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1、杨辉三角与二项式的性质杨辉三角与二项式的性质1.1.二项式定理二项式定理2.2.二项式展开的通项二项式展开的通项复习回顾(a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b51.1.二项式系数与杨辉三角二项式系数与杨辉三角(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b61211113311446115510106161515201111.1.二项式系数与杨辉三角二项式系数与
2、杨辉三角这个表叫做二这个表叫做二项式系数表项式系数表,也也称称“杨辉三角杨辉三角”杨杨 辉辉详详解解九九章章算算法法中中记记载载的的表表 在在国国外外，这这个个表表被被称称为为帕帕斯斯卡卡三三角角。认认为为是是法法国国数数学学家家帕帕斯斯卡卡在在 17 世世纪纪最最早早发发现现这这一一规规律律的的。而而在在我我国国，南南宋宋数数学学家家杨杨辉辉1261年年所所著著的的详详解解九九章章算算法法中中就就不不仅仅有有了了这这个个的的图图表表，还还清清楚楚地地写写着着贾贾宪宪用用此此术术。贾贾宪宪是是我我国国 11 世世纪纪的的数数学学家家，这这就就是是说说，杨杨辉辉三三角角的的发发现现要要比比欧欧洲
3、洲早早五五百百年年，也也说说明明了了古古代代中中华华民民族族就就在在数数学学上上有有着着辉辉煌煌的的成成就就。但但是是，杨杨辉辉，贾贾宪宪的的成成就就只只有有详详解解九九章章算算法法中中有有记记载载而而此此书书早早已已失失传传，仅仅在在永永乐乐大大典典中中抄抄录录了了部部分分内内容容，这是证明杨、贾两人成就的唯一证据。这是证明杨、贾两人成就的唯一证据。121111111111111133446551010661520157212173535 11(a+b)0(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6(a+b)7(a+b)n0行行1行行2行行3行行4行行5行行6行行
4、7行行n行行2.2.二项式系数的性质二项式系数的性质第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 1第第n行行 1 15=5+1020=10+1010=6+410=6+46=3+34=1+310104620152.2.二项式系数的性质二项式系数的性质与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等.性质性质1.1.对称性对称性121111111111111133446551010661520157212173535 0行行1行行2行行3行行
5、4行行5行行6行行7行行n行行11=+2122232425证明证明:(a+b)n 的展开式中的所有二项式系数的的展开式中的所有二项式系数的 和等于和等于2 2n.证明证明:中，令中，令 a=1,b=1，则得，则得在展开式在展开式证明证明:在在(ab)n 展开式中展开式中,奇数项的二项式系奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和数的和等于偶数项的二项式系数的和.即即证：证：证明证明:在展开式在展开式中中,令令 a=1,=1,b=-1=-1，则得，则得这种方这种方法叫做法叫做赋值法赋值法.性质性质2.2.各二项式系数的和各二项式系数的和 即在即在(ab)n 的的 展开式中展开式中,奇数项的
6、二项奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即在即在(a+b)n 的展开式中的展开式中,所有二项式系所有二项式系数的和等于数的和等于2 2n.知识测查知识测查2当当n n为偶数如为偶数如2 2、4 4、6 6时时,中间一项最大中间一项最大;当当n n为奇数如为奇数如1 1、3 3、5 5时时,中间两项最大中间两项最大;一般地一般地,当当 r 满足什么范围时满足什么范围时,后一项后一项 比前一项比前一项 要大要大?1 2 3 4 5 615101520ro定义域为定义域为 0,1,2,n.令令当当n=6时时,直直线线r=n/2作作为为对对称称轴轴将将
7、图图象象分分成成对对称称的的两部分两部分 几何意义：几何意义：其图象是其图象是7个孤立点个孤立点.分析分析:以上问题即以上问题即 时时,求求r的范围的范围?所以所以 与与 的大小的大小,即即 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 确定确定.二项式系数逐渐增大二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的后由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的半部分是逐渐减小的,中间项的取值最大中间项的取值最大.当当 时时,性质性质3.3.增减性与最大值增减性与最大值(1)先增后减先增后减(2)n(2)n是是偶偶数数时时,中中间间的的一一项项(第第 项项)的二项式系数的二项式系数取得最大值取得最大值 ；(3)(3)n是是
8、奇奇数数时时,中中间间的的两两项项(第第 项项)的的二二项项式式系系数数 相相等等,且且同同时时取取得得最大值最大值.1.在在(1+x)10的展开式中的展开式中,二项式系数最大为二项式系数最大为 ;在在(1-x)11的展开式中的展开式中,二项式系数最大为二项式系数最大为 .3.3.在二项式在二项式(x-1)-1)1111的展开式中的展开式中,求系数最小的求系数最小的项的系数项的系数.最大的系数呢？最大的系数呢？知识测查知识测查32.2.指出指出(a+2b)1515的展开式中哪些项的二项式系数的展开式中哪些项的二项式系数最大最大,并求出其最大的二项式系数并求出其最大的二项式系数.解解:第第8、9项的二项式系数项的二项式系数 最大最大.即即6435最大最大.性质性质1.1.在二项展开式中在二项展开式中,与首末两端等距离的与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等任意两项的二项式系数相等.性质性质3 3.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大；数，中间两项的二项式系数最大；性质性质2.2.(a+b)n的展开式中的展开式中,奇数项的二项式系数的和等奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和于偶数项的二项式系数和.课堂小结