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1、集合论讲义知识清单一集合的含义与表示二集合间的基本关系三集合的基本运算知识网络知识详解一集合的含义与表示（一）集合的概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。2. 一般地， 我们把研究对象统称为元素（element ） ，一些元素组成的总体叫集合（set ） ，也简称 集。3. 关于集合的元素的特征（1）确定性： 设 A是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是 A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性 ：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），
2、因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性： 给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。（4）集合相等： 构成两个集合的元素完全一样。4. 元素与集合的关系（1）如果 a 是集合 A的元素，就说a 属于（ belong to）A，记作： aA （2）如果 a 不是集合 A的元素，就说a 不属于（ not belong to）A，记作： aA 6集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C, 表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c, 表示。7. 常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作 N；正整数集，记作N*或 N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q ；实数集，记作R
3、；（二）集合表示1. 我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。2. 列举法： 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：1 ，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x ，x2+y2 ，, ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 说明： 集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。各个元素之间要
4、用逗号隔开；元素不能重复；集合中的元素可以数，点，代数式等；对于含有较多元素的集合，用列举法表示时， 必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为1,2,3,4,5,.3. 描述法：（1）定义：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号 内。（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。（3） 一般格式：( )xA p x如：x|x-32， (x,y)|y=x2+1， x 直角三角形 ， , ；（4）说明：描述法表示集合应注意集合的代表元素 ，如 (x,y)|y= x2+3x+2
5、 与 y|y= x2+3x+2 是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：x 整数 ，即代表整数集 Z。这里的 已包含“所有”的意思，所以不必写 全体整数 。下列写法 实数集 ，R也是错误的。列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。二集合间的基本关系（一）子集（包含）利用集合的包含关系解题集合的包含关系是一重要知识点和高考考查点，它在题目中或明或暗，特别是“暗”（综合型题目）的。如果你对集合的包含关系没有一个深刻的认识与理解，往往就很难捕捉到，也就很难解决问题。如何准确把握与深入挖掘这一关系，
6、利用这一关系解题呢？例 1：已知函数fxxxx( )472012，（I）求f x( )的单调区间和值域；（II）设a1，函数g xxa xax( )323201，若对于任意x101，总存在x001，使得g xf x()()01成立，求a的取值范围。解析（I）利用导数法易得fx( )在012，上是减函数，在121，上是增函数，所以fx( )的值域为43，。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - （II ）因为ag xxa1
7、322， ( )()，所以x()01，时，gxgx( )( )0，是减函数所以g xgg()( )( )10，而gagaa( )( )0211232，即当x01，时，有g xaaa( )12322，对于任意xf x110143，()，总存在x001，使得g xf x()()01则4312322，aaa，所以12342aa且23a解得132a点评： 关键是把“若对于任意 , 成立”转化为“4312322，aaa”这种集合的包含关系。例 2： 已知不等式xx2430（ 1）和不等式2902xxa（2） ，若满足（ 2）的 x值也满足（ 1） ，求 a 的取值范围。解析： 设不等式（ 1） 、 （2
8、）的解集分别为A、B，则由题意知BA，且B。这相当于方程f xxxa()2902的两异根在区间 （1，3）内，其充要条件为：8180a且1943，且fafa( )( )170390，且，由此可得9818a例 3： （例 2 变式）已知不等式xx2430和不等式2902xxa的解集分别为A、B，若BA，求 a的取值范围。解析： 当B时，有12980()a，得a818，此时，BA当B时，同例 2，可得9818a综上，所求a值范围为a9例 4：已知 p：|()1132210022xqxxmm， ：，若pq是的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围。解析：pxx：|1132210qxxmxmxmmxm
9、：2221011011()()因为pq是的必要而不充分条件，所以其等价命题为：p 是 q 的充分而不必要条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 即若设Axx|210，Bxmxm|11，则AB所以12m，且110m，求得m9。后记： 集合与三角、函数、不等式、解析几何等知识结合，形成多知识点的综合型问题，符合“考纲” 在知识交汇点处命题的指导思想，其解题的关键在于灵活运用有关知识，特别是捕捉到集合的包含关系，居高临下解
10、决问题。（二）等集若集合 M2005 ，6，7，集合 Nx xM| ，则集合 M 与 N 的关系是（）A. M N B. MNC. MND. MN解析：Nx xM |，则xNxM，可得NM。又xMxM，则MN。所以 MN ，选 A （三）空集4 一个不可忽视的集合空集集合是高中数学中一个重要概念，与数学中许多内容有着广泛的联系，同时作为一种思想、一种语言、 一种工具渗透到了其他学科之中。本目通过几例来说明空集的存在，从而进一步了解空集的性质。（1）不了解空集的定义而忽略空集的存在例：AB，MP|P 为 A 的子集 ，NQ|Q 为 B 的子集 ，那么（）A. MNB. MNC. MNABD. M
11、NAB解析： 由于 A、B 的子集中都有，即A，B，而相对 M、N 来说是作为一个元素的身份出现，则MN，应选 B。（2）在集合的运算过程中，不了解空集的性质而忽视空集的存在例： 设集合Ax xx |240，Bx xaxa |()222110，若AB，求实数 a 的范围。解析： A |x xx24004，。由 BA，得 B，或 0 ，或 4 ，或 0，4 。当 B时，()aa141022，解得a1。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - -
12、 - - - - 当 B0 时，由两根为0 及韦达定理得210102()aa，解得 a 1。当 B 4时，由两根为4及韦达定理得2181162()aa，无解。当 B0 ，4 时，由韦达定理得214102()aa，解得 a1。综上知，所求实数a 的范围为( ，11。（3）不了解空集的实质而忽视空集的存在例：已知Ax xxBx mxm | |23100121，若ABA，求实数m 的范围。分析：由ABABA，得。而 B 是由参数 m 所确定的集合，m 在不同的范围内，可能使得 B 为非空数集，也可能使得B 为空集。解析：Ax xxxx | |2310025若mm121，即m2时，B，适合题意。若mm
13、121，即m2时，B 3，适合题意。若mm121，即m2时，要使BA成立，只需21512mm解得33m。从而可得23m，适合题意。综上知，所求m 的范围应为(， 3三集合的基本运算题型总结 1 、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x2，表示非负实数集，点集(x ，y)|y=x2表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
14、 - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+=0，1，2，3，, ；描述法。2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用或表示；（2）集合与集合的关系，用，=表示，当 AB时，称 A是 B的子集；当 AB时，称 A是 B的真子集。3、集合运算（1）交，并，补，定义：A B=x|x A且 xB，AB=x|x A ，或 xB，CUA=x|xU，且 xA ，集合 U表示全集；（2）运算律，如A（ BC）=（A B）（ AC） ，CU（AB）=（CUA）（ CUB） ，CU（AB）=（CUA）（ CUB）等。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -