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1、第九节 函数与方程,1.函数的零点 (1)定义：对于函数y=f(x)，我们把使_的实数x叫做函数 y=f(x)的零点. (2)零点与相应方程根、函数图象与x轴交点横坐标间的关系： 方程f(x)=0有_函数y=f(x)的图象与x轴有_函数 y=f(x)有_.,f(x)=0,实数根,零点,交点,【即时应用】 (1)函数f(x)=x3-x的零点是_. (2)函数f(x)=lgx- 的零点个数是_.,【解析】(1)令f(x)=0，即x3-x=0解得x=0,1,-1, f(x)的零点为-1，0，1. (2)由等价关系、零点个数转化为方程lgx- =0的根的个数lgx= ,即又转化为函数y=lgx与y=
2、图象交点个数，由图象得： 有一个交点. 答案：(1)-1，0，1 (2)1,2.零点存在性定理 如果函数y=f(x)满足： (1)在闭区间a,b上_； (2)_0, 则函数y=f(x)在(a,b)上存在零点，即存在c(a,b),使得 f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.,连续,f(a)f(b),【即时应用】 (1)若函数y=f(x)在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲 线，判断下列命题是否正确(请在括号中填写“”或“”) 若f(a)f(b)0，则不存在实数c(a,b)使得f(c)=0 ( ) 若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a,b)使得f(c)=0 ( ) 若f(a)f
3、(b)0,则有可能不存在实数c(a,b)使得f(c)=0( ),(2)在零点存在性定理的条件下，当f(x)是_时，在区间(a,b)内f(x)有唯一的一个零点. (3)已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的最短区间为_.(区间端点为整数) (4)函数f(x)=mx-1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是_.,【解析】(1)如图甲的情况可判断错正确，如图乙的情况可判断不正确，由零点存在性定理可知不正确.,(2)由零点存在性定理容易判断f(x)是单调函数即可. (3)由于f(0)=-10, f(3)=230,f(4)=590,故只有区间(1，2)满足. (4)由f(0)f
4、(1)1. 答案：(1) (2)单调函数 (3)(1，2) (4)m1,3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0),【即时应用】 (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c中，ac0,则函数的零点个数是_. (2)若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点，则实数a的取值范围是_.,【解析】(1)c=f(0),ac=af(0)0,即a和f(0)异号， 即 ,或 ,函数必有两个零点. (2)当a=0时，则f(x)=-x-1,易知函数只有一个零点. 当a0时，则函数为二次函数，仅有一个零点，即=1+4a=0,a=- ， 综上，当a=0或a=- 时，函数只有
5、一个零点. 答案：(1)2 (2)a|a=0或- ,4.二分法 (1)二分法的定义 对于在区间a,b上连续不断且_的函数y=f(x)， 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_， 使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点的近似值的方 法叫做二分法.,f(a)f(b)0,一分为二,零点,(2)用二分法求函数零点近似值的步骤 第一步：确定区间a,b,验证_,给定精确度; 第二步：求区间(a,b)的中点c; 第三步:计算f(c)； 若f(c)=0,则c就是函数的零点； 若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0(a,c); 若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0(c,b). 第四步：判
6、断是否达到精确度：即若|a-b|,则得到零点 近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步.,f(a)f(b)0,【即时应用】 (1)已知f(x)=x3+x2-2x-2,f(1)f(2)0,用二分法求f(x)在(1，2)内的零点时，第一步是_. (2)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间2，3内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是_.,【解析】(1)根据二分法求函数零点近似值的步骤，已知f(1)f(2)0,f(3)0，所以下 一个有根的区间是(2，2.5). 答案：(1)求区间(1，2)的中点为 (2)(2，2.5),热点考向 1 确定函数零点所在的区间 【方法点睛】 判
7、断函数y=f(x)在某个区间是否存在零点的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可通过解方程.再看方程是否有根落在给定区间上.,(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续，再看是否存在f(a)f(b)0.若存在，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,【例1】(1)函数f(x)=ln(x-2)- 的零点所在的大致区间是 ( ) (A)(1，2) (B)(2，3) (C)(3，4) (D)(4，5) (2)(2013厦门模拟)设函数y=x3与 的图象的
8、交点 为(x0,y0),若x0(n,n+1),nN,则x0所在的区间是_.,【规范解答】(1)选C.由题意知函数f(x)的定义域为x|x2, 排除A. f(3)=- 0, f(5)=ln3- 0， f(3)f(4)0， 函数f(x)的零点在(3，4)之间，故选C.,(2)设 则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标 系下画出函数y=x3与 的图象如图所示. f(1)f(2)0,x0(1,2). 答案：(1，2),【变式备选】函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( ) (A)(-2，-1) (B)(-1，0) (C)(0，1) (D)(1，2) 【解析】选C.因为f(0)=-10,所以
9、零点在区间(0，1)上，故选C.,热点考向 2 函数零点个数的判断 【方法点睛】 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；,(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质； (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.,【例2】(2012天津高考)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( ) (A
10、)0 (B)1 (C)2 (D)3 【规范解答】选B.由f(x)=2x+x3-2得f(0)=-10，f(1)=10，f(0)f(1)0， 又函数在定义域上为增函数，故选B.,【变式训练】1.(2012福州模拟)“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的( ) (A)充分而必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 【解析】选B.a=-1a=-1或a=0f(x)=ax2+2x-1只有一个零点.,2.函数y=sinx-lgx的零点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解析】选D.令函数y=sinx-lgx=0 即sin
11、x=lgx,设y1=sinx,y2=lgx, 这两个函数的图象的交点个数就是函数的零点的个数， y2=lgx过(1，0)点和(10，1)点，与y1=sinx的交点个数是3，函数的零点的个数是3，故选D.,【变式备选】1.判断函数f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)是否存 在零点. 【解析】方法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y=log2(x+ 2)与函数y=x的图象，观察知：两函数在-1，3上有一个交 点，即函数f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)存在零点. 方法二：显然函数f(x)=log2(x+2)-x在-1,3上是连续不断 的，f(-1)=log2(-1+2)+1=10
12、,f(3)=log2(3+2)-3=log25-3 0,f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)存在零点.,2.判断函数f(x)=- x3+x2+4x在-1，1上零点的个数，并说 明理由.,【解析】显然函数f(x)=- x3+x2+4x在-1，1上是连续不断的， f(-1)=- (-1)3+(-1)2+4(-1)=- 0, f(1)=- 13+12+41= 0, 又f(x)=-2x2+2x+4=-2(x- )2+ , 当-1x1时，0f(x) , f(x)=- x3+x2+4x在-1，1上是单调递增函数， f(x)在-1,1上只有一个零点.,热点考向 3 由函数零点的存在情况求参数的取值
13、【方法点睛】 已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.,【例3】(2012泉州模拟)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x) =x+ (x0). (1)若g(x)=m有实数根，求m的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 【解题指南】解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求 解，(2)转化为两个函数f(x)与g
14、(x)有两个交点，从而数形结合 求解.,【规范解答】(1)方法一：g(x)=x+ 2 =2e,等号成立 的条件是x=e,故g(x)的值域是2e,+)，因此，只需m2e,则g(x)=m就有实数根. 方法二：作出g(x)=x+ (x0)的大致图象如图： 可知若使g(x)=m有实数根，则只需m2e.,(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有 两个不同的交点，作出g(x)=x+ (x0)的大致图象.,f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2. 其图象的对称轴为x=e,开口向下，最大值为m-1+e2. 故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时
15、，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. m的取值范围是(-e2+2e+1,+).,【反思感悟】有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解.,【变式训练】已知f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)0的解集是 (0,5). (1)求f(x)的解析式; (2)已知g(x)=f(x)+mx-6，求当m为何值时，g(x)为偶函数; (3)若g(x)=f(x)+mx-6在1,2上的最小值为h(m)，试讨论h(m)-k=0的零点个数.(k为常数),【解析】(1)由已知得2x2+bx+c0的解集是(0
16、，5), x1=0,x2=5是方程2x2+bx+c=0的两根，则0+5=- ,05= ， 解得b=-10,c=0. f(x)=2x2-10 x. (2)由已知得g(x)=2x2+(m-10)x-6为偶函数，则g(-x)=g(x)， 即2x2-(m-10)x-6=2x2+(m-10)x-6 解得m=10.,(3)g(x)=2x2+(m-10)x-6， 则它的对称轴是x= = . 当 1，即m6时，y=g(x)在x1,2上单调递增， 故h(m)=g(1)=m-14; 当1 2，即2m6时，y=g(x)，x1,2 在x= 取最小值, 于是h(m)=g( )=,当 2，即m2时，y=g(x)在x1,2
17、上单调递减， 故h(m)=g(2)=2m-18. 综上所述：h(m)= . 由题意知,h(m)-k=0根的个数等价于函数y=h(m)与y=k两个图象 公共点的个数, 由y=h(m)的解析式，可知y=h(m)在R上单调递增，,结合图象知，不论k为何值，方程h(m)-k=0总存在唯一的实数根. h(m)-k=0有1个零点.,1.(2012北京高考)函数 的零点的个数为 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解析】选B.在同一平面直角坐标系 内作出 与 的图象如图 所示，易知，两函数图象只有一个交 点，因此函数 只有1个零点.,2.(2012湖北高考)函数f(x)=xcosx2在区间0,
18、4上的零 点个数为( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 【解析】选C.由方程xcosx2=0在区间0,4上的根有x1=0, 因此共有6 个零点.,3.(2013厦门模拟)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=x+log2x，h(x)=x3+x的零点依次为a,b,c，则a,b,c的大小顺序正确的是 ( ) (A)bca (B)bac (C)abc (D)cba,【解析】选A.由f(x)=0,g(x)=0,h(x)=0,分别得2x=-x,log2x= -x,x3=-x,函数y=2x,y=log2x,y=x3与y=-x的图象如图所示， 由图易知，a0,c=0， bca.,4.(2012泉州模拟)设函数f(x)= ，则函数 F(x)=f(x)- 的零点是_.,【解析】由已知当x1,+)时，f(x)= ,得2x-2= ,得x= . 当x(-,1)时，f(x)= ，得x2-2x= ,即4x2-8x-1=0, 解得x= ,又x1，x= . 综上可知：F(x)的零点是 ， . 答案： ，,