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1、第八节 函数的图象,1.六种基本初等函数的图象,【即时应用】 (1)下列四个图象是函数y=log2x的图象的是_.,(2)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=ax与g(x)=ax的图象可能是下列四个图象中的_.,(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(a, )所在的 象限为_.,【解析】(1)题中对数函数底数大于1，由图象知正确. (2)由g(x)=ax结合图象知a0且a1，故f(x)=ax图象为过原点 且上升的直线，故不正确，再结合，分析01 知，正确. (3)由图象知，图象的对称轴x=- 0,即 0，由f(0)=c知，抛物线与y轴的交点 为(0,c).c0， 0,故点P
2、(a, )在第二象限. 答案：(1) (2) (3)第二象限,2.函数图象间的变换 (1)平移变换 水平平移：y=f(x) y=_.(简记为 左_右_) 竖直平移：y=f(x) y=_.(简记为 上_下_),左,右,f(x+h),加,减,上,下,f(x)+k,加,减,(2)对称变换 y=f(x) y=_; y=f(x) y=_; y=f(x) y=_; y=ax(a0且a1) y=logax(a0且a1),-f(x),f(-x),-f(-x),(3)翻折变换 y=f(x) y=_. y=f(x) y=_.,|f(x)|,f(|x|),(4)伸缩变换 y=f(x) y=_. y=f(x) y=_
3、.,f(ax),af(x),【即时应用】 (1)在同一坐标系下，函数f(x)=log22x与g(x)=21-x的图象是下列四个图象中的_.,(2)已知下图(1)中的图象对应的函数为y=f(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是_. y=f(|x|) y=|f(x)| y=-f(|x|) y=f(-|x|),(3)若f(a+x)=f(b-x),xR恒成立，则函数y=f(x)的图象本身关于直线_对称. (4)若方程|ax|=x+a(a0)有两个解，则a的取值范围为_.,【解析】(1)f(x)=log22x=1+log2x. f(x)=log22x的图象是函数y=log
4、2x的图象向上平移1个单位得 到的； 又g(x)=21-x=( )x-1， g(x)=21-x的图象是函数y=( )x的图象向右平移1个单位得到 的.因此是.,(2)从图象中可观察到：图(2)中的函数图象为一个偶函数的图象，排除， 又当x0时，图(1)与(2)中函数的图象一致，正确. (3)由已知可得：关于直线x= 对称.,(4)在同一坐标系中分别作出当01时，y=|ax|=a|x|(a0)与y=x+a(a0)的图象，由图象得出a1时符合要求. 答案：(1) (2) (3)x= (4)(1,+),热点考向 1 作函数的图象 【方法点睛】 作函数图象的常见类型及方法 (1)直接法：当函数表达式(
5、或变形后的表达式)是熟悉的基本函数全部或局部或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出.,(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.,(3)描点法：当函数的表达式不适合以上两种方法时，则可采用描点法，其一般步骤为： 第一步确定函数的定义域以限制图象的范围. 第二步化简函数解析式. 第三步讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).
6、第四步列表(尤其注意特殊点：零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点). 第五步描点、连线.,【提醒】当函数解析式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势、大致形状等.,【例1】作出下列函数的图象 (1)y=elnx; (2)y=|log2(x+1)|; (3)y=a|x|(0a1); (4)y= (5)y=,【解题指南】对于(1)可先求定义域，化简解析式，再用直接法画图象；对于(2)、(3)和(4)可通过图象变换画出图象；对于(5)可借助于导数用描点法作出其大致图象.,【规范解答】(1)函数的定义域为x|x0且y=elnx=x(x0)，其图象如图(1)
7、.,(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象，如图(2).,(3)方法一：y= ，(0a1)，所以只需作出 函数y=ax(0a1)中x0的图象和y=( )x(0a1)中x0的图 象，合起来即得函数y=a|x|的图象，如图(3). 方法二：作出y=ax(0a1)的图象，去掉y轴左边图象，保留y 轴右边图象，并作关于y轴对称的图象，即得y=a|x|的图象，如 图(3).,(4)y=2+ ，故函数图象可由y= 图象向右平移1个单位， 再向上平移2个单位而得，如图(4).,(5)y= x3-x2-3x,y=x2-2
8、x-3.令y=0,得x1=-1，x2=3， 令y0，得单调增区间为(-,-1)和(3,+).令y0,得 单调减区间为(-1，3)，所以函数在x1=-1,x2=3处取得极值分 别为 和-9，由此可得其图象大致如图(5).,【反思感悟】为了正确作出函数的图象，必须做到： (1)熟练掌握六种基本初等函数的图象； (2)掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.,【变式训练】分别画出下列函数的图象： (1)y=|lgx|； (2)y=2x+2； (3)y= ； (4)y=x2-2|x|-1,【解析】(1)y=|lgx|= 函数y=|lgx|的图象，如
9、图(1)； (2)将函数y=2x的图象向左平移2个单位即可得到函数y=2x+2的图象，如图(2)；,(3)y= =1- ,可见原函数图象可由y=- 图象向左平 移3个单位再向上平移1个单位而得，如图(3).,(4)y= 且函数为偶函数，先用描点法作出 0，+)上的图象，再根据对称性作出(-,0)上的图象.得图 象如图(4).,热点考向 2 识图与辨图 【方法点睛】 识图与辨图常考类型及解法 (1)知图选式 从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； 从图象的变化趋势，观察函数的单调性； 从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； 从图象的循环往复，观察函数的周期性. 利用上述方法，排除、筛选
10、错误与正确的选项.,(2)知式选图 从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置； 从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势； 从函数的奇偶性，判断图象的对称性； 从函数的周期性，判断图象的循环往复； 从函数的极值点判断函数图象的拐点. 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.,【提醒】注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口,【例2】(1)(2012新课标全国卷)已知函数f(x)= 则y=f(x)的图象大致为( ),(2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2，0)上，下列函数中与f(x)的
11、单调性不同的是( ) (A)y=x2+1 (B)y=|x|+1 (C)y= (D)y=,【规范解答】(1)选B.令 得x0或-1x0时均有f(x)0,排除A,C,D.,(2)选C.由奇偶性知函数f(x)在(-2，0)上的图象如图所示：,则知f(x)在(-2，0)上为单调减函数，而y=x2+1,y=|x|+1和 y= ，作出其图象知在(-2，0)上均为减函数. 又y=x3+1,x0， 故y=x3+1在(-2，0)上为增函数，与f(x)的单调性不同，故选C.,【变式训练】1.设ab，函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ),【解析】选C.y=(x-a)2(x-b)(ab), 当xb时，y0
12、，排除选项A、B；当xb时，y0,又排除选项D故选C.,2.函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是( ),【解析】选A.方法一：函数y=f(x)g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-,0)(0,+)，图象不经过坐标原点，故可以排除C、D.由于当x为很小的正数时f(x)0且g(x)0，故f(x)g(x)0.故选A. 方法二：由函数f(x),g(x)的图象可知，f(x),g(x)分别是偶函数、奇函数，则f(x)g(x)是奇函数，可排除B，又函数y=f(x)g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-,0)(
13、0,+)，图象不经过坐标原点，可以排除C、D，故选A.,热点考向 3 函数图象的应用 【方法点睛】 常利用函数图象解决的问题及思路 (1)利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象数形结合研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.,(2)利用函数的图象研究方程的根的个数 当方程不是常见的一元一次方程、一元二次方程且方程与常见的基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横
14、坐标. (3)利用函数的图象研究不等式 当不等式不是常见且用求解的方法不能解决时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.,【例3】(1)(2013福州模拟)方程2x=x2的解的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)已知函数f(x)=x|m-x|(xR)，且f(4)=0. 求实数m的值； 作出函数f(x)的图象并判断其零点个数； 根据图象指出f(x)的单调递减区间； 根据图象写出不等式f(x)0的解集； 求集合M=m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根.,【规范解答】(1)选D.在同一平面直角坐标系里画出函数y=2x,y=x2的图象，如图，
15、 由图易知方程2x=x2有3个解，一个负根，两个正根，两个正根分别为x=2和x=4.,(2)f(4)=0，4|m-4|=0， 即m=4； f(x)=x|m-x| =x|4-x|= 函数f(x)的图象如图： 由图象知f(x)有两个零点.,从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为2，4； 从图象上观察可知： 不等式f(x)0的解集为：x|04. 由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点，则0m4, 集合M=m|0m4.,【互动探究】在本例(2)的条件下求f(x)在1，5上的值域. 【解析】f(5)=54,由图象知，函数在1，5上的值域为0，5.,【变式备选】1.已知函数f(x)满足
16、f(x+2)=f(x),当x-1,1)时，f(x)=x,则方程f(x)=lgx的根的个数是_ 【解析】构造函数g(x)=lgx，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，易知有4个根. 答案：4,2.使log2x1-x成立的x的取值范围是_ 【解析】构造函数f(x)=log2x,g(x)=1-x，在同一坐标系中作出两者的图象，如图所示，直接从图象中观察得到不等式成立时x(0,1). 答案：(0，1),1.(2012四川高考)函数 (a0，且a1)的图象 可能是( ),【解析】选D.当a1时， 为增函数，且在y轴上的 截距为 当0a1时， 为减函数，且在y轴 上的截距为 故选D.,2
17、.(2013厦门模拟)函数f(x)=-3|x|+1的图象大致是( ) 【解析】选A.显然f(x)是偶函数，且f(0)=0,故选A.,【一题多解】本题还可用如下解法： 显然，f(x)在0,+)上是减函 数，在(-,0)上是增函数，且f(0)=0,故选A.,3.(2013漳州模拟)函数 的图象不可能是( ),【解析】选D.当a0时，如取a=1，则 其定义域为R，它是奇函 数，图象是B，故B正确; 当a=0时，则 其定义域为x0，它是奇函数，图象是 C，故C正确;故选D.,4.(2012南平模拟)定义在-2，2上的偶函数f(x)在 0，2上的图象如图所示，则不等式f(x)+f(-x)x的解集为_.,
18、【解析】当x0,2时，f(x)=- +1,不等式变为2f(x)x,即 2(- +1)x，解得0 xx，解得：-2x0,综上可知-2x1. 答案：-2，1),5.(2012福建高考)对于实数a和b,定义运算“*”:a*b= 设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)= m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值 范围是_.,【解析】当x0时，2x-1x-1, 则f(x)=(2x-1)*(x-1)=(2x-1)2-(2x-1)(x-1)=2x2-x,当x0 时，2x-1x-1， 则f(x)=(2x-1)*(x-1)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x2+x. 画图，可知当 时， f(x)=m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3(x1x2x3), 其中，x2，x3是方程-x2+x-m=0的根，,x1是方程2x2-x-m=0的一个根，则x2x3=m， 所以 x1x2x3= 显然，该式随m的增大而减小，因此， 当m=0时，(x1x2x3)max=0； 当 时,(x1x2x3)min= 答案：,