2022年复变函数复习重点 .pdf

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1、复变函数复习重点 ( 一) 复数的概念1. 复数的概念：zxiy，, x y是实数 , Re,Imxzyz.21i. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2. 复数的表示1）模：22zxy；2） 幅角：在0z时，矢量与x轴正向的夹角， 记为Arg z（多值函数）；主值arg z是位于(,中的幅角。3）arg z与arctanyx之间的关系如下：当0,xargarctanyzx；当0,argarctan0,0,argarctanyyzxxyyzx；4）三角表示 ：cossinzzi，其中arg z；注：中间一定是“ +”5）指数表示 ：izz e，其中arg z。 ( 二) 复

2、数的运算1. 加减法：若111222,zxiyzxiy，则121212zzxxi yy2. 乘除法：1）若111222,zxiyzxiy，则1212122112z zx xy yi x yx y；112211112121221222222222222222xiyxiyzxiyx xy yy xy xizxiyxiyxiyxyxy。2）若121122,iizz ezz e, 则121212iz zz z e；121122izzezz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - -

3、 - - - - - - - - 3. 乘幂与方根1）若(cossin )izziz e，则(cossin)nnninzzninz e。2）若(cossin )izziz e，则122cossin(0,1,21)nnkkzziknnnL（有n个相异的值）（三）复变函数1 复变函数：wfz ， 在几何上可以看作把z平面上的一个点集 D 变到w平面上的一个点集 G 的映射 .2复初等函数指数函数：cossinzxeeyiy ，在z平面处处可导， 处处解析；且zzee 。注：ze是以 2 i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同）对数函数：ln(arg2)Lnzzizk(0,1, 2)kL（多值函数

4、）；主值： lnlnargzziz 。 （单值函数）Lnz的每一个主值分支ln z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且1lnzz；注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同）乘幂与幂函数：(0)bbLnaaea；(0)bbLnzzez注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且1bbzbz。三角函数：sincossin,cos,t,22cossinizizizizeeeezzzzgzctgzizzsin,coszz在z平面内解析，且sincos , cossinzzzz注：有界性 sin1, cos1zz不再成立； （与实函数不同）双曲函数,22zzzzeeeeshzchz；shz奇函数，

5、chz是偶函数。,shz chz在z平面内解析,shzchzchzshz。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （四）解析函数的概念1复变函数的导数1）点可导：0fz=000limzfzzfzz；2）区域可导 ：fz在区域内点点可导。2解析函数的概念1）点解析：fz 在0z及其0z的邻域内可导，称fz 在0z点解析；2）区域解析：fz 在区域内每一点解析，称fz 在区域内解析；3）若( )f z在0z点不解析，称0z为 fz 的奇点；

6、3解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1函数可导的充要条件 ：,fzu x yiv x y在zxiy可导,u x y和,v x y在, x y可微 ， 且 在,x y处满 足CD条件 ：,uvuvxyyx此时，有uvfzixx。2函数解析的充要条件 ：,fzu x yiv x y在区域内解析,u x y和,v x y在, x y在D内 可 微 ， 且 满 足CD条 件 ：,uvuvxyyx；此时uvfzixx。注意：若,u x yv x y 在区域 D 具有一阶连续偏导数，则,u x yv x

7、 y 在区域 D 内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足 CR条件时，函数( )f zuiv一定是可导或解析的。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 3函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以,fzu x yiv x y 形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数 fz 是以z的形式给出，如第二章习题 3）（六）

8、复变函数积分的概念与性质1复变函数积分的概念：1limnkkcnkfz dzfz，c是光滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2复变函数积分的性质1）1ccfz dzfz dz（1c与c的方向相反）；2）,cccfzg z dzfz dzg z dz是常数；3） 若曲线c由1c与2c连接而成，则12cccfz dzfz dzfz dz。3复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：cccfz dzudxvdyivdxudy ； （常用于理论证明）2）参数方法：设曲线c：()zz tt，其中对应曲线c的起点，对应曲线c的终点，则( )cfz dzf z tz t dt。（七）关于复变函数

9、积分的重要定理与结论1柯西古萨基本定理：设 fz 在单连域 B 内解析，c为 B 内任一闭曲线，则0cfz dz?2复合闭路定理 ：设 fz 在多连域 D 内解析，c为 D 内任意一条简单闭曲线，12,nc ccL是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,nc ccL为边界的区域全含于D 内，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - cfz dz?1,knkcfz dz?其中c与kc均取正向；0fz dz?，其中由c及1(1

10、,2,)cknL所组成的复合闭路。3闭路变形原理：一个在区域 D 内的解析函数fz 沿闭曲线c的积分，不因c在 D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使 fz不解析的奇点。4 解析函数沿非闭曲线的积分：设 fz 在单连域 B内解析，G z 为 fz在 B内的一个原函数，则212112(,)zzfz dzG zG zz zB说明：解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5. 柯西积分公式：设 fz 在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于 D ，0z为c内任意一点，则002cfzdzifzzz?6高阶导数公式：解析函数 fz 的导

11、数仍为解析函数，它的n阶导数为0102(1,2)()!nncfzidzfznzznL?其中c为 fz 的解析区域D内围绕0z的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 D 。7重要结论：12,010,0()ncindznza?。（c是包含a的任意正向简单闭曲线）8复变函数积分的计算方法1）若 fz 在区域 D 内处处不解析，用一般积分法cfz dzf z tz t dt2）设fz在区域D内解析，c是 D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，0cfz dz?精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

12、-第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - c是D内的一条非闭曲线，12,z z对应曲线c的起点和终点，则有2121zczfz dzfz dzF zF z3）设fz在区域D内不解析曲线c内仅有一个奇点：0001022()!cnncfzdzi fzzzfzidzfzzzn?（( )f z在c内解析）曲线c内有多于一个奇点：cfz dz?1knkcfz dz?（ic内只有一个奇点kz）或：12Re ( ),nkkcfz dzis f z z?（留数基本定理）若被积函数不能表示成1()nofzzz，则须改用第五章留数定理来计算。（八）解析函数与调和函数的关系1调和函数的概念：

13、 若二元实函数( , )x y在D内有二阶连续偏导数且满足22220 xy，( , )x y为D内的调和函数。2解析函数与调和函数的关系解析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。两个调和函数u与v构成的函数( )f zuiv不一定是解析函数；但是若,u v如果满足柯西黎曼方程，则uiv一定是解析函数。3已知解析函数fz的实部或虚部，求解析函数fzuiv的方法。1）偏微分法 ：若已知实部,uu x y，利用CR条件，得,vvxy；对vuyx两边积分，得uvdyg xx（*）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

14、 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 再对（ *）式两边对x求偏导，得vudygxxxx（* ）由 CR条件，uvyx，得uudygxyxx，可求出g x ；代入（ *）式，可求得虚部uvdyg xx。2 ） 线 积 分 法 ：若 已 知 实 部,uu x y， 利 用 CR 条 件 可 得vvuudvdxdydxdyxyyx，故虚部为00,x yxyuuvdxdycyx；由于该积分与路径无关， 可选取简单路径 （如折线）计算它，其中00,xy与, x y是解析区域中的两点。3）不定积分法 ：若已知实部,uu x y

15、 ，根据解析函数的导数公式和CR条件得知，uvuufziixyxy将此式右端表示成z的函数 Uz ， 由于 fz 仍为解析函数， fzU z dzc注： 若已知虚部v也可用类似方法求出实部.u（九）复数项级数1复数列的极限1）复数列nnnaib（1,2nL）收敛于复数abi 的充要条件为lim,limnnnnaabb（同时成立）2）复数列n收敛实数列,nnab同时收敛。2复数项级数1） 复数项级数0()nnnnnaib收敛的充要条件是级数0nna与0nnb同时收敛；2）级数收敛的必要条件是lim0nn。注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。精品资料 - - - 欢迎

16、下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （十）幂级数的敛散性1幂级数的概念 ：表达式00()nnnczz或0nnnc z为幂级数。2幂级数的敛散性1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理(Abel) ：如果幂级数0nnnc z在00z处收敛，那么对满足0zz 的一切z， 该数绝对收敛；如果在0z处发散，那么对满足0zz 的一切z，级数必发散。2）幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法： 收敛

17、圆的半径称收敛半径。比值法如果1lim0nnncc，则收敛半径1R；根值法lim0nnc，则收敛半径1R；如果0，则 R；说明在整个复平面上处处收敛；如果，则0R；说明仅在0zz或0z点收敛；注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如20nnnc z）3幂级数的性质1）代数性质 ：设00,nnnnnna zb z的收敛半径分别为1R与2R，记12min,RR R，则当 zR时，000()nnnnnnnnnnabza zb z（线性运算）01 10000()()()nnnnnnnnnnna zb za baba bzL（乘积运算）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

18、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 2）复合性质 ：设当r时，0nnnfa，当zR时，g z解析且g zr，则当zR时，0nnnf g zag z。3）分析运算性质 ：设幂级数0nnna z的收敛半径为0R，则其和函数0nnnfza z是收敛圆内的解析函数；在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且10nnnfzna zzR在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；1001znnnafz dzznzR（十一）幂函数的泰勒展开1. 泰勒展开：设函数 fz 在圆域0zzR内解析，则在此圆域内fz 可

19、以展开成幂级数000!nnnfzfzzzn；并且此展开式是唯一的。注：若fz 在0z解析，则fz 在0z的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径0Rza ；其中 R 为从0z到 fz 的距0z最近一个奇点a之间的距离。2常用函数在00z的泰勒展开式1）23011!2!3!nznnzzzezznnLLz2）20111nnnzzzzzLL1z3）3521210( 1)( 1)sin(21)!3!5!(21)!nnnnnzzzzzznnLLz4）24220( 1)( 1)cos1(2 )!2!4!(2 )!nnnnnzzzzznnLLz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

20、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 3解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出01!nncfzn，于是00nnnfzczz。2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开1. 洛朗级数的概念：0nnnczz，含正幂项和负幂项。 2 洛朗展开定理 ：设函数 fz 在圆环域102RzzR 内处处解析，c为圆环域 内 绕0z的 任 意 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 ， 则 在 此 在 圆 环 域 内 ， 有0nnnf

21、zczz，且展开式唯一。3解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。* 4 利 用 洛 朗 级 数 求 围 线 积 分 ： 设 fz 在0rzzR 内 解 析 ，c为0rzzR内的任何一条正向简单闭曲线，则12cfz dzic?。其中1c为( )f z在0rzzR内洛朗展开式中01zz的系数。说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中10()zz的系数。（十三）孤立奇点的概念与分类1孤立奇点的定义： fz 在0z点不解析 , 但在0z的00zz内解析。2孤立奇点的类型：1） 可去奇点：展开式中不含0zz的负幂项；201020fzcczzczzL2）极点：展开式中含有限项0zz的负

22、幂项；(1)21010201000()()()()()mmmmcccfzcc zzczzzzzzzzLL0,()mg zzz其中1(1)01000()()()mmmmg zcczzczzczzLL 在0z解析，且00,1,0mg zmc；3）本性奇点：展开式中含无穷多项0zz的负幂项；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 1010000()()()()mmmmccfzcc zzczzzzzzLLLL（十四）孤立奇点的判别方法1可去奇

23、点：00limzzfzc常数；2极点：0limzzfz3本性奇点：0limzzfz不存在且不为。4零点与极点的关系1）零点的概念： 不恒为零的解析函数fz ，如果能表示成0()mfzzzz ，其中z 在0z解析，00,zm为正整数，称0z为 fz 的m级零点；2）零点级数判别的充要条件：0z是 fz 的m级零点000,(1,2,1)0nmfznmfzL3）零点与极点的关系：0z是 fz 的m级零点0z是1fz的m级极点；4）重要结论 : 若za分别是z 与z 的m级与n级零点，则za是zgz 的 mn级零点；当mn时，za是zz的mn级零点；当mn时，za是zz的nm级极点；当mn时，za是z

24、z的可去奇点；当 mn时，za是zz 的 l 级零点，min(, )lm n当mn时，za是zz 的l 级零点，其中( )lm n（十五）留数的概念 1 留数的定义： 设0z为 fz 的孤立奇点， fz 在0z的去心邻域00zz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 内解析，c为该域内包含0z的任一正向简单闭曲线，则称积分12cfz dzi?为fz 在0z的留数（或残留），记作0Re ,s fzz12cfz dzi?2留数的计算方法若

25、0z是 fz 的孤立奇点， 则0Re ,s fzz1c，其中1c为 fz 在0z的去心邻域内洛朗展开式中10()zz的系数。1）可去奇点处的留数： 若0z是 fz 的可去奇点，则0Re ,s fzz02）m级极点处的留数法则 I若0z是 fz 的m级极点，则0Re ,s fzz01011lim()(1)!mmmzzdzzfzmdz特别地，若0z是 fz 的一级极点，则0Re ,s fzz00lim()zzzzfz注： 如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。法则 II 设P zfzQ z，,P zQ z 在0z解析，00,P z000,0Q zQz，则000Re ,P zP zszQ zQ

26、z（十六）留数基本定理设 fz 在区域 D 内除有限个孤立奇点12,nz zzL外处处解析，c为 D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则12Re ,ncnfz dzis fzz?说明： 留数定理把要求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数fz 在c内各孤立奇点处留数的局部问题。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -