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1、第二节 函数的单调性与最值,1.增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI,如果对于任意x1,x2D,且x1x2,则都有: (1)f(x)在区间D上是增函数_； (2)f(x)在区间D上是减函数_.,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),【即时应用】 (1)判断下列函数是否是区间(0，2)上的递增函数.(请在括号中填“是”或“否”) y= ( ) y=-x( ) y= ( ) y=x2-4x+1( ) y=2|x|( ) y= ( ),(2)已知函数f(x)为R上的减函数，若mn,则f(m)_f(n);若f(|x|)f(1),则实数x的取值范围是_. (3)若函数y=a
2、x与y=- 在(0，+)上都是减函数，则y=ax2+bx 在(0，+)上是_函数(填“增”或“减”).,【解析】(1)函数在(0，2)上递减；在(0，2)上递增. (2)由减函数的定义知，若mf(n); 若f(|x|)1,得:x1或x-1.,(3)由y=ax在(0，+)上是减函数，知a0； 由y=- 在(0，+)上是减函数，知b0 y=ax2+bx的对称轴x=- 0， 又y=ax2+bx的开口向下, y=ax2+bx在(0，+)上是减函数 答案：(1)否 否 是 否 是 是 (2) x|x1或x-1 (3)减,2.单调性、单调区间 若函数y=f(x)在区间D上是_或_，则称函数y=f(x) 在
3、这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间,增函数,减函数,【即时应用】 (1)思考：函数的单调性反映在其函数图象上有何特征？ 提示：函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的. (2)函数y= 的单调减区间为_. 【解析】画出函数y= 的图象可知，其单调减区间为 (-,0),(0,+). 答案：(-,0)和(0,+),3.函数的最大值、最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在MR,且存在 x0I,使得f(x0)_M. (1)对于任意的xI,M是函数y=f(x)的最大值_; (2)对于任意的xI,M是函数y=f(x)的最小值_.,=,f(x)M,
4、f(x)M,【即时应用】 (1)函数y=f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的定义域是 _；最大值是_；最小值是_. (2)函数f(x)=- 在2,4上的最小值是_；最大值是_.,【解析】(1)由图象可知，函数的定义域为-3,02,3， 最大值为5，最小值为1. (2)因为f(x)=- 在2,4上为单调增函数， 所以f(2)f(x)f(4), 所以f(x)max=f(4)=- , f(x)min=f(2)=- . 答案：(1)-3，02，3 5 1 (2)- -,热点考向 1 确定函数的单调性或单调区间 【方法点睛】 研究函数单调性及单调区间的常用方法及流程 (1)能画出图象的函数，用图象
5、法,其思维流程为:,(2)由基本初等函数通过加减运算或复合运算而成的函数，用转化法，其思维流程为： (3)能求导的用导数法，其思维流程为：,(4)能作差变形的用定义法，其思维流程为： 【提醒】确定函数的单调性(区间)，一定要注意定义域优先原则.,【例1】(1)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是_. (2)(2013福州模拟)试讨论函数f(x)= x(-1,1)的单 调性(其中a0). 【解题指南】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间. (1)转化为基本初等函数的单调性去判断； (2)可用定义法或导数法.,【规范解答】(1)函数f(x)的定义域为(- ，+)， 令t=2x+1(
6、t0), 因为y=log5t在t(0,+)上为增函数，t=2x+1在(- ，+)上 为增函数， 所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为(- ,+). 答案：(- ，+),(2)方法一(定义法):设x1,x2(-1,1)且x1x2, 则f(x1)-f(x2)= = -1x1x21, x2-x10,x12-10,x22-10, -1x1x21,x1x2+10, 因此当a0时,f(x1)-f(x2)0，,即f(x1)f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当a0时,f(x1)-f(x2)0， 即f(x1)f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数. 方法二(导数法)： f(x
7、)= 当a0时,f(x)0. 当a0时,f(x)在(-1,1)上为减函数; 当a0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.,【互动探究】若将本例(1)中函数变为f(x)=|x2-4x+3|,则结果又如何？ 【解析】先作出函数y=x2-4x+3的图象，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数f(x)=|x2-4x+3|的图象.如图所示. 由图可知，函数的增区间为1,2,3,+).,【变式备选】已知函数f(x)对于任意x，yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x0时，f(x)0,f(1)=- . (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在-3，3上的最大值和最小值,【解析】(1)
8、方法一：函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)+f(y)=f(x+y)， 令x=y=0，得f(0)=0再令y=-x，得f(-x)=-f(x)在R上任取 x1x2，则x1-x20， f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2), 又x0时，f(x)0而x1-x20， f(x1-x2)0，即f(x1)f(x2) 因此f(x)在R上是减函数,方法二：在R上任取x1，x2， 不妨设x1x2， 则f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2) 又x0时，f(x)0，而x1-x20， f(x1-x2)0
9、，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数.,(2)f(x)在R上为减函数， f(x)在-3，3上也为减函数， f(x)在-3，3上的最大值为f(-3),最小值为f(3)， f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2， 0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3), f(-3)=-f(3)=2, 因此，f(x)在-3，3上的最大值为2，最小值为-2.,热点考向 2 应用函数的单调性 【方法点睛】 利用函数的单调性可求解的问题,【例2】(1)(2012上海高考)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数).若f(x
10、)在区间1,+)上是增函数，则a的取值范围是_. (2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在0,2上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.,【规范解答】(1)由函数的图象性质得函数的图象关于x=a对称，且在区间 a,+)上单调递增，所以要使函数f(x)在区间1,+)上是增函数，则需要a|a1. 答案:(-,1,(2)方法一：y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个 单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称， 函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称， 又y=f(x-2)在0,2上单调递减, 函数y=f(x-2)在2,4上单
11、调递增， 因此,y=f(x)在0,2上单调递增， 又f(-1)=f(1), 0f(-1)f(0).,方法二：由方法一可得函数y=f(x)在-2,2上图象的大致形状为 由图象知f(2)f(-1)f(0).,【变式备选】已知函数f(x)对于任意a，bR,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x0时，f(x)1 (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3,【解析】(1)设x1,x2R，且x1x2，则x2-x10， f(x2-x1)1 ， f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1
12、) =f(x2-x1)-10, f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2) f(x)在R上是增函数.,(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, f(2)=3, 不等式f(3m2-m-2)3即为 f(3m2-m-2)f(2). 又f(x)在R上是增函数， 3m2-m-22，解得-1m 因此不等式的解集为m|-1m ,热点考向 3 求函数的最值 【方法点睛】 求函数最值(值域)常用的方法及流程 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；,(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相
13、等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值,【例3】(1)已知函数f(x)= (a0,x0),则f(x)在 ,2 上的最大值为_，最小值为_. (2)函数y= -x(x0)的最大值为_. (3)(2012龙岩模拟)用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小 值，设f(x)=min2x,x+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为_. 【解题指南】(1)可用单调性法；(2)选用换元法，转化为二次函 数求解最值.(3)画出图象求解.,【规范解答
14、】(1)f(x)= 在 ,2上为减函数， f(x)min=f(2)= , f(x)max=f( )= +2. (2)令 =t(t0)， 则y=t-t2=-(t- )2+ , 当t= 时，ymax= .,(3)由题意知函数f(x)是三个函数 y1=2x，y2=x+2,y3=10-x中的较小 者，作出三个函数在同一直角坐 标系下的图象(如图实线部分为 f(x)的图象)，可知A(4，6)为 函数f(x)图象的最高点，则f(x)max=6. 答案：(1) (2) (3)6,【互动探究】若将本例(2)中函数变为y= (x0),则y的 最大值为多少？ 【解析】令 =t(t0), 则y=-8t2+6t-1=
15、-8(t- )2+ , 当t= 时，ymax= .,【反思感悟】求函数的最值常结合解析式的特点而选取适当的方法. (1)单调性法：若所给函数在某个区间上单调性已知或能确定，则该函数在这个区间上的最值一般在端点处取得； (2)基本不等式法：当函数的解析式是分式形式且分子分母不同次幂时可用此法；,(3)导数法：当函数解析式较复杂时，可考虑用此法； (4)数形结合法：所给函数易画出其图象时，可结合图象求最值； (5)对于一些根式、分式、高次式等常先用换元法，转化为以上四种情况中的某种再求最值.,【变式备选】已知函数f(x)= ,x1,+)， (1)当a= 时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意
16、x1,+)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值 范围.,【解析】(1)当a= 时，f(x)=x+ +2. f(x)在区间1,+)上为增函数， f(x)在区间1,+)上的最小值为f(1)= .,(2)方法一：在区间1，+)上，f(x)= 恒成立 x2+2x+a0恒成立. 设y=x2+2x+a,x1,+). y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在1,+)上递增, 当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)0恒成 立，故a-3.,方法二：f(x)=x+ +2,x1,+)， 当a0时，函数f(x)的值恒为正； 当a0时，函数f(x)0恒成立，故a-3.,1.(2013
17、福州模拟)已知函数y=f(x)的图象关于x=1对称，且 在(1，+)上单调递增,设 b=f(2),c=f(3),则a,b,c 的大小关系为( ) (A)cba (B)bac (C)bca (D)abc,【解析】选B.由题意知f(x)=f(2-x),则 又f(x)在(1，+)上单调递增, f(2) f(3)，即bac.,2.(2012广东高考)下列函数中，在区间(0，+)上为增函数 的是( ) (A)y=ln(x+2) (B) (C) (D),【解析】选A.,3.(2012浙江高考)设a0，b0.( ) (A)若2a+2a=2b+3b，则ab (B)若2a+2a=2b+3b，则ab (C)若2a-2a=2b-3b，则ab (D)若2a-2a=2b-3b，则ab 【解析】选设f(x)=2x+2x， 则f(x)=2x+2x为增函数. 而(2a+2a)-(2b+2b)=b0, ab，故选项正确,