯定值最大的项.解：由题意,解得.的绽开式中第6项的二项式系数最大,即.设第项的系数的肯定值最大,则,得,即 ,故系数的肯定值最大的是第4项 例10已知：的绽开式中，各项系数和比它的二项式系数和大（1）求绽开式中二项式系数最大的项；（2）求绽开式中系数最大的项解：令，则绽开式中各项系数和为，又绽开式中二项式系数和为，（1），绽开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，（2）设绽开式中第项系数最大，则，即绽开式中第项系数最大，例11已知，求证：当为偶数时，能被
7、整除分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式 ，为偶数，设（）， （） ，当=时，明显能被整除，当时，（）式能被整除，所以，当为偶数时，能被整除三、课堂练习：1绽开式中的系数为 ，各项系数之和为 2多项式（）的绽开式中，的系数为 3若二项式（）的绽开式中含有常数项，则的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.84某企业欲实如今今后10年内年产值翻一番的目的，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ） A.低于5 B.在56之间 C.在68之间 D.在8以上5在的绽开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（ ）A.0 B. C. D.6求和：7求证：当且时，8求的绽开
8、式中系数最大的项 答案：1. 45, 0 2. 0 提示：3. B 4. C 5. D 6. 7. (略) 8. 四、小结 ：二项式定理表达了二项式的正整数幂的绽开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联络，涉及到二项绽开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进展逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时留意二项式定理的逆用 五、课后作业：P36 习题1.3A组5. 6. 7.8 B组1. 21已知绽开式中的各项系数的和等于的绽开式的常数项，而 绽开式的系数的最大的项等于，求的值答案：2设求： 答案：； 3求值：答案：4设，试求的绽开式中：
9、（1）全部项的系数和；（2）全部偶次项的系数和及全部奇次项的系数和答案：（1）； （2）全部偶次项的系数和为；全部奇次项的系数和为六、板书设计（略） 七、教学反思：二项绽开式中的二项式系数都是一些特别的组合数，它有三条性质，要理解和驾驭好，同时要留意“系数”与“二项式系数”的区分，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不肯定是中间项，尤其要理解和驾驭“取特值”法，它是解决有关二项绽开式系数的问题的重要手段。二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般状况；(a+b)n绽开后应有什么规律，这里nN，这
10、就是我们这节课“二项式定理”要探讨的内容.选择试验归纳的探讨方式，对(a+b)n一般形式的探讨与求数列an的通项公式有些类似，大家想想，求an时我们用了什么方法，学生：先写出前n项，再视察规律，揣测其表达式，最终用数学归纳法证明，教师：大家说得很正确，如今我们用同样的方式来探讨(a+b)4的绽开，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b)3绽开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后教师把计算过程总结为如下形式：(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a
11、3b+6a2b2+4ab3+b4.对计算的化算：对(a+b)n绽开式中的项，字母指数的改变规律是非常明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，教师：大家说的很对，这样一来绽开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发觉，但我们仍可用来表示，它这样一来(a+b)n的绽开形式就可写成(a+b)n=如今的问题就是要找的表达形式.为此我们要采纳抽象分析法来化简计算2007年高考题1（2007年江苏卷）若对于随意实数，有，则的值为（B）A B C D2（2007年湖北卷）假如 的绽开式中含有非零常数项，则正整数n的
12、最小值为A.3 B.5 C.6 D.10【答案】：B.【分析】：，（）。.【高考考点】：本题主要考察二项式定理的有关学问和整除的学问,以及分析问题和解决问题的实力.【易错点】：留意二项式定理的通项公式中项数与r的关系。【备考提示】：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的学问相综合。3（2007年江西卷）已知绽开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（C）4（2007年全国卷I）的绽开式中，常数项为，则（ D ）ABCD5（2007年全国卷）的绽开式中常数项为 （用数字作答）6（2007年天津卷）若的二项绽开式中的系数为，则2（用数字作答）7（2007年重庆卷）若绽开式的二项式系数之和为64，则绽开式的常数项为（ B ）A10 B.20 C.30 D.1208（2007年安徽卷）若(2x3+)a的绽开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 7 .9（2007年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 32 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 图1