《2022年高三数学一轮指数函数、对数函数与幂函数 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学一轮指数函数、对数函数与幂函数 .pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页版权所有不得复制年级高三学科数学内容标题指数函数、对数函数与幂函数编稿老师胡居化一、学习目标1.了解基本初等函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数）的实际背景 .了解实数指数幂的意义及对数的作用、了解指数函数与对数函数互为反函数的性质.2.理解指数、对数的概念及其运算性质，理解指数函数、对数函数，一次函数、二次函数、幂函数的图象与性质.3.掌握幂的运算、 对数运算及指数函数、对数函数、 一次函数、 二次函数性质的应用.二、重点、难点重点 ：（1）指数幂、对数的运算（2）对一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质的理解.难点： 一次函数、二次函数、指数函数、对数
2、函数的图象与性质的应用.三、考点分析函数这部分内容是高考中的重点与难点，基本的初等函数是高考函数基础知识考查的重点，因此第一轮的复习重点是把握基本函数的基础知识及其简单的应用，这部分知识点是高考命题的“黄金”知识点，命题的题型有选择题、填空题、中等类型的大题等注： （1）二次函数的解析式的确定方法有三种形式：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 2 页版权所有不得复制一般式：若已知二次函数经过A，B，C 三点，可
3、设解析式为cbxaxxf2)(，把三点坐标代入求出a， b，c 的值 .零点式：若已知二次函数图象与x 轴有两个交点)0,(),0,(21xBxA，可设解析式为：)()(21xxxxaxf，再根据其余的条件确定a 的值 . 顶 点 式 ： 若 已 知 二 次 函 数 的 顶 点 坐 标 （ h ， k ） ， 则 可 设 函 数 解 析 式 为 ：khxaxf2)()(的形式，再根据另外的条件确定a 的值 .（2）二次函数的最值的确定（i）若Rx， a0，当abx2时，函数取得最小值abacxf44)(2min；若Rx，a0，当abx2时，函数取得最大值abacxf44)(2max.（ii）当
4、)(,nmnmx（或其他区间） ，讨论对称轴与区间m，n的三种位置关系.当a2bx,nm时，函数)2()(minabfxf，)n(f),m(fmax)x(fmax，当a2bx,nm时，函数)()(min)(minnfmfxf，)()(max)(maxnfmfxf.（上述讨论的是a 0 的情形，对于a0 也可进行类似讨论）注： 1 常用的对数运算公式：（1）alogblogblog)3(,blogmnblog)2( ,1alogblogmmaanabam（换底公式）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
5、- - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 3 页版权所有不得复制（4）NaNalog（对数恒等式）2.指数函数与对数函数的图象与性质指数函数性质对数函数性质（1）过定点（ 0，1）（1）过定点（ 1，0）（2）当 a1 时： x0 时， y1，x0 时， 0y1 （2）当 a1 时： x1 时， y0，0 x1，y0 （3）当 0a1 时： x0 时， 0y1，x0 时，y1 （3）当 0a1 时： x1 时， y0，0 x1，y 0 （4）当 a1 时，是增函数，0a1 时，是减函数（4）当 a1 时,是增函数 ,0a1 时，是减函数反函数：指
6、数函数与对数函数互为反函数.注：互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称 .幂函数：定义：形如)( ,Rnxyn的函数叫幂函数.知识点一：一次函数、二次函数的图象、性质及简单应用例 1.（基础题）解答下列各小题：（1） 已知一次函数mxmy)1(2的图象不经过第三象限，求 m 的取值范围是 _.（2）二次函数)0()(2acbxaxxf与 x 轴的交点为（ 1，0） ， （4，0）且过定点（ 0，1）求 f（x）的解析式是_.（3）已知二次函数12)(2xxxf一次函数22)(xxg，当二次函数的图象在一次函数图象上方时，x 的取值范围是_.（4）求二次函数142)(2xxxf， （3,1x
7、）的最值 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 4 页版权所有不得复制思路分析：（1）考查一次函数图象的知识：ykxb 的图象不在第三象限的充要条件是0b0k，故有0m01m2由此确定m 的取值范围 .（2）由已知设抛物线解析式为：)4)(1()(xxaxf，把点（ 0，1）代入即可求出a 的值 .（3）二次函数的图象在一次函数图象上方)()(xgxf，解此不等式求x 的取值范围.（4）判断二次函数的对称轴x1
8、3,1，故函数在顶点处取得最小值，然后再比较)3(),1(ff，求出最大值 .解题过程：（1）由已知得：1m00m01m2，故 m 的取值范围是0，1）.（2）由已知设抛物线解析式为：)4)(1()(xxaxf，把点（ 0，1）代入解析式得： 1a（ 01） （ 04） ，解得： a41，故)4)(1(41)(xxxf143412xx.（3）由已知得：130342212)()(22xxxxxxxxgxf或，故x 的取值范围是)1 ,(),3(.（4）因对称轴x13, 1且 a0，故1) 1()(minfxf，)3(),1(max)(maxffxf7.解题后的思考：对于判断一次函数ykxb（k
9、不为零）的图象通过的象限，取决于k，b的取值，不通过第一象限时：0b0k，不通过第二象限时：0b0k，不通过第三象限时：,0b0k不通过第四象限时：0b0k. 对于将所求二次函数的解析式设为哪种形式可根据已知条件选择一般式，零点式或顶点式等. 在求二次函数在给定区间的最值问题时，要判断对称轴与区间的位置关系. 同时在处理函数问题时注意数与形的转换（如第 3 题） ，对此类问题的考查，一般都是在函数大题的某一问中出现. 也有可能以填空或选择题的方式考查.例 2.（中等难度题）（1）求函数）0(,12)(2axaxxf在区间 0，3上的最大值.（ 2）已知二次函数)(xf的二次项系数是a，抛物线的
10、顶点是（ 1，2） ，若方程02)(xxf有两个相等的实根，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 5 页版权所有不得复制（i）求函数f（x）的解析式； （ii）解不等式f（x）49（3）已知方程0)2()1(2axax的一根大于1，另一根小于1，求 a 的取值范围.思路分析：（1）对 a0，a0 进行讨论 . a0 时，函数是一次函数，且在区间0，3内递增；a0 时函数是二次函数. 讨论对称轴与区间的位置关系，求
11、值域.（2）根据已知条件设出解析式，根据02)(xxf有两个相等的实根，利用0求a 的值，确定函数解析式，再解不等式f（x）49.（3）根据二次函数图象解决：设)2()1()(2axaxxf.二次函数与x 轴的两个交点的横坐标是方程的两个根，故已知等价于af0)1(的范围 .解题过程：（ 1） 当a 0 时 ，12)(xxf， 此 时 函 数 在 区 间 0， 3 上 是 增 函 数 ，9)3()(,12)0()(maxminfxffxf，当 a0 时，12)(2xaxxf是二次函数，对称轴是直线021ax，此时，二次函数在区间0，3上是增函数，故此时99)3()(,12)0()(.maxmi
12、nafxffxf.（2） （i）由已知设解析式为222)1()(22aaxaxxaxf，方程02)1(202)(2axaaxxxf有等根，410)2(4)1(42aaaa，故所求函数解析式是4921412)1(41)(22xxxxf.（ii）由 f（x）49得：20020214122xxxxx，不等式的解集是2,0.（3）设)2()1()(2axaxxf，则方程0)2()1(2axax的两个根就是图象与x 轴交点的横坐标.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 1
13、3 页 - - - - - - - - - 第 6 页版权所有不得复制故由图象知：f（1）0，即 a1.解题后的思考：求含有参数的二次函数的最值问题时，注意对称轴与区间位置关系的讨论，且 当 二 次 项 系 数 含 有 参 数 时要 注 意 参 数 是 否 等 于零 ？ （ 如 本 题1，不 可 盲 目 认 为）0(,12)(2axaxxf是二次函数 . 此类问题主要考查对分类讨论的数学思想的应用.二次函数与一元二次不等式之间的密切联系是高考命题的重要的知识交汇点. 因此理解二次函数与二次不等式、二次方程之间的关系尤为重要.例 3.（应用意识题）在经济学中，函数f（x）的边际函数)()1()(
14、xfxfxMf，某公司每月最多生产100 件产品，生产x 件产品的收入函数为2203000)(xxxR（单位：元）其成本函数,4000500)(xxC（单位：元） ，利润收入成本（1）求利润函数p（x）及边际利润函数Mp （x） ；（2）利润函数p（x）及边际利润函数Mp （x）是否有相等的最大值.思路分析：（1）p（x） R（x） C（ x）)4000500()203000(2xxx.（2）利用二次函数分别求出利润函数和边际函数的最值，再进行比较.解题过程：（1）p（x） R（x） C（ x）)4000500()203000(2xxxNxxxx,100,1,40002500202Nx,100
15、, 1x,x402480)x(p)1x(p)x(Mp（2）74125)2125x(20)x(p2，故当 x=62 或 x=63 时， p(x)最大元74120)(maxxp，元的最大值是时，是减函数，故当2440)(1)(xMpxxMp，故利润函数p（x）及边际利润函数Mp （x）不具有相等的最大值.解题后的思考： 对于数学应用意识的考查是高考命题的重点，解决此类问题的关键是理解题意、建立模型、解决问题，考查的题型形式不同，有可能以选择或填空题的形式考查，也有可能以大题的形式考查.知识点二：指数、指数函数，对数、对数函数，反函数、幂函数的图象与性质的简单应用.例 4.（基础题）填空题：（1）若
16、322xx，则_222233xxxx.（2）若1553ba，则_b1a1.（3）方程xax2（a 1）的根的个数是_.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 7 页版权所有不得复制（4）函数)82(log322xxyx的定义域是 _.（5）yxe的图象与函数g （x）的图象关于直线yx 对称，则 g （x）_.（6）已知函数)0( ,3)0( ,log)(2xxxxfx，则_)41( ff.（7）方程312)41(
17、2xxx的根是 _.（8）设_21)(:,log)(9的值是的则满足xxfxxf.（9）幂函数f（x）的图象过点Q（ 2，8） ，则其解析式是_.（10） 一次函数)( xh的图象过函数的定点1)(xaxf及函数)3(log)(xxga的定点，则)(xh _.思路分析： 本题考查指数、对数运算及指数函数、对数函数、幂函数的基础知识.（1）由33)2()2(xx（)2(22)2)(2222xxxxxx代入式中求解.（2）由计算利用得：abbababalog1log,15log,15log155353.（3）作出两个函数的图象即可以看出结果.（4）由指数函数、对数函数的定义域知：0822xx.（5
18、）考查反函数的概念，指数函数与对数函数互为反函数.（6）根据分段函数的表达式代入先求出)41(f，再求)41( ff的值 .（7）将方程左右两边化为同底，再转化为整式方程（8）由21log9x求 x 的值 .（9）设幂函数解析式为xxf)(（)R，把点 Q（2，8）代入求.（10）函数的定点1)(xaxf是（ 1， 1） ，)3(l o g)(xxga过定点（ 2，0） ，根据上述两点坐标求一次函数解析式.解题过程： （1）由33)2()2(xx（)2(22)2)(2222xxxxxx1)2()2)(22(22xxxx原式1)2()2(22xx.由11)2()2(9)22(322222xxxx
19、xx，故12222233xxxx.（2）15log,15log155353baba得：，215log5log3log11151515ba.（3）作出两个函数的图象如图：方程根的个数是1 个.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 8 页版权所有不得复制（4）0822xxRx解得： x4 或 x2，故函数的定义域是)2,(),4(.（5）由反函数的定义知：xxgln)(， （x0）.（6）913)2()41(,241
20、log)41(22ffff.（7）由312)41(2xxx得：6221222xxx07322xx，4653x.（8）由21log9x3x.（9）设幂函数的解析式为xxf)(（)R，把点 Q（2，8）代入得：3，解析式是3)(xxf.（10）函数的定点1)(xaxf是（ 1， 1） ，)3(l o g)(xxga过定点（ 2，0） ，设一次函数解析式是：)0(, kbkxy，221021xybkbkbk.解题后的思考：对于指数、对数运算、指数函数、对数函数、幂函数、反函数等基础知识的考查主要以选择或填空题为主. 另外，新课标对反函数和幂函数的要求很低，不需要做太多关于反函数和幂函数的难度偏大的题
21、目，只要掌握其概念和定义就可以了.例 5.（中等难度题）（1）已知：3131)23()1(aa，则 a 的取值范围是 _.（2）已知)1,0(,11log)(aaxxxfa且.求 f（ x）的定义域；判断f（x）的奇偶性；解不等式f（x） 0.（3） 已知关于 x的方程有两个不相等的实数解03)3()13)(1(3112xxxmm，求 m 的取值范围 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 9 页版权所有不得复制
22、思路分析：（1）函数31xy在（ 0，)和（)0,上单调递减，要对（a1） ， （ 32a）的符号及大小关系进行讨论.（2）根据对数函数的定义域011xx可求定义域 . 在定义域关于原点对称的情况下利用奇函数的定义进行判断，解不等式f（x） 0 时，要对底数a进行讨论 .（3）令xt30. 原方程转化为：0)1(232mmtt （* ）原方程有解方程（ *）有两个不相等的正实数根. 根据一元二次方程有两个正实数根的条件建立关于m 的不等式组 .解题过程：（1）函数31xy在（ 0，)和（)0,上单调递减，0230102310123aaaaaa或或1a23a32或，故 a 的取值范围是)1,()
23、23,32(.（2）由011xx11x，故函数定义域为（1，1）.由：函数定义域关于原点对称，且)()(xfxf011log11logxxxxaa，故函数为奇函数.当 a1 时，由 f（x） 0111111log11logxxxxxaa，解得： 0 x1 ，当 0a1 时，由 f（x） 0111111log11logxxxxxaa解得 1x0 ，故当 a1 时不等式 f（x）0 的解集是（ 0，1） ，当 0a1 时，不等式f（x）0 的解集是（ 1，0）.（3）令xt30. 原方程转化为：0)1(232mmtt （* ）原方程有解方程（ *）有两个不相等的正实数根，名师资料总结 - - -精
24、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 10 页版权所有不得复制故所求 m 的取值范围是（)2213,.解题后的思考：高考考查函数知识时，特别注重考查数学思想和方法的应用. 如本例第2 题就是考查分类讨论的数学思想的应用，第3 题则是考查转化的数学思想的应用.例 6.（创新题）定义运算：)( ,)( ,babbaaba，则函数xxxf22)(的值域是 _.思路分析： 根据定义：要讨论当x 取何值时，xx22，x 取何值时，xx22，即求出函
25、数 f（x）的解析式是解题的关键.解题过程： 当xx22时，0 x，当xx22时， x0，)0(,2)0(,2)(xxxfxx，当 x0时，函数x2的值域是1，0，当 x0 时，函数x2的值域是（ 0，1） ，故函数xxxf22)(的值域是1，0.解题后的思考：对分段函数求值域应是在定义域的每一个子区间内的各个函数值域的并集.一次函数、 二次函数及基本的初等函数知识内容是新课标高考命题的重点，其基础知识考查会以选择、填空题的形式出现，综合知识的考查是以综合题的形式出现，且常与方程、不等式、导数等内容紧密联系，试题有一定的难度.但不论是对基础知识的考查还是对综合知识的考查都会注重对数学思想、数学
26、方法的考查，并借此考查学生应用函数意识、创新意识及相应方法的能力.（答题时间： 35 分钟）一、填空题1.一次函数y（ 2k 3）xb 在 R 上是减函数，则k 的取值范围是_.2.二次函数)0(1)(2aaxxxf在区间 0，1上的最大值是_.3.5332529.1,8.3,1.4从大到小的顺序是_.4.322aaa的计算结果是_.5.函数13)(xaxf恒过定点P，则 P 点坐标是 _.6.函数xy2log的图象与g （ x） 的图象关于直线yx 对称， 则 g （x） _.*7.方程)2(log)12(log222xxx的根是 _.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
27、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 11 页版权所有不得复制*8.设 函 数)0(,)0(, 12)(21xxxxfx， 若1)(0 xf， 则x0的 取 值 范 围 是_.*9.函数8)21(log)(31xxf的定义域是 _.*10.关于 x 的方程aax53)21(有正数解，则a的取值范围是_.二、解答题*11.已知函数xaxxxgafxf43)(,2)18(,3)(1且的定义域是1，1（1）求 g（x）的解析式；（2）判断 g（x）的单调性；（3）若关于x
28、 的方程 g（x） m 有解，求 m 的取值范围 .*12.关于 x 的方程4)lg()lg(2axax有两个都大于1 的不相等的实根， 求 a 的取值范围 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 12 页版权所有不得复制一、填空题1.（)23,解析：由2k30 解得 k 的取值范围为23,.2. a2 解析：对称轴x02a，故函数 f（x）在区间 0，1上递增，2)1()(maxafxf.3.5332529.
29、18.31.4解析：09.1,18.30,11.4533252.4.65a5.（ 1，2）解析：令 x10 得 x 1，此时 f（x） 2.6.x2解析：函数f（x）与函数g（x）互为反函数 .7. 1 解析：由)2(log)12(log222xxx得：xxxxxx2120201222, 12x故 x1，x 1（舍去）8.),1()1,(解析：由已知得：1101011200021000 xxxxxx或或.9.)3,9log21解析：3x9log18)21(008)21(log08)21(21xx31x10.（ 3，1）解析：由 x0 得：1315301)21(0aaax二、计算题11.解： （
30、1）函数 f（x）的反函数是xxf31log)(2log218log33aaxxxg42)(（2）g（ x）11,41)212(212xxx由，则212221xx，故)()(21xgxg，即 g（x）在区间 1，1上是减函数.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 13 页版权所有不得复制（3）41)212(2xm，由11x得：2221x，设 tx2 ，则 m（ t41)212，t2,21，当 t21时， m 取
31、得最大值是41，当 t2 时，m 取得最小值是2，故 m 的取值范围是2，41.12.解：原方程化为：04)(lglglg3)(lg222axax （1）0lg1xx设 tlgx0，将（ 1）化为：)2(04)(lglg3222atat故方程（ 2）有两个正实数根，100102lg024)(lg0lg2304)(lg8)(lg9222aaaaaa，故 a 的取值范围是（0，)1001.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -