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1、不等式高考 总复习探讨高考复习要 立足于基础 知识和基本 方法的掌握 ，但要避免简 单的重复和 罗列，要在提高上 下功夫， 因此复习时 要 凸现针对性， 要在学情分 析的基础上 查漏补缺； 启发性， 要提高学生的 知识迁移 能力， 做到举一反 三；概括性，要帮助学生归纳典型的 解 题方法， 提高复习效率 ，综合性，要把关联知识综合起来 复习，形成一个较为完整的知 识体系。不等关系渗 透到高中数 学的方方面 面， 处理不等关 系需要学生 有较强的应 变 能力、综合能力。纵观近年来 的高考试题 ，从题型上来 看，选择、填空题主要考查不等式 的 性质、比较大小和解简单不等 式；解答题主要 考查含参数
2、 的不等式解 法 、参数范围的 确定和求函 数的最值， 综合数列、 三角、 解析几何的 不等式的证 明是常考常 新的试题。 所以高考总 复习重点要 放在这些知 识点上， 帮助学生熟 练掌握常用 方 法和技巧 ，提高分析问 题和解决问 题的能力。 如何在不等 式的复习中 抓 住重点兼 顾难点，提高复习效率 ，笔者认为要 抓 好以下四 个环节。一、展示知识网 络展示知识网 络 可以帮助 学生形成完 整的知识结 构，总体把握知识之间的内 在联系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页二、难点再现理解基础知 识是正确应 用知识
3、解决 问题的关键 ， 在解决实际 问题时由于 对 知识的内 涵把握不到位 ，条件不具备 时错用结论 ，或者凭主观 臆测理所当 然 认为某结 论成立， 导致解题错 误 时有发生 。学生在解题 时需要考虑 的问题较多 ，精力容易分 散 ，在遇到难点 时 往往难以 做到专心研 究。在复习的第 二环节中集 中再现教科 书中的难点 ，让学生集中 精力透彻理 解这些难点 ，教学效果会 更好。本章的知识难点主要有 ：1有关不等式性质如果， 则有， 反之若， 则当时有； 当时有。如果，且，那么，但不一定成立。若，则，当、独立时，的取值范围 是，而当、有关联时，的取值范围 会缩小，也有类似的 结论。如果，则有，
4、反之若，则有或或或。2有关均值不等式当时，必成立， 但不一定有，只有当能做到时，才能取到“”号；当时，有。3有关不等式证明方法分析法的本 质是“索果导因”，寻找命题成立的充分条 件，而不是必要 条件，书写的格式要规范，可以采用反证法，使书写与学生习惯写法 一致。4有关绝对值不等式教科书将代入来证明，此方法在研究抽象函数 时经常用到 。三、知识拓展把本章与其 他各章知识 结合起来， 就能得到非 常有用的结 论，这些知识通 过集中研究 ，加深理解，在解题时就能运用自如 。解决问题的 思路从何而 来，当你的大脑 中储存着大 量与题意有 关联的知识 信息时，你的联想精选学习资料 - - - - - -
5、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页就会 产生，你就会从你 的 知识结构 中调动有关 的知识与之 匹配，这些知识既 有课本知识 又 有拓展知 识，所以拓展知 识起到了桥 梁作用， 对拓展知识 的 研究， 既可起到复 习巩固所学 基 础知识的 作用，也可在探索解题思路时 起到启发性 作 用，一举两得。本章的拓展知识主要有 ：1实数的性质若，则。对任意的实 数、必有；若，或，则。若，则当时，；当，；当时，。若当时，必有，则。对 于 常 数， 若 存 在 最 大值 和 最 小 值 ， 则；。2不等式的性质若，当时，有；当时，有。若，当时，有；当时，有。若要证
6、明，只需找到一 个数，并证明且，即可证明。3均值不等式对任意的实 数，必有，而当时，有，此两式合起 来，即当时，有。若，且，则，且。4其他当时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页当时，在区间内单调递减，当区间内单调递增。而在区间上单调递增。四、方法探求不等问题综 合性强，思维能力要 求高， 解决问题的 方法多，如特值检验法 、凑配法、换元法、判别式法、倒数变换法等，这些方法较 常见且相对简单，学生易掌握，除此之外，复习时教师还要借助一 些典型例题 ，补充一些重 要 的方法，拓宽解题思 路，强化思维训练，帮助学生构
7、建思维模式 ，造就思维依 托和合理的 思 维定势。1图象法例 1（2006 年浙江高考文 4）已知，则（）（A）（ B）（C）（ D）分析与解：如图，作出及和的图象，从图上很容易得到答案 （D） 。2图形法例 2 （2005年浙江高考理 10） 已知向量，满足：对任意， 恒有。则（）（A）（B）（C）（D）分析与解： 如图， 设，则，。因为对任意，恒有，即，所以必有，即，故选（ C） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页3用因式分解法求最值例 3 已知，且，求的最小值。分析与解：将变形成，则，当且仅当，即，时取“”
8、号，的最小值是。4用线性规划法求最值例 4 设，且，求的取值范围。分析与解：通过作出满 足条件的平 面区域求代 数式值的范 围 。 由，得，又，所以本题即 是在线性约 束条件下，求目标函数的取值范围 ，答案是。5用“乘1 法”求最值例 5 解下列各题（1）若正数、满足，求的最小值；（2）若、，且，求的最小值；（3）设，、为正常数，则的最小值是（）. .分析与解： 把已知条件 变 形为一边 是 1 的等式 ，然后用求最 值的代数式 去 乘此式往 往能较简捷地 求 出 代 数式 的 最 值 。（ 1 ） 等 式 两 边 同乘 以， 得，当且仅当且时取等号，所以的最小值是。（2）将变形为，以下类似于
9、 （1）的解法，答案是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页（3）构造恒等式，以下类似于 （1）的解法，答案是。6用轨迹法求最值例 6 已知， 在内恒有， 求实数的取值范围。分析与解：研究带参数的二次不等 式在有限区 间 上的性质 ，此类问题非 常常见， 由于多了一 个参变量， 对应的二次 函数的图象 就不确定了 ，但其顶点总 在 某一确定 的曲线上移 动，所以我们可 以通过画出 顶点的轨迹 ，借助图象的 直 观，使问题得以 解决。抛物线的顶点的轨迹方 程为，是一条抛物 线（如图），此抛物线与轴的交点是和。设的图象通
10、过点时其顶点为。从图上可以看 出，当顶点从连续变到时，在内恒有。而顶点为、时对应的的值分别为和，由变化的连续性得：。7用放缩法证明不等式（1）先计算再缩放例 8 （2006 年湖北高考文 20） 在（） 个不同数的 排列中， 若时（即前面某数 大 于后面某 数） ，则称与构成一个逆序。一个排列的全部逆序的总 数称为该 排列的逆序 数。记排列的逆序数为，如排列的逆序数，排列的逆序数，排列1 的逆序数。（）求、，并写出的表达式；（）令，证明，。分析与解：（）答案是，（过程略）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页（），先
11、计算得再 将此式进行缩放 ，且，结论成立。（2）先缩放再计算例 9 （05 学年第 一学期宁波 市高三统考 ） 已知数列前项和为，且（） 。（1）求证：；（ 2）求及；（3）求证：。分析与解：（ 1）由，将代入化简即得结论（过程略） ； （2）用累乘法可 得，用错位相减法求得（过程略）； （ 3）由（ 2）得，由于数列的前项和无法求得，所以要先将进行缩放，然后再求值。当时，有，。（3）逐步缩放例10 （2006年江 西 高 考理22 ）已 知 数列满足 ：，且。（1）求数列的通项公式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18
12、 页（2）证明：对于一切正整 数，有。分析与解：（ 1）将已知条件 变形为，得数列是等比数列。利用等比数 列的通项公 式可得（过程略）； （2）要证明，即要证明，可先证明（第一次缩放） ，再 证 明（ 第 二 次 缩 放） ， 依 次 类 推 最后 得 到（最后一次缩 放） 这一过程可 用数学归纳 法证明，接下来用等比数列的求 和公式计算 就能证得结 论。8用函数的单调性证明不 等式例 11（06 年浙江 高考理）已知函数，数列 (0)的第一项1，以后各项按 如下方式取 定：曲线在处的切线与经过 （0，0）和（，）两点的直线平行（如图）求证：当时，(1) ；（2）。分析与解： (1) 利用导数
13、的 几何意义易 证（过程略）； （2）由（ 1）得，即， 用 累 乘 法 得， 又 1 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页，又由（ 1）得，构造函数，当时，此函数在区 间 上单调递增，于是可得，再用累乘法 得，。9用二项式定理证明不等 式例 12 已知数列满足，是的前项和，且。（1）求的通项；（2）证明：。分析与解：（1），又，代入整理得，再用累乘法 求 得通项公式（过程略） ， （ 2）因为，所以要证明的 不等式是，把二项式展开得。 又显然， 所以不等式 成立。10用数学归纳法 证明不等 式例 13 （2006
14、 年陕西高考理 22）（有改动）已知函数， 且存在，使。（）证明：是上的单调函数；（）设，其中证明：；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页分析与解：（ 1）因为，所以是上的递增函数。（ 2），又是上的递增函数，即，且，有，以下用数学 归纳 法 证 明， 假 设成 立 ， 则），即有成立，由归纳法原理得命题成 立。当时，函数（为实数）是单调的，求证：或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页12搭桥法设（1）求的最大值；（2）证明对任意实数、恒
15、有证明奇数项 的不等式的 拆项变换例、为互不相等 的正数，且，求证：。1314用三个“二次”的关系证明不 等式例已知二次函数 的图象与轴有两个不同 的公共点， 若，且时，。（1）证明：是的一个根； （二次函数与根的关系）（2）比较与的大小； （不等式传递性）（3）证明：。例设二次函数，方 程的两个根、满 足。（1）当时，证明；（2）设函数的图象关于直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页305.gi=41对称，求证。15等式与不等式 结合证明 不等式例设，若，求证（）方程有实根；（）（）设是方程的两个实根，则161
16、718用凑项法证明 绝对值不 等式对于绝对值 符号内的式 子，采用加减某 个式子后， 重新组合， 运用绝对值 不等式的性 质 变形，是证明绝对值 不等式的 典型方法。例 （全国高考题 ）设、， 函数， 当时，。（1）证明；（ 2）证明：当时，。1920用主元思想研 究不等式（2004 年高考福建文 22）已知=在区间 1， 1 上是增函数 .（）求实数a 的 值组成的集 合 A；（）设关于x 的方 程=的两个非零 实根为、x2. 试问：是否存在实数 m ，使得不等式 + + | x2| 对任意 aA及 t 1，1 恒成立？若存在，求m的取值 范围；若不存在，请说明理由。2122精选学习资料 -
17、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页23 。24带参数二次不 等式成立 问题的研究已知等式；，要使同时满足和的也满足，则应满足（）特值检验法例若，则下列不等 关系中不能 成立的是（）. . . .不等式化简 判 断法（化简为：整式0 或整式 0 的形式）例，则成立的一个充分不必 要的条件是 （）. .例已知三个不 等 式：；。以其中两个作为条件，余下一个作 为结论，则可以组成个正确的命 题。配凑法已知，求函数的最大值。例，那么“”是“”的条件。换元法例设实数、满足，若对满足条 件的、，恒成立，则的取值范围是（）. .例设实数，满足
18、，求的最大值。判别式法设是实数，且，则的取值范围是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页.或.或例实数、满足，则的取值范围是。例已知函数（、）的图象按平移后得到的 图象关于原 点对称，。（1）求、的值；（2）设，求证：； （不等式传递性、均值不等式 ）（3）设是正实数，求证：。 （二项展开式、倒序相加、均值不等式 ）例（ 2006 高考辽宁理2）已知其中设（1）写出（2）证明：对于任意的恒有用累乘法证 明不等式各项为正的 数列，若，则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
19、 - - -第 14 页，共 18 页用综合法证 明不等式用换元法证 明不等式用绝对值的 性质证明不 等式6若，求的取值范围。方法一：（解不等式法 ）若，代入已知不等式则，与矛盾，所以，若，则，得；若，则，得。综上所述，。方法二：综合法若，代入已知不等式则，与矛盾，所以，不等式两边 都除以同一 正数，得，所以有。方法三： 换元法设，由得，所以方法四：线性规划法满 足的区域如图阴影部 分，是此区域内 任一点到原 点的连线的 斜率，显然。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页特点分析： 1、实际上是个 递推式，要得到通项
20、式，需要经过猜 想与数学归纳 法证明。2、 对于组合数（） 的变形，要充分利用 基本式，即把写成。特点分析： 1、利用二次函数的图象，抛物线的单调性和函数 值的性质来 解 题。2、灵活运用等式3、8、设（为常数），方程的两个实数根为、，且满足，。（1）求证：；（2）设，比较与的大小。9、 （ 06 年浙江 高 考文）（5）设向量，满足，且，|=1，|=2 ，则 | 2 = （A）1 （B）2 （C）4 （D）5 特点分析：作图法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页一、有用知识或方 法的积累1的证明。含有绝对值符
21、号的不等 式的证明，若将两边平方，可消去部分 绝对值的符 号 ，正如含根式 不等式一样 ，在一定的条 件下可采用 两 边平方将 部分根号去 掉。2的证明。将移项得与的结构完全 一样，所以只需利 用，将绝对值符号内的字母 作适当变换 就可以了。数形结合法（2005 年浙江省高考 题理 10）已知向量，满足：对任意，恒有。则（）C （A）（B）（C）（D）分析：向量有两种表 示法，一是几何表示，二是字母表示，几何表示用来解决一些 几何问题， 此题中涉及 的 长度、 垂直都是几 何中的典型 问题，我们可以试 着 用作图的 方法去解决。 即数形结合 法 ，作如下图设，则，。因为对任意，恒有，即，所以必
22、有。即，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页（2）函数思想：设，因为，所以，得整体思想与 函数思想（06 年浙江 高考理）已知函数，数列 ( 0)的第一项1，以后各项按 如下方式取 定：曲线在处的切线与经过 （0，0）和（，）两点的直线平行（如图）求证：当时，( ) ； （求导）（）（缩、放、累乘、整体思想、函数思想）“左”用整体思想（从大处着眼 ）设新数列，研究相邻两 项的关系，“右”用函数思想（从小处着手 ） 设函数，研究它的单调性，从而将函数值的大小关 系转化为自 变量大小关 系 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页