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1、第一章量子理论基础11 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度T 成反比，即m T=b（常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式dvechvdkThvvv11833，（1）以及cv，（2）ddvvv，（3）有,118)()(5kThcvvehccdcdddv这里的的物理意义是黑体内波长介于与+d之间的辐射能量密度。本题关注的是取何值时，取得极大值， 因此，就得要求对的一阶导数为零，由此可求得相应的的值，记作m。但要注意的是，还需要验证对的二阶导数在m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具体如下：011511
2、86kThckThcekThcehc0115kThcekThckThcekThc)1 (5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 如果令 x=kThc，则上述方程为xex)1(5这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhcTm把 x 以及三个物理常量代入到上式便知KmTm3109 .
3、214 利用玻尔索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场 H=10T，玻尔磁子124109TJMB，试计算运能的量子化间隔E，并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。解玻尔索末菲的量子化条件为nhpdq其中 q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈， n 是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为，于是有22212kxpE这样，便有)21(22kxEp这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
4、221kxE可解出kEx2这表示谐振子的正负方向的最大位移。 这样， 根据玻尔索末菲的量子化条件，有xxxxnhdxkxEdxkxE)21(2)()21(222名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - nhdxkxEdxkxExxxx)21(2)21(222hndxkxExx2)21(22为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；sin2kEx这样，便有hnkEdE2sin2cos2222222cos2cos2hndkEE
5、hndkE2cos2222这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分222sin2dkEB这样，便有22222cos2,22dkEBAkEdkEBA（1）2222,cos)2(2cosdkEdkE这里=2，这样，就有0sindkEBA（2）根据式（ 1）和（ 2） ，便有kEA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 这样，便有hnkE2khnE2,knh其中2hh最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量
6、子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有BqR2qBRp这时，玻尔索末菲的量子化条件就为20)(nhRqBRdnhqBR22nhqBR2又因为动能耐22pE，所以，有22)(2222RBqqBRE,22BnBNqnBqBn其中，2qMB是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且BBME具体到本题，有JJE232410910910名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -
7、 根据动能与温度的关系式kTE23以及JeVKk223106.1101可知，当温度 T=4K 时，JJE2222106.9106.145.1当温度 T=100K 时，JJE2022104.2106.11005.1显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikrerer1)2(1)1(21从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。解：分量只有和rJJ21在球坐标中sinr1er1err0rmrkrmrkrrikrrrikrrmirerrererrermimiJikrikrikrikr30
8、202201*1*111)11(1)11(12)1(1)1(12)(2) 1(rJ1与同向。表示向外传播的球面波。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - rmrkrmrkr)r1ikr1(r1)r1ikr1(r1m2ir)er1(rer1)er1(rer1m2i)(m2iJ)2(3020220ikrikrikrikr*2*222可见，rJ 与2反向。表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。补充：设ikxex)(，粒子的
9、位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？dxdx*波函数不能按1)(2dxx方式归一化。其相对位置几率分布函数为12表示粒子在空间各处出现的几率相同。2.3 一粒子在一维势场axaxxxU，000)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：txU与)(无关，是定态问题。其定态S方程)()()()(2222xExxUxdxdm在各区域的具体形式为：)()()()(20111222xExxUxdxdmx：)()(2022222xExdxdmax：)()()()(2333222xExxUxdxdmax名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
10、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 由于(1)、(3)方程中，由于)(xU，要等式成立，必须0)(1x0)(2x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为0)(2)(22222xmEdxxd令222mEk，得0)()(22222xkdxxd其解为kxBkxAxcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得)0()0(12)()(32aa0B0sinkaA), 3,2, 1(0sin0nnkakaAxanAxsin)(2由归一化条件1)(2dxx得1sin022axdxanA由mna
11、baxdxanxam2sinsin名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - xanaxaAsin2)(22222mEk), 3,2, 1(22222nnmaEn可见 E 是量子化的。对应于nE的归一化的定态波函数为axaxaxxeanatxtEinn,00,sin2),(2.4. 证明（ 2.6-14）式中的归一化常数是aA1证：axaxaxanAn, 0),(sin（2.6-14）由归一化，得aAaxannaAaAdx
12、axanAxAdxaxanAdxaxanAdxaaaaaaaaaan222222222)(sin2)(cos22)(cos121)(sin1归一化常数aA1# 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：222122)(xxex名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 22222322211224)()(xxexexxx22222)(3231xexxdxxd令0)(1dxxd，得xxx10由)(1x的表达式可知，
13、xx0，时，0)(1x。 显然不是最大几率的位置。2222)251(4)22(2)62(2)(44223322223212xxexxexxxxdxxd而0142)(321212edxxdx可见1x是所求几率最大的位置。# 3.2.氢原子处在基态0/301),(arear，求：(1)r 的平均值；(2)势能re2的平均值；(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。解：(1)drddrreadrrrarsin1),(02200/230200/233004draraar01!naxnandxex名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
14、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 04030232! 34aaa02203020/23020200/230202002/230222144sinsin1)()2(000aeaaedrreaeddrdreaeddrdreraereUararar(3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为02022sin),()(ddrdrrdrrdrreaar2/230042/23004)(rearar0/2030)22(4)(arreraadrrd令0321,00)(arrrdrrd，当0)(,021rrr时
15、，为几率最小位置0/222003022)482(4)(areraraadrrd08)(230220eadrrdar0ar是最可几半径。(4)2222?21?pT02002/2/302sin)(1200ddrdreeaTarar22222sin1)(sinsin1)(1rrrr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 02002/22/302sin)(11200ddrdredrdrdrdreaarar0/020302)2
16、(1(240drearraaar20220204022)442(24aaaa(5) drrpcp),()()(*200cos02/302/3sin1)2(1)(0ddedrreapcpriar0cos0/2302/3)cos()2(20dedrerapriar00cos/2302/30)2(2priareiprdrera0/302/3)()2(20dreereipapripriar01!naxnandxex)1(1)1(1)2(22020302/3piapiaipa222200330)1(421paaipipa222204400330)(24paaaa222202/30)()2(paa动量几率
17、分布函数422025302)(8)()(paapcp名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3.5一刚性转子转动惯量为I， 它的能量的经典表示式是ILH22， L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1)转子绕一固定轴转动：(2)转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定轴沿 Z 轴方向，则有22ZLL哈米顿算符22222?21?ddILIHZ其本征方程为(tH与?无关，属定态问题 ) )(2
18、)()()(2222222IEddEddI令222IEm，则0)()(222mdd取其解为imAe)(m可正可负可为零 ) 由波函数的单值性，应有imimee)2()()2(即12miem= 0，1，2，转子的定态能量为ImEm222(m= 0，1，2，) 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为immAeA 为归一化常数，由归一化条件2121220220*AAdAdmm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - -
19、 - 转子的归一化波函数为imme21综上所述，除 m=0 外，能级是二重简并的。(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为2?21?LIHtH与?无关，属定态问题，其本征方程为),(),(?212EYYLI(式中),(Y设为H?的本征函数， E 为其本征值 ) ),(2),(?2IEYYL令22IE，则有),(),(?22YYL此即为角动量2?L的本征方程，其本征值为),2,1,0()1(222L其波函数为球谐函数immmmePNY)(cos),( 转子的定态能量为2)1(2IE可见，能量是分立的，且是)12(重简并的。3.9.设氢原子处于状态),()(23),()(21),(11211
20、021YrRYrRr求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 22222282sseneE)2(n角动量平方有确定值为2222)1(L)1(角动量 Z 分量的可能值为01ZL2ZL其相应的几率分别为41，43其平均值为4343041ZL3.10 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为ararrU,0
21、;,)(求粒子的能级和定态函数。解：据题意，在ar的区域，)(rU，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数0(ar) 由于在ar的区域内，0)(rU。只求角动量为零的情况，即0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与、无关。设为)(r，则粒子的能量的本征方程为Edrdrdrdr)(1222令222,)(EkrErU，得0222ukdrud名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页
22、，共 15 页 - - - - - - - - - 其通解为krrBkrrArkrBkrArusincos)(sincos)(波函数的有限性条件知，)0(有限，则A = 0 krrBrsin)(由波函数的连续性条件，有0sin0)(kaaBa0B),2,1(nnkaank22222anEnranrBrsin)(其中 B 为归一化，由归一化条件得2022022002sin4sin)(1aBrdranBdrrrddaaaB21归一化的波函数rranarsin21)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -