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1、复习二项式定理(a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn展形式的第k+1项为Tk+1= Cnkan-kbk计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议议一议1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= C
2、nm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+九章算术九章算术杨辉杨辉详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一
3、性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴：图象的对称轴：2nr 增减性与最大值增减性与最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定knC1Cknkkn1由由：2111nkkkn 二项式系数二项式系数前前半部分是半部分是逐渐增大逐渐增大的，由的，由对称性可知它的对称性可知它的后后半部分是半部分是逐渐减小逐渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。 21nk 可知，当可知，当 时，时，增减性与最大值增减性与最大值 因此因此, ,当当n为偶数时为偶数时, ,中间一项的二项式中间一项
4、的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时, ,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1bannnnnn2CCCC210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：nba)( n2同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式这是组合总数公式 例 证明在(a+b)n展开式中，
5、奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1, 1 bannnnnnnnCCCCC) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC 531420nnnnnnCCCCCCCD练习642075317217722107)21 (.4aaaaaaaaaaaxaxaxaax则已知 mCC.mnn同同时时有有最最大大值值，则则与与若若1934或5-2-10941093练习.306014443418418145xxxCTT变式变式:若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？求第五项项系数最大的展开式中只有第已知,10143nxx为偶数依题意 n,18,1012nn且解(1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性； b 图象；图象；c 最值。最值。 各各二二项项式式系系数数的的和和增增减减性性与与最最大大值值对对称称性性小结小结