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1、1 量子力学习题答案1.2 在 0k 附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解：由德布罗意波粒二象性的关系知：Eh；ph /由于所考虑的电子是非相对论的电子（26keE(3eV)c (0.5110 )） ，故：2eEP/(2)2ee669h /ph /2Ehc /2c E1.2410/20.511030.7110m0.71nm1.3 氦原子的动能是 E=1.5kT，求 T=1K时，氦原子的德布罗意波长。解：对于氦原子而言，当K1T时，其能量为J102.07K1KJ10381.1232323123kTE于是有H e342 72 3h/ph/2E6.6 2 61 0Js1.2 6 n
2、m26.6 9 01 0k g2.0 71 0J一维谐振子处于22/ 2()xxAe状态中，其中为实常数，求：1. 归一化系数； 2. 动能平均值。（22xedx/）解：1. 由归一化条件可知：22*2x2( x)( x) dxA edx1A/1取相因子为零，则归一化系数1 / 21 /4A/2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 2 2222222222222222222*2x/2x/2222x/2x/222x
3、/ 22x/ 22222x2x/ 222242x2T( x)T( x)dxAe( P/ 2)edxdAe()edx2dxdAe(xe)dx2dxA xe(xe) dx2Ax edxA22（） 2222224x2224xx2222222421()xd(e)21A()xeedx221AA()2442若，则该态为谐振子的基态，T4解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是非常方便的。一维谐振子的哈密顿量为：2222d1Hx2dx2它的基态能量01E2选择为参量，则 : 0dE1d2；222dHd2d2()Tddx2dxdH200Td由 F-H 定理知：0dEdH2100
4、Tdd2可得：1T4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - 3 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikrerer1)2(1)1(21从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。解：分量只有和rJJ21在球坐标中sinr1er1err0rmrkrmrkrrikrrrikrrmirerrererrermimiJikrikrikrikr30202201*1*111)11(1)1
5、1(12)1(1)1(12)(2)1(rJ1与同向。表示向外传播的球面波。rmrkrmrkr)r1ikr1(r1)r1ikr1(r1m2ir)er1(rer1)er1(rer1m2i)(m2iJ)2(3020220ikrikrikrikr*2*222可见，rJ 与2反向。表示向内 ( 即向原点 ) 传播的球面波。2.3 一粒子在一维势场axaxxxU，000)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：txU与)(无关，是定态问题。其定态S方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
6、 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 4 )()()()(2222xExxUxdxdm在各区域的具体形式为：)()()()(20111222xExxUxdxdmx：)()(2022222xExdxdmax：)()()()(2333222xExxUxdxdmax由于(1) 、(3) 方程中，由于)( xU，要等式成立，必须0)(1x0)(2x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2) 可变为0)(2)(22222xmEdxxd令222mEk，得0)()(22222xkdxxd其解为kxBkxAxcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得)0
7、()0(12)()(32aa0B0sin kaA),3,2, 1(0sin0nnkakaAxanAxsin)(2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 5 由归一化条件1)(2dxx得1sin022axdxanA由amn0mnasinxsinxdxaa2xanaxaAsin2)(22222mEk),3,2, 1(22222nnmaEn可见 E是量子化的。对应于nE的归一化的定态波函数为axaxaxxeanatxtEin
8、n,00,sin2),(2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：221x21(x)2xe222222322211224)()(xxexexxx22222)(3231xexxdxxd令0)(1dxxd，得xxx10由)(1x的表达式可知，xx0 ，时，0)(1x。 显然不是最大几率的位置。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - 6 2222)251(4)22(2)62(2)(44223322223212x
9、xexxexxxxdxxd而23121xd( x)4160edx可见1x是所求几率最大的位置。3.2 . 氢原子处在基态0/301),(arear，求： (1)r的平均值； (2)势能re2的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。解：(1)drddrreadrrrarsin1),(02200/230200/233004draraar01!naxnandxex04030232! 34aaa02203020/23020200/230202002/230222144sinsin1)()2(000aeaaedrreaeddrdreaeddrdreraereUar
10、arar (3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - 7 02022sin),()(ddrdrrdrrdrreaar2/230042/23004)(rearar0/2030)22(4)(arreraadrrd令0321,00)(arrrdrrd，当0)(,021rrr时，为几率最小位置0/222003022)482(4)(areraraadrrd08)(230220eadrrd
11、ar0ar是最可几半径。 (4)2222?21?pT02002/2/302sin)(1200ddrdreeaTarar02002/22/302sin)(11200ddrdredrdrdrdreaarar0222/3000041(2)2rarredraaa20220204022)442(24aaaa (5) drrpcp),()()(*200cos02/302/3sin1)2(1)(0ddedrreapcpriar0cos0/2302/3)cos()2(20dedrerapriar22222sin1)(sinsin1)(1rrrr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
12、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - 8 00cos/2302/30)2(2priareiprdrera0/302/3)()2(20dreereipapripriar01!naxnandxex)1(1)1(1)2(22020302/3piapiaipa232002201412()ippaipaa222204400330)(24paaaa222202/30)()2(paa动量几率分布函数422025302)(8)()(paapcp3.5一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是I
13、LH22，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1)转子绕一固定轴转动：(2)转子绕一固定点转动：解：(1) 设该固定轴沿 Z 轴方向，则有22ZLL哈米顿算符22222?21?ddILIHZ其本征方程为 (tH 与?无关，属定态问题 ) )(2)()()(2222222IEddEddI名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 9 令222IEm，则0)()(222mdd取其解为imAe)(
14、 (m可正可负可为零 ) 由波函数的单值性，应有imimee)2()()2(即12 miem= 0，1，2，转子的定态能量为ImEm222 (m= 0，1，2，) 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为immAeA为归一化常数，由归一化条件2121220220*AAdAdmm 转子的归一化波函数为imme21综上所述，除 m=0外，能级是二重简并的。(2) 取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为2?21?LIHtH 与?无关，属定态问题，其本征方程为),(),(?212EYYLI (式中),(Y设为H?的本征函数，E为其本征值 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
15、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - 10 ),(2),(?2IEYYL令22 IE，则有),(),(?22YYL此即为角动量2?L的本征方程，其本征值为),2,1,0()1(222L其波函数为球谐函数immmmePNY)(cos),( 转子的定态能量为2)1(2IE可见，能量是分立的，且是)12(重简并的。3.6设 t=0 时，粒子的状态为cossin)(212kxkxAx求此时粒子的平均动量和平均动能。解：cos)2cos1(cossin)(2121212k
16、xkxAkxkxAxcos2cos12kxkxAi2 kxi2 kxikxikx1122A1(ee)(ee)2212221212212210ikxikxkxikxixieeeeeA可见，动量np的可能值为kkkk220动能22np的可能值为2222022222222kkkk对应的几率n应为2)161616164(22222AAAAA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 11 2)8181818121(A上述 A为归
17、一化常数，可由归一化条件，得222)1644(1222AAAnn/1A动量p的平均值为02162162162216202222AkAkAkAkppnnnnnnppT22222812281202222kk8522k3.7 一维运动粒子的状态是0,00,)(xxAxexx当当其中0，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。解：(1) 先求归一化常数，由02222)(1dxexAdxxx2341A2/32A3 / 2x(x)2xe)0( x0)( x)0( x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
18、整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - 12 ikx1 / 23 /2(ik )x011c( p)e(x) dx()2xedx2231 /2(ik )x(ik )x002x1()eedxikik331 /21 /2222121()()p(ik)(i)动量几率分布函数为222233222232)(12)(12)()(pppcp (2) *3xx0d?p(x)p(x) dxi4xe(xe)dxdx32x0i4x(1x) edx322x0i4(xx )edx32211i4()440或：2ppcpdp0被积函数是个奇函数3.8. 在一维无限深势
19、阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数)()(xaAxx描写， A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：一维无限深势阱的的本征函数和本征值为axxaxxanax,0,00,sin2)(22222anEn)321(，n粒子的几率分布函数为2)(nCE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 13 *02()()sin()annCxx dxxx dxaa先把)( x归一化，由归一化条件，222
20、22222001()()(2)aaxdxA xaxdxAxaaxxdxadxxaxxaA043222)2(30)523(525552aAaaaA530aAandxxaxxanaaC05)(sin302sinsin1520203xxdanxxxdanxaaaaaxannaxanxnaxanxnaxannaxanxnaa0333222222323cos2sin2cossincos152)1(115433nn2662)1(1240)(nnnCE,6,4,2053196066nnn，adxxpxdxxHxE02)(2?)()(?)(2252030()()2adx axx axdxadx名师资料总结 -
21、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - 14 22335503030()()23aaax ax dxaa225a3.9. 设氢原子处于状态),()(23),()(21),(11211021YrRYrRr求氢原子能量、 角动量平方及角动量Z 分量的可能值， 这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：在此状态中，氢原子能量有确定值22222282sseneE)2(n角动量平方也有确定值2222)1(L)1(角动量 Z 分量的可能值为
22、01ZL；2ZL其相应的几率分别为41，43其平均值为4343041ZL3.11.求第 3.6 题中粒子位置和动量的测不准关系?)()(22px解：0p222452kTp0cos21sin222dxkxkxxAxdxkxkxxAx22222cos21sin222222(x)(p)(xx ).(pp )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 15 4.1. 求在动量表象中角动量xL的矩阵元和2xL的矩阵元。解：depz
23、pyeLrpiyzrpippx)?()21()(3dezpyperpiyzrpi)()21(3deppppierpizyyzrpi)()21(3deppppirppizyyz）（3)21)()()()(ppppppiyzzydLxLpxpppx2*2)()(depzpyerpiyzrpi23)?()21(depzpypzpyerpiyzyzrpi)?)(?()21(3deppppipzpyerpiyzzyyzrpi)()(?()21(3depzpyeppppirpiyzrpiyzzy)?()21)()(3depppprppiyzzy）（322)21()()()(22ppppppyzzy4.3
24、求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解：定态薛定谔方程为),(),(2),(2122222tpECtpCptpCdpd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - 16 即0),()2(),(2122222tpCpEtpCdpd两边乘以2，得0),()2(),(11222tpCpEtpCdpd令1,1ppE20),()(),(222tpCtpCdd跟课本 P.39(2.7-4) 式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征
25、函数为tEinpnnnepHeNtpCnE)(),()(222121式中nN为归一化因子，即2/12/1)!2(nNnn4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：2222222221221?21?xxxpHdxxHxHpppp)(?)(*dxexxexpipxi)212(2122222dxexdxepixppixppi)(22)(22212121)(2dxepipppxppi)(22222)(2121)(2dxepipppxppi)(222221)(21)(2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
26、理 - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - 17 )(21)(222222pppppp)(21)(222222pppppp4.5设已知在ZLL?2和的共同表象中，算符yxLL?和的矩阵分别为0101010102xL0000022iiiiLy求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵yxLL 和对角化。解：xL的久期方程为00202202233210，xL?的本征值为，0 xL?的本征方程3213210101010102aaaaaa其中321aaa设为xL?的本征函数在ZLL?2和共同表象中的矩阵当01时，有0000101010102321a
27、aa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 18 000022132312aaaaaaa，1100aa由归一化条件2111*1*10020),0,(1aaaaa取211a210210对应于xL?的本征值 0 。当2时，有3213210101010102aaaaaa13321232123122221)(2121aaaaaaaaaaaaa1112aaa由归一化条件21111*1*1*142),2,(1aaaaaaa名师资
28、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - 19 取211a归一化的212121对应于xL?的本征值当2时，有3213210101010102aaaaaa13321232123112221)(2121aaaaaaaaaaaaa1112aaa由归一化条件21111*1*1*142),2,(1aaaaaaa取211a归一化的212121对应于xL?的本征值由以上结果可知，从ZLL?2和的共同表象变到xL?表象的变换矩阵为名师资料总
29、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - 20 21212121210212121S对角化的矩阵为SLSLxx21212121210212121010101010212121212121210212xL212121212102121212112121121000200000002000200002按照与上同样的方法可得yL?的本征值为，0yL?的归一化的本征函数为21021021221i21221i从2Z?LL和的共同表象变到y
30、L?表象的变换矩阵为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - 21 212212122121021212121220212121iiSiiS利用 S可使yL?对角化0000000SLSLyy5.2 转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。解：取的正方向为 Z轴正方向建立坐标系， 则转子的哈密顿算符为cos?212?22DLIDILH取cos?,?21?2)0
31、(DHLIH，则HHH?)0(由于电场较小，又把H?视为微扰，用微扰法求得此问题。)0(?H的本征值为2()1(21IE本征函数为),()0(mY)0(?H的基态能量为000）（E，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知)0()0(020)2(0HEEEddYDYdHHmsin)cos(?00*)0(0)0*(0ddYYDmsin)(cos00*名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 22 ddYYDmsin4134
32、10*ddYYDsin310*013DIDIDEEE22221222)0()0(020)2(031)1(32H5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201EE及，现在受到微扰H?的作用，微扰矩阵元为bHHaHH22112112，；ba、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得nnnHE)1(mmnmnnEEHE)0()0(2)2(得bHEbHE22)1(0211)1(0122m1( 2)01m010m0102HaEEEEE22m2( 2 )02m020 m0201HaEEEEE 能量至二级修正值为02012011EEabEE01022022EEabEE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -