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1、平行四边形的证明题一解答题（共 30 小题）1如图，已知四边形ABCD 为平行四边形， AEBD 于 E，CFBD 于 F（1）求证： BE=DF；（2）若 M、N 分别为边 AD、BC 上的点，且 DM=BN ，试判断四边形 MENF的形状（不必说明理由） 2如图所示， ?AECF 的对角线相交于点O，DB 经过点 O，分别与 AE，CF 交于 B，D求证：四边形 ABCD 是平行四边形3如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，BF=DE，AEBD，CFBD，垂足分别为 E，F（1）求证： ABE CDF；（2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证： AO=CO名师资料总结 - - -精品
2、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 4已知：如图，在 ABC 中，BAC=90 ，DE、DF 是ABC 的中位线，连接EF、AD求证： EF=AD5如图，已知 D 是 ABC 的边 AB 上一点， CEAB，DE 交 AC 于点 O，且OA=OC，猜想线段 CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系，并加以证明6如图，已知， ?ABCD 中，AE=CF，M、N 分别是 DE、BF 的中点求证：四边形 MFNE 是平行四边形7如图，平行四边形 A
3、BCD，E、F 两点在对角线 BD 上，且 BE=DF，连接 AE，EC，CF，FA求证：四边形 AECF 是平行四边形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 8在?ABCD 中，分别以 AD、BC 为边向内作等边 ADE 和等边 BCF，连接BE、DF求证：四边形 BEDF 是平行四边形9如图所示， DBAC，且 DB=AC，E 是 AC 的中点，求证： BC=DE10已知：如图，在梯形ABCD 中，ADBC，AD=
4、24cm，BC=30cm，点 P自点 A 向 D 以 1cm/s的速度运动， 到 D 点即停止点 Q 自点 C 向 B 以 2cm/s的速度运动，到 B 点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形问当P，Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？11如图：已知 D、E、F 分别是 ABC 各边的中点，求证： AE 与 DF 互相平分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 12已知：如图，在 ?ABCD 中，对角线 A
5、C 交 BD 于点 O，四边形 AODE 是平行四边形求证：四边形ABOE、四边形 DCOE 都是平行四边形13如图，已知四边形ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是 AB、CD、AC、BD的中点，并且点 E、F、G、H 有在同一条直线上求证： EF 和 GH 互相平分14如图： ?ABCD 中，MNAC，试说明 MQ=NP15已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 经过点 O 并且分别和 AB， CD 相交于点 E，F， 点 G，H 分别为 OA，OC 的中点求证：四边形 EHFG 是平行四边形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
6、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - 16如图，已知在 ?ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上的两点， BE=DF，点 G、H分别在 BA 和 DC 的延长线上，且AG=CH，连接 GE、EH、HF、FG（1）求证：四边形 GEHF 是平行四边形；（2）若点 G、H 分别在线段 BA 和 DC 上，其余条件不变，则（ 1）中的结论是否成立？（不用说明理由）17如图，在ABC 中，D 是 AC 的中点， E 是线段 BC 延长线一点，过点 A 作BE 的平行线与线段 ED
7、 的延长线交于点 F，连接 AE、CF（1）求证： AF=CE；（2）如果 AC=EF，且 ACB=135 ，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论18如图平行四边形 ABCD 中， ABC=60 ，点 E、F 分别在 CD、BC 的延长线上， AEBD，EFBF，垂足为点 F，DF=2 （1）求证： D 是 EC 中点；（2）求 FC 的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 19 如图， 已知 A
8、BC 是等边三角形，点 D、 F 分别在线段 BC、 AB 上， EFB=60 ，DC=EF（1）求证：四边形 EFCD 是平行四边形；（2）若 BF=EF，求证： AE=AD 20如图，四边形 ABCD ，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点（1）请判断四边形 EFGH 的形状？并说明为什么；（2）若使四边形 EFGH 为正方形， 那么四边形 ABCD 的对角线应具有怎样的性质？21如图， ACD、ABE、 BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形（1）当 AB AC 时，证明：四边形ADFE 为平行四边形；（2）当 AB=AC 时，顺次连接 A、D、F、E 四点所构成的图
9、形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 22 如图，以ABC 的三边为边，在 BC 的同侧分别作三个等边三角形即ABD 、BCE、ACF，那么，四边形AFED 是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由23在 ABC 中，AB=AC ，点 P为ABC 所在平面内一点，过点P分别作 PEAC 交 AB 于点 E，PFAB 交 BC 于点 D，交 AC 于点 F若
10、点 P在 BC 边上（如图 1） ，此时 PD=0，可得结论： PD+PE+PF=AB请直接应用上述信息解决下列问题：当点 P 分别在 ABC 内（如图 2） ，ABC 外（如图 3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， PD，PE，PF 与 AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 24 如图 1， P为 RtABC 所在平面内任意一点 （不在直线
11、 AC 上） ， ACB=90 ，M 为 AB 边中点操作：以 PA、PC 为邻边作平行四边形PADC，连续 PM 并延长到点 E，使 ME=PM，连接 DE探究：（1）请猜想与线段 DE 有关的三个结论；（2）请你利用图 2，图 3 选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（ 2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2 或图 3 加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将 “ RtABC” 改为“ 任意 ABC” ，其他条件不变，利用图4 操作，并写出与线段 DE 有关的结论（直接写答案） 25在一次数学实践探究活
12、动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 26如图，在直角梯形ABCD 中，ABCD，BCD=Rt，AB=AD=10cm ，BC=8c
13、m点 P 从点 A 出发，以每秒 3cm 的速度沿折线 ABCD 方向运动，点 Q从点 D 出发，以每秒 2cm的速度沿线段 DC 方向向点 C 运动已知动点 P、Q同时发，当点 Q 运动到点 C 时，P、Q 运动停止，设运动时间为t（1）求 CD 的长；（2）当四边形 PBQD 为平行四边形时，求四边形PBQD 的周长；（3）在点 P、点 Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ 的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由27已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0） 、A（2，0） 、B（1，1） ，则第四个顶点 C 的坐标是多少？28 已知
14、平行四边形 ABCD 的周长为 36cm，过 D 作 AB，BC 边上的高 DE、DF，且cm，求平行四边形 ABCD 的面积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 29如图，在平面直角坐标系中，已知O 为原点，四边形 ABCD 为平行四边形，A、B、C 的坐标分别是 A（3，） ，B（2，3） ，C（2，3） ，点 D 在第一象限（1）求 D 点的坐标；（2）将平行四边形 ABCD 先向右平移个单位长度，再向下平移个
15、单位长度所得的四边形 A1B1C1D1 四个顶点的坐标是多少？（3）求平行四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 重叠部分的面积？30如图所示?ABCD 中，AF 平分 BAD 交 BC 于 F，DEAF 交 CB 于 E求证：BE=CF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 1、解答：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AB=CD ，AB CD， ABD= CDB， AEBD 于 E，CFBD 于 F， AE
16、B= CFD=90 ， ABE CDF（AAS ） ， BE=DF ；（2）四边形MENF 是平行四边形证明：有（ 1）可知： BE=DF ，四边形ABCD 为平行四边行，AD BC， MDB=MBD ，DM=BN ， DNF BNE， NE=MF ， MFD= NEB， MFE= NEF，MF NE，四边形MENF 是平行四边形2、解答：证明：四边形AECF 是平行四边形OE=OF，OA=OC ，AECF， DFO=BEO， FDO=EBO， FDO EBO ，OD=OB ，OA=OC ，四边形ABCD 是平行四边形3、解答：证明： （ 1） BF=DE ， BFEF=DEEF，即 BE=D
17、E ，AEBD ，CFBD ， AEB= CFD=90 ，AB=CD ， RtABE RtCDF （HL） ；（2） ABE CDF， ABE= CDF， AB CD，AB=CD ，四边形ABCD 是平行四边形，AO=CO 4、解答：证明：DE ，DF 是 ABC 的中位线， DEAB ，DFAC ，四边形 AEDF 是平行四边形，又 BAC=90 ，平行四边形AEDF 是矩形， EF=AD 5、解答：解：猜想线段CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系是：平行且相等证明： CEAB， DAO= ECO，OA=OC ， ADO ECO， AD=CE ，四边形ADCE 是平行四边形，CDAE6、
18、解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB ， DAE= FCB，又 AE=CF ， DAE BCF， DE=BF ， AED= CFB 又 M、N 分别是 DE、BF 的中点， ME=NF 又由 AB DC，得 AED= EDC EDC=BFC， ME NF四边形MFNE 为平行四边形7、解答：证明：连接AC 交 BD 于点 O，四边形 ABCD 为平行四边形，OA=OC ，OB=OD BE=DF ， OE=OF四边形AECF 为平行四边形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
19、第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 8、解答：证明：四边形ABCD 是平行四边形，CD=AB ，AD=CB ， DAB= BCD又 ADE 和 CBF 都是等边三角形，DE=BF ，AE=CF DAE= BCF=60 DCF=BCD BCF， BAE= DAB DAE ， DCF=BAE DCF BAE （SAS） DF=BE 四边形BEDF 是平行四边形9、解答：证明：E 是 AC 的中点， EC=AC ，又 DB=AC， DB=EC 又 DBEC，四边形DBCE 是平行四边形BC=DE 10、解答：解：设P，Q 同时出发 t 秒后四边形PDCQ 或四边形APQB
20、 是平行四边形，根据已知得到 AP=t ，PD=24t，CQ=2t，BQ=302t（1）若四边形PDCQ 是平行四边形， 则 PD=CQ，24t=2tt=88 秒后四边形PDCQ 是平行四边形；（2）若四边形APQB 是平行四边形，则AP=BQ ， t=302tt=1010 秒后四边形APQB是平行四边形11、解答：证明：D、E、F 分别是 ABC 各边的中点，根据中位线定理知：DEAC ，DE=AF ，EFAB，EF=AD ，四边形 ADEF 为平行四边形故AE 与 DF 互相平分12、解答：证明：?ABCD 中，对角线AC 交 BD 于点 O， OB=OD ，又四边形AODE 是平行四边形
21、，AEOD 且 AE=OD ， AEOB 且 AE=OB ，四边形 ABOE 是平行四边形，同理可证，四边形DCOE 也是平行四边形13、解答：证明：连接EG、GF、FH、HE，点 E、F、G、H 分别是 AB、CD、AC、BD 的中点在 ABC 中， EG=BC；在 DBC 中，HF=BC，EG=HF 同理 EH=GF 四边形 EGFH 为平行四边形EF 与 GH 互相平分14、解答：证明：四边形ABCD 是平行四边形，AM QC，APNC又 MN AC，四边形AMQC 为平行四边形，四边形APNC 为平行四边形AC=MQ AC=NP MQ=NP 15、解答：证明：如答图所示，点 O 为平行
22、四边形ABCD 对角线 AC ，BD 的交点， OA=OC ，OB=OD G，H 分别为 OA ，OC 的中点， OG=OA，OH=OC， OG=OH 又 ABCD， 1=2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 在 OEB 和 OFD 中，1=2， OB=OD ， 3=4， OEB OFD ，OE=OF四边形EHFG 为平行四边形16、解答：（ 1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，17、 AB=CD ，ABCD
23、， GBE=HDF 又 AG=CH ，BG=DH 又 BE=DF ， GBE HDF GE=HF， GEB=HFD ， GEF=HFE，GEHF，四边形GEHF 是平行四边形（2）解：仍成立 （证法同上）17、解答：（ 1）证明： AFEC， DFA= DEC ， DAF= DCE，D 是 AC 的中点， DA=DC ， DAF DCE， AF=CE ；（2）解：四边形AFCE 是正方形理由如下：AFEC， AF=CE ，四边形AFCE 是平行四边形，又 AC=EF ，平行四边形AFCE 是矩形， FCE=CFA=90 ，而 ACB=135 ， FCA=135 90 =45 ， FAC=45
24、， FC=FA，矩形 AFCE 是正方形18、解答：（ 1）证明：在平行四边形ABCD 中， ABCD，且 AB=CD ，又 AEBD ，四边形ABDE 是平行四边形，AB=DE ， CD=DE，即 D 是 EC 的中点；（2）解：连接EF， EFBF， EFC 是直角三角形，又 D 是 EC 的中点， DF=CD=DE=2 ，在平行四边形ABCD 中，AB CD， ABC=60 ， ECF=ABC=60 ， CDF 是等边三角形，FC=DF=2 故答案为： 219、解答：证明： （1） ABC 是等边三角形，ABC=60 ， EFB=60 ， ABC= EFB， EFDC（内错角相等，两直线
25、平行），DC=EF ，四边形EFCD 是平行四边形；（2）连接 BE BF=EF ， EFB=60 ， EFB 是等边三角形，EB=EF ， EBF=60 DC=EF ， EB=DC ， ABC 是等边三角形，ACB=60 ，AB=AC ， EBF=ACB ， AEB ADC ， AE=AD 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 20、解答：解： （1）如图，四边形EFGH 是平行四边形连接 AC，E、F 分别是
26、AB、BC 的中点， EFAC，EF=AC 同理 HGAC，EFHG，EF=HG EFGH 是平行四边形；（2）四边形ABCD 的对角线垂直且相等假若四边形EFGH 为正方形，它的每一组邻边互相垂直且相等，根据中位线定理得到四边形ABCD 的对角线应该互相垂直且相等21、解答：（ 1）证明： ABE、 BCF 为等边三角形，AB=BE=AE ，BC=CF=FB ， ABE= CBF=60 CBA= FBE ABC EBF EF=AC 又 ADC 为等边三角形，CD=AD=AC EF=AD 同理可得 AE=DF 四边形AEFD 是平行四边形（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段当图形
27、为菱形时，BAC 60 （或 A 与 F 不重合、 ABC 不为正三角形）当图形为线段时，BAC=60 （或 A 与 F 重合、 ABC 为正三角形）22、解答：解：四边形AFED 是平行四边形证明如下：在 BED 与 BCA 中， BE=BC ，BD=BA （均为同一等边三角形的边）DBE= ABC=60 EBA BED BCA （SAS） DE=AC 又 AC=AF DE=AF 在 CBA 与 CEF 中，CB=CE ，CA=CF ACB= FCE=60 +ACE CBA CEF（SAS） BA=EF 又 BA=DA ，DA=EF 故四边形 AFED 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形
28、是平行四边形）23、解答：解：图2 结论： PD+PE+PF=AB 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 证明：过点P 作 MN BC 分别交 AB ，AC 于 M，N 两点，由题意得 PE+PF=AM 四边形 BDPM 是平行四边形，MB=PD PD+PE+PF=MB+AM=AB，即 PD+PE+PF=AB 图 3 结论： PE+PFPD=AB 24、解答：解： （1）DEBC，DE=BC ，DEAC （2）如图
29、 4，如图 5（3）方法一：如图 6，连接 BE，PM=ME ，AM=MB ， PMA= EMB ， PMA EMB PA=BE ， MPA=MEB ，PABE平行四边形PADC， PADC，PA=DC BEDC，BE=DC ，四边形 DEBC 是平行四边形DEBC，DE=BC ACB=90 ， BCAC ，DEAC方法二：如图 7，连接 BE，PB，AE，PM=ME ，AM=MB ，四边形PAEB 是平行四边形PABE，PA=BE ，余下部分同方法一：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
30、 - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 方法三：如图 8，连接 PD，交 AC 于 N，连接 MN ，平行四边形PADC， AN=NC ，PN=ND AM=BM ，AN=NC ， MN BC，MN=BC又 PN=ND ，PM=ME ， MN DE，MN=DE DEBC，DE=BC ACB=90 ， BCAC DEAC（4）如图 9，DEBC，DE=BC 25、解答：解： （1）无数；（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可如图有： AE=BE=DF=CF ，AM=CN （3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交
31、点）26、解答：解： （1）过点 A 作 AM CD 于 M，根据勾股定理，AD=10 ，AM=BC=8 ，DM=6， CD=16 ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - （2）当四边形PBQD 为平行四边形时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 DC 上，如图，由题知： BP=103t，DQ=2t 103t=2t，解得 t=2 此时， BP=DQ=4 ，CQ=12四边形 PBQD 的周长 =2（BP+BQ ）=；（
32、3）当点P 在线段 AB 上时，即时，如图当点 P在线段 BC 上时，即时，如图BP=3t10，CQ=162t化简得： 3t234t+100=0， =440，所以方程无实数解当点 P在线段 CD 上时，若点 P 在 Q 的右侧，即6 t，则有 PQ=345t ，6，舍去若点 P 在 Q 的左侧，即，则有 PQ=5t34，t=7.8综合得，满足条件的t 存在，其值分别为，t2=7.8名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - -
33、- 27、解答：解：当BCOA ，BC=OA 时， C 和 B 的纵坐标相等，若选择 AB 为对角线，则C1（3，1） ；若选择 OB 为对角线，则C2（ 1，1） ；当 ABOC，AB=OC 时，选择 OA 为对角线，则C3（1， 1） 故第四个顶点坐标是：C1（3，1） ，C2（ 1，1） ， C3（1， 1） 28、解答：解：设AB=x ，则 BC=18x，由 AB?DE=BC ?DF F 得：，解之 x=10，所以平行四边形ABCD 的面积为29、解答：解： （1）由 B、C 的坐标可知， AD=BC=4 ，则可得点D 的横坐标为1，点 D 的纵坐标与点A 的纵坐标相等，为，可得点 D
34、 的坐标为（ 1，） （2）依题意得 A1、B1、C1、D1的坐标分别为A （3+，0） ，B （ 2+，2）C （2+，2） ，D（1+，0） （3）如图，平行四边形ABCD 与四边形 A1B1C1D1重叠部分的面积为平行四边形DEFG 的面积，由题意可得GD=AD AG=4 ，平行四边形DEFG 的高为 2=，重叠部分的面积为（4）?=4230、解答：证明：在平行四边形ABCD 中，AD BC， DAF= F，又 AF 平分 BAD ， DAF= BAF ， BAF= F， AB=BF ，又 AF 平分 BAD ，DEAF， AOD= ADO ，又 BOE= AOD= EDC， ADO= E， EDC= E， CE=CD，又 AB=CD ， BE=CF 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -